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1250: 4d 3c 2f 75 3e 3c 2f 62 3e 61 74 72 69 78 3c 2f M</u></b>atrix</
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12f0: 74 73 20 61 72 65 20 6e 6f 77 20 65 78 70 65 63 ts are now expec
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1310: 20 69 6e 20 74 68 65 20 66 6f 72 6d 20 6f 66 20 in the form of
1320: 61 6e 20 61 70 70 72 6f 70 72 69 61 74 65 20 3c an appropriate <
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18c0: 31 35 30 30 30 30 29 0d 0a 20 20 20 29 20 41 53 150000).. ) AS
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1ff0: 74 68 65 20 72 65 6c 61 74 69 76 65 20 6f 72 64 the relative ord
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4aa0: 74 68 65 74 61 3b 29 3c 2f 62 3e 3c 2f 74 64 3e theta;)</b></td>
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4bf0: 20 74 68 65 72 65 20 69 73 20 61 6e 20 6f 62 76 there is an obv
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5480: 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 0</td><td align=
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5510: 62 3e 2c 20 3c 62 3e 73 7a 3c 2f 62 3e 29 3c 2f b>, <b>sz</b>)</
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5650: 63 65 6e 74 65 72 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 center">0</td><t
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5710: 74 65 72 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 ter">0</td><td a
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57a0: 62 3e 29 3c 2f 74 64 3e 0d 0a 3c 74 64 3e 2f 3c b>)</td>..<td>/<
57b0: 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 /td><td align="c
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57e0: 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 0</td><td align=
57f0: 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c "center">0</td><
5800: 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 td align="center
5810: 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 3e 5c 3c 2f 74 ">0</td><td>\</t
5820: 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 d></tr>..<tr><td
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5840: 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e ="center">0</td>
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5870: 3b 29 3c 2f 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 ;)</b></td><td a
5880: 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 3c 62 lign="center"><b
5890: 3e 2d 73 69 6e 28 26 74 68 65 74 61 3b 29 3c 2f >-sin(θ)</
58a0: 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e b></td><td align
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58c0: 3c 74 64 3e 7c 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d <td>|</td></tr>.
58d0: 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 3e 7c 3c 2f 74 64 3e 3c .<tr><td>|</td><
58e0: 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 td align="center
58f0: 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 ">0</td><td alig
5900: 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 3c 62 3e 73 69 n="center"><b>si
5910: 6e 28 26 74 68 65 74 61 3b 29 3c 2f 62 3e 3c 2f n(θ)</b></
5920: 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 td><td align="ce
5930: 6e 74 65 72 22 3e 3c 62 3e 63 6f 73 28 26 74 68 nter"><b>cos(&th
5940: 65 74 61 3b 29 3c 2f 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 eta;)</b></td><t
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5960: 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 3e 7c 3c 2f 74 64 >0</td><td>|</td
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5990: 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c "center">0</td><
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5c20: 3e 7c 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 >|</td></tr>..<t
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5c60: 63 65 6e 74 65 72 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 center">0</td><t
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5c80: 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e >0</td><td align
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5cb0: 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 20 63 6f 6c 73 70 61 6e .<tr><td colspan
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5cd0: 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 20 72 6f 77 tr>..<tr><td row
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5f50: 31 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 3e 2f 3c 2f 74 64 3e 1</td><td>/</td>
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6120: 2b 20 7a 6f 66 66 3c 2f 62 3e 3c 2f 6c 69 3e 0d + zoff</b></li>.
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6280: 6f 6e 61 6c 20 74 65 72 6d 73 2c 20 73 6f 20 61 onal terms, so a
6290: 70 70 6c 79 69 6e 67 20 61 6e 20 41 66 66 69 6e pplying an Affin
62a0: 65 20 54 72 61 6e 73 66 6f 72 6d 61 74 69 6f 6e e Transformation
62b0: 20 69 73 20 61 6e 20 69 6e 74 72 69 6e 73 69 63 is an intrinsic
62c0: 61 6c 6c 79 20 65 66 66 69 63 69 65 6e 74 20 6d ally efficient m
62d0: 65 63 68 61 6e 69 73 6d 20 62 65 63 61 75 73 65 echanism because
62e0: 20 69 74 20 6f 6e 6c 79 20 72 65 71 75 69 72 65 it only require
62f0: 73 20 6d 75 6c 74 69 70 6c 69 63 61 74 69 6f 6e s multiplication
6300: 73 20 61 6e 64 20 61 64 64 69 74 69 6f 6e 73 2e s and additions.
6310: 3c 62 72 3e 0d 0a 3c 62 72 3e 3c 68 72 3e 0d 0a <br>..<br><hr>..
6320: 3c 68 33 3e 63 68 61 69 6e 69 6e 67 20 74 77 6f <h3>chaining two
6330: 20 28 6f 72 20 65 76 65 6e 20 6d 6f 72 65 29 20 (or even more)
6340: 41 66 66 69 6e 65 20 54 72 61 6e 73 66 6f 72 6d Affine Transform
6350: 61 74 69 6f 6e 73 20 69 6e 20 61 20 73 69 6e 67 ations in a sing
6360: 6c 65 20 6f 70 65 72 61 74 69 6f 6e 3c 2f 68 33 le operation</h3
6370: 3e 0d 0a 41 66 66 69 6e 65 20 74 72 61 6e 73 66 >..Affine transf
6380: 6f 72 6d 61 74 69 6f 6e 20 6d 61 74 72 69 63 65 ormation matrice
6390: 73 20 68 61 76 65 20 61 6e 6f 74 68 65 72 20 61 s have another a
63a0: 73 74 6f 6e 69 73 68 69 6e 67 20 70 72 6f 70 65 stonishing prope
63b0: 72 74 79 2e 3c 62 72 3e 0d 0a 57 65 20 63 61 6e rty.<br>..We can
63c0: 20 3c 61 20 68 72 65 66 3d 22 68 74 74 70 3a 2f <a href="http:/
63d0: 2f 65 6e 2e 77 69 6b 69 70 65 64 69 61 2e 6f 72 /en.wikipedia.or
63e0: 67 2f 77 69 6b 69 2f 4d 61 74 72 69 78 5f 6d 75 g/wiki/Matrix_mu
63f0: 6c 74 69 70 6c 69 63 61 74 69 6f 6e 22 3e 6d 75 ltiplication">mu
6400: 6c 74 69 70 6c 79 3c 2f 61 3e 20 74 77 6f 20 64 ltiply</a> two d
6410: 69 66 66 65 72 65 6e 74 20 61 66 66 69 6e 65 20 ifferent affine
6420: 74 72 61 6e 73 66 6f 72 6d 61 74 69 6f 6e 20 6d transformation m
6430: 61 74 72 69 63 65 73 20 74 68 75 73 20 6f 62 74 atrices thus obt
6440: 61 69 6e 69 6e 67 20 61 20 74 68 69 72 64 20 6d aining a third m
6450: 61 74 72 69 78 2c 20 61 6e 64 20 74 68 69 73 20 atrix, and this
6460: 6c 61 74 65 73 74 20 6f 6e 63 65 20 61 70 70 6c latest once appl
6470: 69 65 64 20 77 69 6c 6c 20 63 6f 6e 74 61 69 6e ied will contain
6480: 20 62 6f 74 68 20 74 72 61 6e 73 66 6f 72 6d 61 both transforma
6490: 74 69 6f 6e 73 20 61 6e 64 20 69 6e 20 74 68 65 tions and in the
64a0: 20 72 69 67 68 74 20 73 65 71 75 65 6e 63 65 2e right sequence.
