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20f0: 20 41 54 4d 5f 52 6f 74 61 74 65 28 32 35 2c 0d ATM_Rotate(25,.
2100: 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 .
2110: 20 20 20 41 54 4d 5f 43 72 65 61 74 65 54 72 61 ATM_CreateTra
2120: 6e 73 6c 61 74 65 28 2d 63 78 2c 20 2d 63 79 29 nslate(-cx, -cy)
2130: 29 29 29 29 29 20 41 53 20 67 65 6f 6d 0d 0a 46 ))))) AS geom..F
2140: 52 4f 4d 20 28 53 45 4c 45 43 54 20 63 6f 64 5f ROM (SELECT cod_
2150: 72 65 67 2c 20 53 54 5f 58 28 63 65 6e 74 72 6f reg, ST_X(centro
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2170: 63 65 6e 74 72 6f 69 64 29 20 41 53 20 63 79 2c centroid) AS cy,
2180: 20 67 65 6f 6d 65 74 72 79 0d 0a 20 20 20 20 20 geometry..
2190: 20 46 52 4f 4d 20 28 53 45 4c 45 43 54 20 63 6f FROM (SELECT co
21a0: 64 5f 72 65 67 2c 20 53 54 5f 43 65 6e 74 72 6f d_reg, ST_Centro
21b0: 69 64 28 67 65 6f 6d 65 74 72 79 29 20 41 53 20 id(geometry) AS
21c0: 63 65 6e 74 72 6f 69 64 2c 20 67 65 6f 6d 65 74 centroid, geomet
21d0: 72 79 20 0d 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 ry ..
21e0: 20 46 52 4f 4d 20 73 69 63 69 6c 69 61 5f 30 29 FROM sicilia_0)
21f0: 20 41 53 20 67 31 0d 0a 29 20 41 53 20 67 32 3b AS g1..) AS g2;
2200: 0d 0a 53 45 4c 45 43 54 20 52 65 63 6f 76 65 72 ..SELECT Recover
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2220: 73 69 63 69 6c 69 61 5f 33 27 2c 20 27 67 65 6f sicilia_3', 'geo
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2250: 3b 0d 0a 3c 2f 76 65 72 62 61 74 69 6d 3e 20 0d ;..</verbatim> .
2260: 0a 3c 62 3e 52 65 6d 61 72 6b 73 3c 2f 62 3e 3a .<b>Remarks</b>:
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2290: 6c 6c 79 20 6e 65 77 20 69 6e 20 74 68 69 73 3a lly new in this:
22a0: 20 77 65 27 6c 6c 20 73 69 6d 70 6c 79 20 63 68 we'll simply ch
22b0: 61 69 6e 20 79 65 74 20 61 6e 6f 74 68 65 72 20 ain yet another
22c0: 74 72 61 6e 73 66 6f 72 6d 61 74 69 6f 6e 20 69 transformation i
22d0: 6e 20 74 68 65 20 61 70 70 72 6f 70 72 69 61 74 n the appropriat
22e0: 65 20 73 65 71 75 65 6e 63 65 20 6f 72 64 65 72 e sequence order
22f0: 2e 3c 2f 6c 69 3e 0d 0a 3c 6c 69 3e 3c 62 3e 41 .</li>..<li><b>A
2300: 54 4d 5f 53 63 61 6c 65 28 73 78 2c 20 73 79 29 TM_Scale(sx, sy)
2310: 3c 2f 62 3e 20 69 73 20 69 6e 74 65 6e 64 65 64 </b> is intended
2320: 20 66 6f 72 20 74 68 65 20 73 69 6d 70 6c 65 72 for the simpler
2330: 20 3c 62 3e 32 44 3c 2f 62 3e 20 63 61 73 65 2e <b>2D</b> case.
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2350: 65 20 6d 6f 72 65 20 67 65 6e 65 72 61 6c 20 3c e more general <
2360: 62 3e 33 44 3c 2f 62 3e 20 63 61 73 65 20 79 6f b>3D</b> case yo
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2380: 41 54 4d 5f 53 63 61 6c 65 28 73 78 2c 20 73 79 ATM_Scale(sx, sy
2390: 2c 20 73 7a 29 3c 2f 62 3e 3c 2f 6c 69 3e 0d 0a , sz)</b></li>..
23a0: 3c 2f 75 6c 3e 0d 0a 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 3e </ul>..</td><td>
23b0: 0d 0a 3c 69 6d 67 20 73 72 63 3d 22 68 74 74 70 ..<img src="http
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23d0: 2e 69 74 2f 67 61 69 61 2d 73 69 6e 73 2f 61 66 .it/gaia-sins/af
23e0: 66 69 6e 65 2d 70 69 63 73 2f 73 69 63 69 6c 79 fine-pics/sicily
23f0: 5f 33 2e 70 6e 67 22 20 61 6c 74 3d 22 77 66 73 _3.png" alt="wfs
2400: 2d 31 22 20 62 6f 72 64 65 72 3d 22 31 22 3e 0d -1" border="1">.
2410: 0a 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 .</td></tr>..<tr
2420: 3e 3c 74 64 3e 0d 0a 3c 68 33 3e 53 74 65 70 20 ><td>..<h3>Step
2430: 23 34 3a 20 66 69 6e 61 6c 20 74 6f 75 63 68 3a #4: final touch:
2440: 20 72 65 66 6c 65 63 74 69 6e 67 20 53 69 63 69 reflecting Sici
2450: 6c 79 3c 2f 68 33 3e 0d 0a 41 20 72 65 66 6c 65 ly</h3>..A refle
2460: 63 74 65 64 20 53 69 63 69 6c 79 20 70 72 65 73 cted Sicily pres
2470: 65 6e 74 73 20 6d 61 6e 79 20 69 6e 74 65 72 65 ents many intere
2480: 73 74 69 6e 67 20 61 64 76 61 6e 74 61 67 65 73 sting advantages
2490: 3a 20 77 65 27 6c 6c 20