64b0: 3c 62 72 3e 0d 0a 54 68 65 72 65 20 69 73 20 6e <br>..There is n
64c0: 6f 20 6c 69 6d 69 74 3b 20 77 65 20 63 61 6e 20 o limit; we can
64d0: 69 6e 66 69 6e 69 74 65 6c 79 20 63 68 61 69 6e infinitely chain
64e0: 20 61 73 20 6d 61 6e 79 20 74 72 61 6e 73 66 6f as many transfo
64f0: 72 6d 61 74 69 6f 6e 73 20 61 73 20 72 65 71 75 rmations as requ
6500: 69 72 65 64 2c 20 77 65 27 6c 6c 20 73 69 6d 70 ired, we'll simp
6510: 6c 79 20 68 61 76 65 20 74 6f 20 63 6f 6e 74 69 ly have to conti
6520: 6e 75 65 20 6d 75 6c 74 69 70 6c 79 69 6e 67 20 nue multiplying
6530: 61 6c 6c 20 6d 61 74 72 69 63 65 73 20 6f 6e 65 all matrices one
6540: 20 61 66 74 65 72 20 74 68 65 20 6f 74 68 65 72 after the other
6550: 20 63 61 72 65 66 75 6c 6c 79 20 72 65 73 70 65 carefully respe
6560: 63 74 69 6e 67 20 74 68 65 20 61 70 70 72 6f 70 cting the approp
6570: 72 69 61 74 65 20 73 65 71 75 65 6e 63 65 2e 3c riate sequence.<
6580: 62 72 3e 0d 0a 41 74 20 74 68 65 20 65 6e 64 20 br>..At the end
6590: 6f 66 20 74 68 65 20 70 72 6f 63 65 73 73 20 77 of the process w
65a0: 65 27 6c 6c 20 61 6c 77 61 79 73 20 67 65 74 20 e'll always get
65b0: 6a 75 73 74 20 61 20 73 69 6e 67 6c 65 20 61 66 just a single af
65c0: 66 69 6e 65 20 74 72 61 6e 73 66 6f 72 6d 61 74 fine transformat
65d0: 69 6f 6e 20 6d 61 74 72 69 78 20 66 61 69 74 68 ion matrix faith
65e0: 66 75 6c 6c 79 20 72 65 70 72 65 73 65 6e 74 69 fully representi
65f0: 6e 67 20 61 6e 79 20 69 6e 64 69 76 69 64 75 61 ng any individua
6600: 6c 20 74 72 61 6e 73 66 6f 72 6d 61 74 69 6f 6e l transformation
6610: 20 69 6e 20 74 68 65 20 63 68 61 69 6e 2e 0d 0a in the chain...
6620: 3c 74 61 62 6c 65 20 62 67 63 6f 6c 6f 72 3d 22 <table bgcolor="
6630: 23 66 66 63 30 30 30 22 20 63 65 6c 6c 70 61 64 #ffc000" cellpad
6640: 64 69 6e 67 3d 22 31 30 22 3e 3c 74 72 3e 3c 74 ding="10"><tr><t
6650: 64 3e 0d 0a 54 68 65 20 6d 75 6c 74 69 70 6c 69 d>..The multipli
6660: 63 61 74 69 6f 6e 20 62 65 74 77 65 65 6e 20 74 cation between t
6670: 77 6f 20 6d 61 74 72 69 63 65 73 20 3c 75 3e 69 wo matrices <u>i
6680: 73 20 6e 6f 74 20 61 20 63 6f 6d 6d 75 74 61 74 s not a commutat
6690: 69 76 65 20 6f 70 65 72 61 74 69 6f 6e 3c 2f 75 ive operation</u
66a0: 3e 3a 20 74 68 65 20 72 65 6c 61 74 69 76 65 20 >: the relative
66b0: 6f 72 64 65 72 20 6f 66 20 6f 70 65 72 61 6e 64 order of operand
66c0: 73 20 69 73 20 61 62 73 6f 6c 75 74 65 6c 79 20 s is absolutely
66d0: 72 65 6c 65 76 61 6e 74 2e 3c 2f 74 64 3e 3c 2f relevant.</td></
66e0: 74 72 3e 3c 2f 74 61 62 6c 65 3e 0d 0a 3c 68 33 tr></table>..<h3
66f0: 3e 6d 75 6c 74 69 70 6c 79 69 6e 67 20 74 77 6f >multiplying two
6700: 20 6d 61 74 72 69 63 65 73 3c 2f 68 33 3e 0d 0a matrices</h3>..
6710: 4d 75 6c 74 69 70 6c 69 63 61 74 69 6f 6e 20 69 Multiplication i
6720: 73 20 6e 6f 74 20 72 65 61 6c 6c 79 20 61 20 73 s not really a s
6730: 69 6d 70 6c 65 20 6f 70 65 72 61 74 69 6f 6e 20 imple operation
6740: 77 68 65 6e 20 6d 61 74 72 69 63 65 73 20 61 72 when matrices ar
6750: 65 20 69 6e 76 6f 6c 76 65 64 20 61 6e 64 20 72 e involved and r
6760: 65 71 75 69 72 65 73 20 61 20 72 61 74 68 65 72 equires a rather
6770: 20 63 6f 6d 70 6c 65 78 20 70 72 6f 63 65 64 75 complex procedu
6780: 72 65 3b 20 74 68 65 20 66 6f 6c 6c 6f 77 69 6e re; the followin
6790: 67 20 65 78 61 6d 70 6c 65 20 73 68 6f 77 73 20 g example shows
67a0: 68 6f 77 20 74 6f 20 6d 75 6c 74 69 70 6c 79 20 how to multiply
67b0: 74 77 6f 20 3c 62 3e 34 20 78 20 34 3c 2f 62 3e two <b>4 x 4</b>
67c0: 20 6d 61 74 72 69 63 65 73 2e 3c 62 72 3e 0d 0a matrices.<br>..
67d0: 3c 74 61 62 6c 65 20 63 65 6c 6c 73 70 61 63 69 <table cellspaci
67e0: 6e 67 3d 22 34 22 20 63 65 6c 6c 70 61 64 64 69 ng="4" cellpaddi
67f0: 6e 67 3d 22 34 22 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 ng="4">..<tr><td
6800: 3e 0d 0a 3c 74 61 62 6c 65 3e 0d 0a 3c 74 72 3e >..<table>..<tr>
6810: 3c 74 64 3e 2f 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c <td>/</td><td al
6820: 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 61 3c 73 ign="center">a<s
6830: 75 62 3e 31 31 3c 2f 73 75 62 3e 3c 2f 74 64 3e ub>11</sub></td>
6840: 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 <td align="cente
6850: 72 22 3e 61 3c 73 75 62 3e 31 32 3c 2f 73 75 62 r">a<sub>12</sub
6860: 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d ></td><td align=
6870: 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 61 3c 73 75 62 3e 31 "center">a<sub>1
6880: 33 3c 2f 73 75 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 3</sub></td><td
6890: 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 61 align="center">a
68a0: 3c 73 75 62 3e 31 34 3c 2f 73 75 62 3e 3c 2f 74 <sub>14</sub></t
68b0: 64 3e 3c 74 64 3e 5c 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 d><td>\</td></tr
68c0: 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 3e 7c 3c 2f 74 64 >..<tr><td>|</td
68d0: 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 ><td align="cent
68e0: 65 72 22 3e 61 3c 73 75 62 3e 32 31 3c 2f 73 75 er">a<sub>21</su
68f0: 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e b></td><td align
6900: 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 61 3c 73 75 62 3e ="center">a<sub>
6910: 32 32 3c 2f 73 75 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 22</sub></td><td
6920: 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e align="center">
6930: 61 3c 73 75 62 3e 32 33 3c 2f 73 75 62 3e 3c 2f a<sub>23</sub></
6940: 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 td><td align="ce
6950: 6e 74 65 72 22 3e 61 3c 73 75 62 3e 32 34 3c 2f nter">a<sub>24</
6960: 73 75 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 3e 7c 3c 2f sub></td><td>|</
6970: 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 td></tr>..<tr><t
6980: 64 3e 7c 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 d>|</td><td alig
6990: 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 61 3c 73 75 62 n="center">a<sub
69a0: 3e 33 31 3c 2f 73 75 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 >31</sub></td><t
69b0: 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 d align="center"
69c0: 3e 61 3c 73 75 62 3e 33 32 3c 2f 73 75 62 3e 3c >a<sub>32</sub><
69d0: 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 /td><td align="c
69e0: 65 6e 74 65 72 22 3e 61 3c 73 75 62 3e 33 33 3c enter">a<sub>33<
69f0: 2f 73 75 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c /sub></td><td al
6a00: 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 61 3c 73 ign="center">a<s
6a10: 75 62 3e 33 34 3c 2f 73 75 62 3e 3c 2f 74 64 3e ub>34</sub></td>
6a20: 3c 74 64 3e 7c 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d <td>|</td></tr>.
6a30: 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 3e 5c 3c 2f 74 64 3e 3c .<tr><td>\</td><
6a40: 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 td align="center
6a50: 22 3e 61 3c 73 75 62 3e 34 31 3c 2f 73 75 62 3e ">a<sub>41</sub>
6a60: 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 </td><td align="
6a70: 63 65 6e 74 65 72 22 3e 61 3c 73 75 62 3e 34 32 center">a<sub>42
6a80: 3c 2f 73 75 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 </sub></td><td a
6a90: 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 61 3c lign="center">a<
6aa0: 73 75 62 3e 34 33 3c 2f 73 75 62 3e 3c 2f 74 64 sub>43</sub></td
6ab0: 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 ><td align="cent
6ac0: 65 72 22 3e 61 3c 73 75 62 3e 34 34 3c 2f 73 75 er">a<sub>44</su
6ad0: 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 3e 2f 3c 2f 74 64 b></td><td>/</td
6ae0: 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 2f 74 61 62 6c 65 3e ></tr>..</table>
6af0: 0d 0a 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 76 61 6c 69 67 ..</td><td valig
6b00: 6e 3d 22 6d 69 64 64 6c 65 22 3e 2a 3c 2f 74 64 n="middle">*</td
6b10: 3e 0d 0a 3c 74 64 3e 0d 0a 3c 74 61 62 6c 65 3e >..<td>..<table>
6b20: 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 3e 2f 3c 2f 74 64 3e ..<tr><td>/</td>
6b30: 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 <td align="cente
6b40: 72 22 3e 62 3c 73 75 62 3e 31 31 3c 2f 73 75 62 r">b<sub>11</sub
6b50: 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d ></td><td align=
6b60: 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 62 3c 73 75 62 3e 31 "center">b<sub>1
6b70: 32 3c 2f 73 75 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 2</sub></td><td
6b80: 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 62 align="center">b
6b90: 3c 73 75 62 3e 31 33 3c 2f 73 75 62 3e 3c 2f 74 <sub>13</sub></t
6ba0: 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e d><td align="cen
6bb0: 74 65 72 22 3e 62 3c 73 75 62 3e 31 34 3c 2f 73 ter">b<sub>14</s
6bc0: 75 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 3e 5c 3c 2f 74 ub></td><td>\</t
6bd0: 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 d></tr>..<tr><td
6be0: 3e 7c 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e >|</td><td align
6bf0: 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 62 3c 73 75 62 3e ="center">b<sub>
6c00: 32 31 3c 2f 73 75 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 21</sub></td><td
6c10: 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e align="center">
6c20: 62 3c 73 75 62 3e 32 32 3c 2f 73 75 62 3e 3c 2f b<sub>22</sub></
6c30: 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 td><td align="ce
6c40: 6e 74 65 72 22 3e 62 3c 73 75 62 3e 32 33 3c 2f nter">b<sub>23</
6c50: 73 75 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 sub></td><td ali
6c60: 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 62 3c 73 75 gn="center">b<su
6c70: 62 3e 32 34 3c 2f 73 75 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c b>24</sub></td><
6c80: 74 64 3e 7c 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a td>|</td></tr>..
6c90: 3c 74 72 3e 3c 74 64 3e 7c 3c 2f 74 64 3e 3c 74 <tr><td>|</td><t
6ca0: 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 d align="center"
6cb0: 3e 62 3c 73 75 62 3e 33 31 3c 2f 73 75 62 3e 3c >b<sub>31</sub><
6cc0: 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 /td><td align="c
6cd0: 65 6e 74 65 72 22 3e 62 3c 73 75 62 3e 33 32 3c enter">b<sub>32<
6ce0: 2f 73 75 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c /sub></td><td al
6cf0: 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 62 3c 73 ign="center">b<s
6d00: 75 62 3e 33 33 3c 2f 73 75 62 3e 3c 2f 74 64 3e ub>33</sub></td>
6d10: 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 <td align="cente
6d20: 72 22 3e 62 3c 73 75 62 3e 33 34 3c 2f 73 75 62 r">b<sub>34</sub
6d30: 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 3e 7c 3c 2f 74 64 3e ></td><td>|</td>
6d40: 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 3e 5c </tr>..<tr><td>\
6d50: 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 </td><td align="
6d60: 63 65 6e 74 65 72 22 3e 62 3c 73 75 62 3e 34 31 center">b<sub>41
6d70: 3c 2f 73 75 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 </sub></td><td a
6d80: 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 62 3c lign="center">b<
6d90: 73 75 62 3e 34 32 3c 2f 73 75 62 3e 3c 2f 74 64 sub>42</sub></td
6da0: 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 ><td align="cent
6db0: 65 72 22 3e 62 3c 73 75 62 3e 34 33 3c 2f 73 75 er">b<sub>43</su
6dc0: 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e b></td><td align
6dd0: 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 62 3c 73 75 62 3e ="center">b<sub>
6de0: 34 34 3c 2f 73 75 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 44</sub></td><td
6df0: 3e 2f 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 2f >/</td></tr>..</
6e00: 74 61 62 6c 65 3e 0d 0a 3c 2f 74 64 3e 0d 0a 3c table>..</td>..<
6e10: 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 76 61 6c 69 67 6e 3d 22 /td><td valign="
6e20: 6d 69 64 64 6c 65 22 3e 3d 3c 2f 74 64 3e 0d 0a middle">=</td>..
6e30: 3c 74 64 3e 0d 0a 3c 74 61 62 6c 65 3e 0d 0a 3c <td>..<table>..<
6e40: 74 72 3e 3c 74 64 3e 2f 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 tr><td>/</td><td
6e50: 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e align="center">
6e60: 0d 0a 28 61 3c 73 75 62 3e 31 31 3c 2f 73 75 62 ..(a<sub>11</sub
6e70: 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e 31 31 3c 2f 73 75 62 3e >*b<sub>11</sub>
6e80: 20 2b 20 0d 0a 61 3c 73 75 62 3e 31 32 3c 2f 73 + ..a<sub>12</s
6e90: 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e 32 31 3c 2f 73 75 ub>*b<sub>21</su
6ea0: 62 3e 20 2b 20 0d 0a 61 3c 73 75 62 3e 31 33 3c b> + ..a<sub>13<
6eb0: 2f 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e 33 31 3c 2f /sub>*b<sub>31</
6ec0: 73 75 62 3e 20 2b 20 0d 0a 61 3c 73 75 62 3e 31 sub> + ..a<sub>1
6ed0: 34 3c 2f 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e 34 31 4</sub>*b<sub>41
6ee0: 3c 2f 73 75 62 3e 29 3c 2f 74 64 3e 0d 0a 3c 74 </sub>)</td>..<t
6ef0: 64 3e 28 61 3c 73 75 62 3e 31 31 3c 2f 73 75 62 d>(a<sub>11</sub
6f00: 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e 31 32 3c 2f 73 75 62 3e >*b<sub>12</sub>
6f10: 20 2b 20 0d 0a 61 3c 73 75 62 3e 31 32 3c 2f 73 + ..a<sub>12</s
6f20: 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e 32 32 3c 2f 73 75 ub>*b<sub>22</su
6f30: 62 3e 20 2b 20 0d 0a 61 3c 73 75 62 3e 31 33 3c b> + ..a<sub>13<
6f40: 2f 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e 33 32 3c 2f /sub>*b<sub>32</
6f50: 73 75 62 3e 20 2b 0d 0a 61 3c 73 75 62 3e 31 34 sub> +..a<sub>14
6f60: 3c 2f 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e 34 32 3c </sub>*b<sub>42<
6f70: 2f 73 75 62 3e 29 3c 2f 74 64 3e 0d 0a 3c 74 64 /sub>)</td>..<td
6f80: 3e 28 61 3c 73 75 62 3e 31 31 3c 2f 73 75 62 3e >(a<sub>11</sub>
6f90: 2a 62 3c 73 75 62 3e 31 33 3c 2f 73 75 62 3e 20 *b<sub>13</sub>
6fa0: 2b 20 0d 0a 61 3c 73 75 62 3e 31 32 3c 2f 73 75 + ..a<sub>12</su
6fb0: 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e 32 33 3c 2f 73 75 62 b>*b<sub>23</sub
6fc0: 3e 20 2b 20 0d 0a 61 3c 73 75 62 3e 31 33 3c 2f > + ..a<sub>13</
6fd0: 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e 33 33 3c 2f 73 sub>*b<sub>33</s
6fe0: 75 62 3e 20 2b 0d 0a 61 3c 73 75 62 3e 31 34 3c ub> +..a<sub>14<
6ff0: 2f 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e 34 33 3c 2f /sub>*b<sub>43</
7000: 73 75 62 3e 29 3c 2f 74 64 3e 0d 0a 3c 74 64 3e sub>)</td>..<td>
7010: 28 61 3c 73 75 62 3e 31 31 3c 2f 73 75 62 3e 2a (a<sub>11</sub>*
7020: 62 3c 73 75 62 3e 31 34 3c 2f 73 75 62 3e 20 2b b<sub>14</sub> +
7030: 20 0d 0a 61 3c 73 75 62 3e 31 32 3c 2f 73 75 62 ..a<sub>12</sub
7040: 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e 32 34 3c 2f 73 75 62 3e >*b<sub>24</sub>
7050: 20 2b 20 0d 0a 61 3c 73 75 62 3e 31 33 3c 2f 73 + ..a<sub>13</s
7060: 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e 33 34 3c 2f 73 75 ub>*b<sub>34</su
7070: 62 3e 20 2b 0d 0a 61 3c 73 75 62 3e 31 34 3c 2f b> +..a<sub>14</
7080: 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e 34 34 3c 2f 73 sub>*b<sub>44</s
7090: 75 62 3e 29 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 3e 5c 3c 2f ub>)</td><td>\</
70a0: 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 td></tr>..<tr><t
70b0: 64 3e 7c 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 d>|</td><td alig
70c0: 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 0d 0a 28 61 3c n="center">..(a<
70d0: 73 75 62 3e 32 31 3c 2f 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 sub>21</sub>*b<s
70e0: 75 62 3e 31 31 3c 2f 73 75 62 3e 20 2b 20 0d 0a ub>11</sub> + ..
70f0: 61 3c 73 75 62 3e 32 32 3c 2f 73 75 62 3e 2a 62 a<sub>22</sub>*b
7100: 3c 73 75 62 3e 32 31 3c 2f 73 75 62 3e 20 2b 20 <sub>21</sub> +
7110: 0d 0a 61 3c 73 75 62 3e 32 33 3c 2f 73 75 62 3e ..a<sub>23</sub>
7120: 2a 62 3c 73 75 62 3e 33 31 3c 2f 73 75 62 3e 20 *b<sub>31</sub>
7130: 2b 20 0d 0a 61 3c 73 75 62 3e 32 34 3c 2f 73 75 + ..a<sub>24</su
7140: 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e 34 31 3c 2f 73 75 62 b>*b<sub>41</sub
7150: 3e 29 3c 2f 74 64 3e 0d 0a 3c 74 64 3e 28 61 3c >)</td>..<td>(a<
7160: 73 75 62 3e 32 31 3c 2f 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 sub>21</sub>*b<s
7170: 75 62 3e 31 32 3c 2f 73 75 62 3e 20 2b 20 0d 0a ub>12</sub> + ..
7180: 61 3c 73 75 62 3e 32 32 3c 2f 73 75 62 3e 2a 62 a<sub>22</sub>*b
7190: 3c 73 75 62 3e 32 32 3c 2f 73 75 62 3e 20 2b 20 <sub>22</sub> +
71a0: 0d 0a 61 3c 73 75 62 3e 32 33 3c 2f 73 75 62 3e ..a<sub>23</sub>
71b0: 2a 62 3c 73 75 62 3e 33 32 3c 2f 73 75 62 3e 20 *b<sub>32</sub>
71c0: 2b 0d 0a 61 3c 73 75 62 3e 32 34 3c 2f 73 75 62 +..a<sub>24</sub
71d0: 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e 34 32 3c 2f 73 75 62 3e >*b<sub>42</sub>
71e0: 29 3c 2f 74 64 3e 0d 0a 3c 74 64 3e 28 61 3c 73 )</td>..<td>(a<s
71f0: 75 62 3e 32 31 3c 2f 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 ub>21</sub>*b<su
7200: 62 3e 31 33 3c 2f 73 75 62 3e 20 2b 20 0d 0a 61 b>13</sub> + ..a
7210: 3c 73 75 62 3e 32 32 3c 2f 73 75 62 3e 2a 62 3c <sub>22</sub>*b<
7220: 73 75 62 3e 32 33 3c 2f 73 75 62 3e 20 2b 20 0d sub>23</sub> + .
7230: 0a 61 3c 73 75 62 3e 32 33 3c 2f 73 75 62 3e 2a .a<sub>23</sub>*
7240: 62 3c 73 75 62 3e 33 33 3c 2f 73 75 62 3e 20 2b b<sub>33</sub> +
7250: 0d 0a 61 3c 73 75 62 3e 32 34 3c 2f 73 75 62 3e ..a<sub>24</sub>
7260: 2a 62 3c 73 75 62 3e 34 33 3c 2f 73 75 62 3e 29 *b<sub>43</sub>)
7270: 3c 2f 74 64 3e 0d 0a 3c 74 64 3e 28 61 3c 73 75 </td>..<td>(a<su
7280: 62 3e 32 31 3c 2f 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 b>21</sub>*b<sub
7290: 3e 31 34 3c 2f 73 75 62 3e 20 2b 20 0d 0a 61 3c >14</sub> + ..a<
72a0: 73 75 62 3e 32 32 3c 2f 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 sub>22</sub>*b<s
72b0: 75 62 3e 32 34 3c 2f 73 75 62 3e 20 2b 20 0d 0a ub>24</sub> + ..
72c0: 61 3c 73 75 62 3e 32 33 3c 2f 73 75 62 3e 2a 62 a<sub>23</sub>*b
72d0: 3c 73 75 62 3e 33 34 3c 2f 73 75 62 3e 20 2b 0d <sub>34</sub> +.
72e0: 0a 61 3c 73 75 62 3e 32 34 3c 2f 73 75 62 3e 2a .a<sub>24</sub>*
72f0: 62 3c 73 75 62 3e 34 34 3c 2f 73 75 62 3e 29 3c b<sub>44</sub>)<
7300: 2f 74 64 3e 3c 74 64 3e 7c 3c 2f 74 64 3e 3c 2f /td><td>|</td></
7310: 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 3e 7c 3c 2f tr>..<tr><td>|</
7320: 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 td><td align="ce
7330: 6e 74 65 72 22 3e 0d 0a 28 61 3c 73 75 62 3e 33 nter">..(a<sub>3
7340: 31 3c 2f 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e 31 31 1</sub>*b<sub>11
7350: 3c 2f 73 75 62 3e 20 2b 20 0d 0a 61 3c 73 75 62 </sub> + ..a<sub
7360: 3e 33 32 3c 2f 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e >32</sub>*b<sub>
7370: 32 31 3c 2f 73 75 62 3e 20 2b 20 0d 0a 61 3c 73 21</sub> + ..a<s
7380: 75 62 3e 33 33 3c 2f 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 ub>33</sub>*b<su
7390: 62 3e 33 31 3c 2f 73 75 62 3e 20 2b 20 0d 0a 61 b>31</sub> + ..a
73a0: 3c 73 75 62 3e 33 34 3c 2f 73 75 62 3e 2a 62 3c <sub>34</sub>*b<
73b0: 73 75 62 3e 34 31 3c 2f 73 75 62 3e 29 3c 2f 74 sub>41</sub>)</t
73c0: 64 3e 0d 0a 3c 74 64 3e 28 61 3c 73 75 62 3e 33 d>..<td>(a<sub>3
73d0: 31 3c 2f 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e 31 32 1</sub>*b<sub>12
73e0: 3c 2f 73 75 62 3e 20 2b 20 0d 0a 61 3c 73 75 62 </sub> + ..a<sub
73f0: 3e 33 32 3c 2f 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e >32</sub>*b<sub>
7400: 32 32 3c 2f 73 75 62 3e 20 2b 20 0d 0a 61 3c 73 22</sub> + ..a<s
7410: 75 62 3e 33 33 3c 2f 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 ub>33</sub>*b<su
7420: 62 3e 33 32 3c 2f 73 75 62 3e 20 2b 0d 0a 61 3c b>32</sub> +..a<
7430: 73 75 62 3e 33 34 3c 2f 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 sub>34</sub>*b<s
7440: 75 62 3e 34 32 3c 2f 73 75 62 3e 29 3c 2f 74 64 ub>42</sub>)</td
7450: 3e 0d 0a 3c 74 64 3e 28 61 3c 73 75 62 3e 33 31 >..<td>(a<sub>31
7460: 3c 2f 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e 31 33 3c </sub>*b<sub>13<
7470: 2f 73 75 62 3e 20 2b 20 0d 0a 61 3c 73 75 62 3e /sub> + ..a<sub>
7480: 33 32 3c 2f 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e 32 32</sub>*b<sub>2
7490: 33 3c 2f 73 75 62 3e 20 2b 20 0d 0a 61 3c 73 75 3</sub> + ..a<su
74a0: 62 3e 33 33 3c 2f 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 b>33</sub>*b<sub
74b0: 3e 33 33 3c 2f 73 75 62 3e 20 2b 0d 0a 61 3c 73 >33</sub> +..a<s
74c0: 75 62 3e 33 34 3c 2f 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 ub>34</sub>*b<su
74d0: 62 3e 34 33 3c 2f 73 75 62 3e 29 3c 2f 74 64 3e b>43</sub>)</td>
74e0: 0d 0a 3c 74 64 3e 28 61 3c 73 75 62 3e 33 31 3c ..<td>(a<sub>31<
74f0: 2f 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e 31 34 3c 2f /sub>*b<sub>14</
7500: 73 75 62 3e 20 2b 20 0d 0a 61 3c 73 75 62 3e 33 sub> + ..a<sub>3
7510: 32 3c 2f 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e 32 34 2</sub>*b<sub>24
7520: 3c 2f 73 75 62 3e 20 2b 20 0d 0a 61 3c 73 75 62 </sub> + ..a<sub
7530: 3e 33 33 3c 2f 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e >33</sub>*b<sub>
7540: 33 34 3c 2f 73 75 62 3e 20 2b 0d 0a 61 3c 73 75 34</sub> +..a<su
7550: 62 3e 33 34 3c 2f 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 b>34</sub>*b<sub
7560: 3e 34 34 3c 2f 73 75 62 3e 29 3c 2f 74 64 3e 3c >44</sub>)</td><
7570: 74 64 3e 7c 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a td>|</td></tr>..
7580: 3c 74 72 3e 3c 74 64 3e 5c 3c 2f 74 64 3e 3c 74 <tr><td>\</td><t
7590: 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 d align="center"
75a0: 3e 0d 0a 28 61 3c 73 75 62 3e 34 31 3c 2f 73 75 >..(a<sub>41</su
75b0: 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e 31 31 3c 2f 73 75 62 b>*b<sub>11</sub
75c0: 3e 20 2b 20 0d 0a 61 3c 73 75 62 3e 34 32 3c 2f > + ..a<sub>42</
75d0: 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e 32 31 3c 2f 73 sub>*b<sub>21</s
75e0: 75 62 3e 20 2b 20 0d 0a 61 3c 73 75 62 3e 34 33 ub> + ..a<sub>43
75f0: 3c 2f 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e 33 31 3c </sub>*b<sub>31<
7600: 2f 73 75 62 3e 20 2b 20 0d 0a 61 3c 73 75 62 3e /sub> + ..a<sub>
7610: 34 34 3c 2f 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e 34 44</sub>*b<sub>4
7620: 31 3c 2f 73 75 62 3e 29 3c 2f 74 64 3e 0d 0a 3c 1</sub>)</td>..<
7630: 74 64 3e 28 61 3c 73 75 62 3e 34 31 3c 2f 73 75 td>(a<sub>41</su
7640: 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e 31 32 3c 2f 73 75 62 b>*b<sub>12</sub
7650: 3e 20 2b 20 0d 0a 61 3c 73 75 62 3e 34 32 3c 2f > + ..a<sub>42</
7660: 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e 32 32 3c 2f 73 sub>*b<sub>22</s
7670: 75 62 3e 20 2b 20 0d 0a 61 3c 73 75 62 3e 34 33 ub> + ..a<sub>43
7680: 3c 2f 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e 33 32 3c </sub>*b<sub>32<
7690: 2f 73 75 62 3e 20 2b 0d 0a 61 3c 73 75 62 3e 34 /sub> +..a<sub>4
76a0: 34 3c 2f 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e 34 32 4</sub>*b<sub>42
76b0: 3c 2f 73 75 62 3e 29 3c 2f 74 64 3e 0d 0a 3c 74 </sub>)</td>..<t
76c0: 64 3e 28 61 3c 73 75 62 3e 34 31 3c 2f 73 75 62 d>(a<sub>41</sub
76d0: 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e 31 33 3c 2f 73 75 62 3e >*b<sub>13</sub>
76e0: 20 2b 20 0d 0a 61 3c 73 75 62 3e 34 32 3c 2f 73 + ..a<sub>42</s
76f0: 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e 32 33 3c 2f 73 75 ub>*b<sub>23</su
7700: 62 3e 20 2b 20 0d 0a 61 3c 73 75 62 3e 34 33 3c b> + ..a<sub>43<
7710: 2f 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e 33 33 3c 2f /sub>*b<sub>33</
7720: 73 75 62 3e 20 2b 0d 0a 61 3c 73 75 62 3e 34 34 sub> +..a<sub>44
7730: 3c 2f 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e 34 33 3c </sub>*b<sub>43<
7740: 2f 73 75 62 3e 29 3c 2f 74 64 3e 0d 0a 3c 74 64 /sub>)</td>..<td
7750: 3e 28 61 3c 73 75 62 3e 34 31 3c 2f 73 75 62 3e >(a<sub>41</sub>
7760: 2a 62 3c 73 75 62 3e 31 34 3c 2f 73 75 62 3e 20 *b<sub>14</sub>
7770: 2b 20 0d 0a 61 3c 73 75 62 3e 34 32 3c 2f 73 75 + ..a<sub>42</su
7780: 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e 32 34 3c 2f 73 75 62 b>*b<sub>24</sub
7790: 3e 20 2b 20 0d 0a 61 3c 73 75 62 3e 34 33 3c 2f > + ..a<sub>43</
77a0: 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e 33 34 3c 2f 73 sub>*b<sub>34</s
77b0: 75 62 3e 20 2b 0d 0a 61 3c 73 75 62 3e 34 34 3c ub> +..a<sub>44<
77c0: 2f 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e 34 34 3c 2f /sub>*b<sub>44</
77d0: 73 75 62 3e 29 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 3e 2f 3c sub>)</td><td>/<
77e0: 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 2f 74 61 62 /td></tr>..</tab
77f0: 6c 65 3e 0d 0a 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 3c le>..</td></tr><
7800: 2f 74 61 62 6c 65 3e 0d 0a 3c 68 33 3e 69 64 65 /table>..<h3>ide
7810: 6e 74 69 74 79 20 6d 61 74 72 69 78 3c 2f 68 33 ntity matrix</h3
7820: 3e 0d 0a 41 6e 20 69 64 65 6e 74 69 74 79 20 6d >..An identity m
7830: 61 74 72 69 78 20 73 69 6d 70 6c 79 20 63 6f 72 atrix simply cor
7840: 72 65 73 70 6f 6e 64 73 20 74 6f 20 61 6e 20 61 responds to an a
7850: 66 66 69 6e 65 20 74 72 61 6e 73 66 6f 72 6d 61 ffine transforma
7860: 74 69 6f 6e 20 6c 61 63 6b 69 6e 67 20 61 6e 79 tion lacking any
7870: 20 61 63 74 75 61 6c 20 65 66 66 65 63 74 3a 20 actual effect:
7880: 61 74 20 74 68 65 20 65 6e 64 20 6f 66 20 74 68 at the end of th
7890: 65 20 70 72 6f 63 65 73 73 20 74 68 65 20 74 72 e process the tr
78a0: 61 6e 73 66 6f 72 6d 65 64 20 67 65 6f 6d 65 74 ansformed geomet
78b0: 72 79 20 77 69 6c 6c 20 62 65 20 65 78 61 63 74 ry will be exact
78c0: 6c 79 20 74 68 65 20 73 61 6d 65 20 61 73 20 62 ly the same as b
78d0: 65 66 6f 72 65 2e 3c 62 72 3e 0d 0a 4d 6f 72 65 efore.<br>..More
78e0: 6f 76 65 72 20 61 6e 20 69 64 65 6e 74 69 74 79 over an identity
78f0: 20 6d 61 74 72 69 78 20 70 6c 61 79 73 20 61 20 matrix plays a
7900: 73 70 65 63 69 61 6c 20 72 6f 6c 65 20 69 6e 20 special role in
7910: 6d 75 6c 74 69 70 6c 69 63 61 74 69 6f 6e 3a 20 multiplication:
7920: 74 68 65 20 72 65 73 75 6c 74 69 6e 67 20 6d 61 the resulting ma
7930: 74 72 69 78 20 77 69 6c 6c 20 61 6c 77 61 79 73 trix will always
7940: 20 62 65 20 65 78 61 63 74 6c 79 20 74 68 65 20 be exactly the
7950: 73 61 6d 65 20 6f 66 20 74 68 65 20 6f 74 68 65 same of the othe
7960: 72 20 6d 61 74 72 69 78 2e 3c 62 72 3e 0d 0a 28 r matrix.<br>..(
7970: 3c 69 3e 69 74 27 73 20 6d 6f 72 65 20 6f 72 20 <i>it's more or
7980: 6c 65 73 73 20 74 68 65 20 65 71 75 69 76 61 6c less the equival
7990: 65 6e 74 20 6f 66 20 6d 75 6c 74 69 70 6c 79 69 ent of multiplyi
79a0: 6e 67 20 65 2e 67 2e 20 3c 62 3e 38 2a 31 3d 38 ng e.g. <b>8*1=8
79b0: 3c 2f 62 3e 20 69 6e 20 61 6e 20 6f 72 64 69 6e </b> in an ordin
79c0: 61 72 79 20 73 63 61 6c 61 72 20 6d 75 6c 74 69 ary scalar multi
79d0: 70 6c 69 63 61 74 69 6f 6e 3c 2f 69 3e 29 2e 0d plication</i>)..
79e0: 0a 3c 68 33 3e 69 6e 76 65 72 73 65 20 6d 61 74 .<h3>inverse mat
79f0: 72 69 78 3c 2f 68 33 3e 0d 0a 49 66 20 74 77 6f rix</h3>..If two
7a00: 20 28 6e 6f 6e 2d 69 64 65 6e 74 69 74 79 29 20 (non-identity)
7a10: 6d 61 74 72 69 63 65 73 20 61 72 65 20 73 75 63 matrices are suc
7a20: 68 20 74 68 61 74 20 74 68 65 69 72 20 6d 75 6c h that their mul
7a30: 74 69 70 6c 69 63 61 74 69 6f 6e 20 70 72 6f 64 tiplication prod
7a40: 75 63 65 73 20 61 6e 20 69 64 65 6e 74 69 74 79 uces an identity
7a50: 20 6d 61 74 72 69 78 20 74 68 65 79 20 61 72 65 matrix they are
7a60: 20 73 61 69 64 20 74 6f 20 62 65 20 6f 6e 65 20 said to be one
7a70: 74 68 65 20 69 6e 76 65 72 73 65 20 6f 66 20 74 the inverse of t
7a80: 68 65 20 6f 74 68 65 72 2e 3c 62 72 3e 0d 0a 49 he other.<br>..I
7a90: 6e 20 73 69 6d 70 6c 65 72 20 77 6f 72 64 73 20 n simpler words
7aa0: 62 6f 74 68 20 74 68 65 6d 20 63 61 75 73 65 20 both them cause
7ab0: 74 68 65 20 73 61 6d 65 20 69 64 65 6e 74 69 63 the same identic
7ac0: 61 6c 20 74 72 61 73 66 6f 72 6d 61 74 69 6f 6e al trasformation
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83c0: 61 20 68 72 65 66 3d 22 68 74 74 70 3a 2f 2f 65 a href="http://e
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8b30: 74 69 61 6c 69 7a 65 64 20 61 73 20 52 6f 74 61 tialized as Rota
8b40: 74 69 6f 6e 20 61 72 6f 75 6e 64 20 74 68 65 20 tion around the
8b50: 5a 20 61 78 69 73 2e 3c 62 72 3e 0d 0a 4e 55 4c Z axis.<br>..NUL
8b60: 4c 20 69 66 20 61 6e 79 20 65 72 72 6f 72 20 6f L if any error o
8b70: 63 63 75 72 73 20 6f 72 20 6f 6e 20 69 6e 76 61 ccurs or on inva
8b80: 6c 69 64 20 61 72 67 75 6d 65 6e 74 73 2e 3c 68 lid arguments.<h
8b90: 72 3e 0d 0a 54 68 65 20 61 6e 67 6c 65 20 69 73 r>..The angle is
8ba0: 20 61 6c 77 61 79 73 20 65 78 70 65 63 74 65 64 always expected
8bb0: 20 74 6f 20 62 65 20 6d 65 61 73 75 72 65 64 20 to be measured
8bc0: 69 6e 20 64 65 63 69 6d 61 6c 20 64 65 67 72 65 in decimal degre
8bd0: 65 73 2e 20 54 68 65 20 64 69 72 65 63 74 69 6f es. The directio
8be0: 6e 20 6f 66 20 72 6f 74 61 74 69 6f 6e 20 69 73 n of rotation is
8bf0: 20 64 65 66 69 6e 65 64 20 73 75 63 68 20 74 68 defined such th
8c00: 61 74 20 70 6f 73 69 74 69 76 65 20 61 6e 67 6c at positive angl
8c10: 65 73 20 72 6f 74 61 74 65 20 69 6e 20 74 68 65 es rotate in the
8c20: 20 64 69 72 65 63 74 69 6f 6e 20 66 72 6f 6d 20 direction from
8c30: 74 68 65 20 70 6f 73 69 74 69 76 65 20 58 20 61 the positive X a
8c40: 78 69 73 20 74 6f 77 61 72 64 20 74 68 65 20 70 xis toward the p
8c50: 6f 73 69 74 69 76 65 20 59 20 61 78 69 73 2e 20 ositive Y axis.
8c60: 57 69 74 68 20 74 68 65 20 64 65 66 61 75 6c 74 With the default
8c70: 20 61 78 69 73 20 6f 72 69 65 6e 74 61 74 69 6f axis orientatio
8c80: 6e 20 20 70 6f 73 69 74 69 76 65 20 61 6e 67 6c n positive angl
8c90: 65 73 20 72 6f 74 61 74 65 20 69 6e 20 61 20 63 es rotate in a c
8ca0: 6f 75 6e 74 65 72 63 6c 6f 63 6b 77 69 73 65 20 ounterclockwise
8cb0: 64 69 72 65 63 74 69 6f 6e 2e 3c 68 72 3e 0d 0a direction.<hr>..
8cc0: 3c 75 3e 4e 6f 74 65 3c 2f 75 3e 3a 20 74 68 69 <u>Note</u>: thi
8cd0: 73 20 69 73 20 74 68 65 20 75 6e 69 71 75 65 20 s is the unique
8ce0: 72 6f 74 61 74 69 6f 6e 20 61 6c 6c 6f 77 65 64 rotation allowed
8cf0: 20 6f 6e 20 61 20 70 75 72 65 6c 79 20 32 44 20 on a purely 2D
8d00: 70 6c 61 6e 65 2e 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e plane.</td></tr>
8d10: 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 3e 3c 62 3e 41 54 4d ..<tr><td><b>ATM
8d20: 5f 43 72 65 61 74 65 58 52 6f 6c 6c 20 28 20 64 _CreateXRoll ( d
8d30: 6f 75 62 6c 65 20 61 6e 67 6c 65 49 6e 44 65 67 ouble angleInDeg
8d40: 72 65 65 73 20 29 20 3a 20 42 4c 4f 42 20 41 54 rees ) : BLOB AT
8d50: 2d 6d 61 74 72 69 78 3c 2f 62 3e 3c 2f 74 64 3e -matrix</b></td>
8d60: 3c 74 64 3e 57 69 6c 6c 20 72 65 74 75 72 6e 20 <td>Will return
8d70: 61 6e 20 41 66 66 69 6e 65 20 54 72 61 6e 73 66 an Affine Transf
8d80: 6f 72 6d 61 74 69 6f 6e 20 4d 61 74 72 69 78 20 ormation Matrix
8d90: 69 6e 69 74 69 61 6c 69 7a 65 64 20 61 73 20 52 initialized as R
8da0: 6f 74 61 74 69 6f 6e 20 61 72 6f 75 6e 64 20 74 otation around t
8db0: 68 65 20 58 20 61 78 69 73 2e 3c 62 72 3e 0d 0a he X axis.<br>..
8dc0: 4e 55 4c 4c 20 69 66 20 61 6e 79 20 65 72 72 6f NULL if any erro
8dd0: 72 20 6f 63 63 75 72 73 20 6f 72 20 6f 6e 20 69 r occurs or on i
8de0: 6e 76 61 6c 69 64 20 61 72 67 75 6d 65 6e 74 73 nvalid arguments
8df0: 2e 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 .</td></tr>..<tr
8e00: 3e 3c 74 64 3e 3c 62 3e 41 54 4d 5f 43 72 65 61 ><td><b>ATM_Crea
8e10: 74 65 59 52 6f 6c 6c 20 28 20 64 6f 75 62 6c 65 teYRoll ( double
8e20: 20 61 6e 67 6c 65 49 6e 44 65 67 72 65 65 73 20 angleInDegrees
8e30: 29 20 3a 20 42 4c 4f 42 20 41 54 2d 6d 61 74 72 ) : BLOB AT-matr
8e40: 69 78 3c 2f 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 3e 57 ix</b></td><td>W
8e50: 69 6c 6c 20 72 65 74 75 72 6e 20 61 6e 20 41 66 ill return an Af
8e60: 66 69 6e 65 20 54 72 61 6e 73 66 6f 72 6d 61 74 fine Transformat
8e70: 69 6f 6e 20 4d 61 74 72 69 78 20 69 6e 69 74 69 ion Matrix initi
8e80: 61 6c 69 7a 65 64 20 61 73 20 52 6f 74 61 74 69 alized as Rotati
8e90: 6f 6e 20 61 72 6f 75 6e 64 20 74 68 65 20 59 20 on around the Y
8ea0: 61 78 69 73 2e 3c 62 72 3e 0d 0a 4e 55 4c 4c 20 axis.<br>..NULL
8eb0: 69 66 20 61 6e 79 20 65 72 72 6f 72 20 6f 63 63 if any error occ
8ec0: 75 72 73 20 6f 72 20 6f 6e 20 69 6e 76 61 6c 69 urs or on invali
8ed0: 64 20 61 72 67 75 6d 65 6e 74 73 2e 3c 2f 74 64 d arguments.</td
8ee0: 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 68 20 ></tr>..<tr><th
8ef0: 63 6f 6c 73 70 61 6e 3d 22 32 22 20 62 67 63 6f colspan="2" bgco
8f00: 6c 6f 72 3d 22 23 46 30 45 36 38 43 22 20 61 6c lor="#F0E68C" al
8f10: 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 53 51 4c ign="center">SQL
8f20: 20 66 75 6e 63 74 69 6f 6e 73 20 73 75 70 70 6f functions suppo
8f30: 72 74 69 6e 67 20 63 68 61 69 6e 69 6e 67 20 74 rting chaining t
8f40: 77 6f 20 41 66 66 69 6e 65 20 54 72 61 6e 73 66 wo Affine Transf
8f50: 6f 72 6d 61 74 69 6f 6e 20 4d 61 74 72 69 63 65 ormation Matrice
8f60: 73 3c 2f 74 68 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 s</th></tr>..<tr
8f70: 3e 3c 74 64 3e 3c 62 3e 41 54 4d 5f 54 72 61 6e ><td><b>ATM_Tran
8f80: 73 6c 61 74 65 20 28 20 42 4c 4f 42 20 41 54 2d slate ( BLOB AT-
8f90: 6d 61 74 72 69 78 20 2c 20 64 6f 75 62 6c 65 20 matrix , double
8fa0: 74 78 20 2c 20 64 6f 75 62 6c 65 20 74 79 20 29 tx , double ty )
8fb0: 20 3a 20 42 4c 4f 42 20 41 54 2d 6d 61 74 72 69 : BLOB AT-matri
8fc0: 78 3c 2f 62 3e 3c 62 72 3e 0d 0a 3c 62 3e 41 54 x</b><br>..<b>AT
8fd0: 4d 5f 54 72 61 6e 73 6c 61 74 65 20 28 20 42 4c M_Translate ( BL
8fe0: 4f 42 20 41 54 2d 6d 61 74 72 69 78 20 2c 20 64 OB AT-matrix , d
8ff0: 6f 75 62 6c 65 20 74 78 20 2c 20 64 6f 75 62 6c ouble tx , doubl
9000: 65 20 74 79 20 2c 20 64 6f 75 62 6c 65 20 74 7a e ty , double tz
9010: 20 29 20 3a 20 42 4c 4f 42 20 41 54 2d 6d 61 74 ) : BLOB AT-mat
9020: 72 69 78 3c 2f 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 3e rix</b></td><td>
9030: 57 69 6c 6c 20 72 65 74 75 72 6e 20 61 6e 20 41 Will return an A
9040: 66 66 69 6e 65 20 54 72 61 6e 73 66 6f 72 6d 61 ffine Transforma
9050: 74 69 6f 6e 20 4d 61 74 72 69 78 20 62 79 20 63 tion Matrix by c
9060: 68 61 69 6e 69 6e 67 20 72 65 73 70 65 63 74 69 haining respecti
9070: 76 65 6c 79 20 61 20 32 44 20 6f 72 20 33 44 20 vely a 2D or 3D
9080: 54 72 61 6e 73 6c 61 74 65 20 61 6e 64 20 61 6e Translate and an
9090: 6f 74 68 65 72 20 41 66 66 69 6e 65 20 54 72 61 other Affine Tra
90a0: 6e 73 66 6f 72 6d 61 74 69 6f 6e 2e 3c 62 72 3e nsformation.<br>
90b0: 0d 0a 4e 55 4c 4c 20 69 66 20 61 6e 79 20 65 72 ..NULL if any er
90c0: 72 6f 72 20 6f 63 63 75 72 73 20 6f 72 20 6f 6e ror occurs or on
90d0: 20 69 6e 76 61 6c 69 64 20 61 72 67 75 6d 65 6e invalid argumen
90e0: 74 73 2e 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c ts.</td></tr>..<
90f0: 74 72 3e 3c 74 64 3e 3c 62 3e 41 54 4d 5f 53 63 tr><td><b>ATM_Sc
9100: 61 6c 65 20 28 20 42 4c 4f 42 20 41 54 2d 6d 61 ale ( BLOB AT-ma
9110: 74 72 69 78 20 2c 20 64 6f 75 62 6c 65 20 73 78 trix , double sx
9120: 20 2c 20 64 6f 75 62 6c 65 20 73 79 20 29 20 3a , double sy ) :
9130: 20 42 4c 4f 42 20 41 54 2d 6d 61 74 72 69 78 3c BLOB AT-matrix<
9140: 2f 62 3e 3c 62 72 3e 0d 0a 3c 62 3e 41 54 4d 5f /b><br>..<b>ATM_
9150: 53 63 61 6c 65 20 28 20 42 4c 4f 42 20 41 54 2d Scale ( BLOB AT-
9160: 6d 61 74 72 69 78 20 2c 20 64 6f 75 62 6c 65 20 matrix , double
9170: 73 78 20 2c 20 64 6f 75 62 6c 65 20 73 79 20 2c sx , double sy ,
9180: 20 64 6f 75 62 6c 65 20 73 7a 20 29 20 3a 20 42 double sz ) : B
9190: 4c 4f 42 20 41 54 2d 6d 61 74 72 69 78 3c 2f 62 LOB AT-matrix</b
91a0: 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 3e 57 69 6c 6c 20 72 ></td><td>Will r
91b0: 65 74 75 72 6e 20 61 6e 20 41 66 66 69 6e 65 20 eturn an Affine
91c0: 54 72 61 6e 73 66 6f 72 6d 61 74 69 6f 6e 20 4d Transformation M
91d0: 61 74 72 69 78 20 62 79 20 63 68 61 69 6e 69 6e atrix by chainin
91e0: 67 20 72 65 73 70 65 63 74 69 76 65 6c 79 20 61 g respectively a
91f0: 20 32 44 20 6f 72 20 33 44 20 53 63 61 6c 65 20 2D or 3D Scale
9200: 61 6e 64 20 61 6e 6f 74 68 65 72 20 41 66 66 69 and another Affi
9210: 6e 65 20 54 72 61 6e 73 66 6f 72 6d 61 74 69 6f ne Transformatio
9220: 6e 2e 3c 62 72 3e 0d 0a 4e 55 4c 4c 20 69 66 20 n.<br>..NULL if
9230: 61 6e 79 20 65 72 72 6f 72 20 6f 63 63 75 72 73 any error occurs
9240: 20 6f 72 20 6f 6e 20 69 6e 76 61 6c 69 64 20 61 or on invalid a
9250: 72 67 75 6d 65 6e 74 73 2e 2e 3c 2f 74 64 3e 3c rguments..</td><
9260: 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 3e 3c 62 /tr>..<tr><td><b
9270: 3e 41 54 4d 5f 52 6f 74 61 74 65 20 28 20 42 4c >ATM_Rotate ( BL
9280: 4f 42 20 41 54 2d 6d 61 74 72 69 78 20 2c 20 64 OB AT-matrix , d
9290: 6f 75 62 6c 65 20 61 6e 67 6c 65 49 6e 44 65 67 ouble angleInDeg
92a0: 72 65 65 73 20 29 20 3a 20 42 4c 4f 42 20 41 54 rees ) : BLOB AT
92b0: 2d 6d 61 74 72 69 78 3c 2f 62 3e 3c 62 72 3e 0d -matrix</b><br>.
92c0: 0a 3c 62 3e 41 54 4d 5f 5a 52 6f 6c 6c 20 28 20 .<b>ATM_ZRoll (
92d0: 42 4c 4f 42 20 41 54 2d 6d 61 74 72 69 78 20 2c BLOB AT-matrix ,
92e0: 20 64 6f 75 62 6c 65 20 61 6e 67 6c 65 49 6e 44 double angleInD
92f0: 65 67 72 65 65 73 20 29 20 3a 20 42 4c 4f 42 20 egrees ) : BLOB
9300: 41 54 2d 6d 61 74 72 69 78 3c 2f 62 3e 3c 2f 74 AT-matrix</b></t
9310: 64 3e 3c 74 64 3e 57 69 6c 6c 20 72 65 74 75 72 d><td>Will retur
9320: 6e 20 61 6e 20 41 66 66 69 6e 65 20 54 72 61 6e n an Affine Tran
9330: 73 66 6f 72 6d 61 74 69 6f 6e 20 4d 61 74 72 69 sformation Matri
9340: 78 20 62 79 20 63 68 61 69 6e 69 6e 67 20 61 20 x by chaining a
9350: 52 6f 74 61 74 69 6f 6e 20 61 72 6f 75 6e 64 20 Rotation around
9360: 74 68 65 20 5a 20 61 78 69 73 20 61 6e 64 20 61 the Z axis and a
9370: 6e 6f 74 68 65 72 20 41 66 66 69 6e 65 20 54 72 nother Affine Tr
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9390: 3e 0d 0a 4e 55 4c 4c 20 69 66 20 61 6e 79 20 65 >..NULL if any e
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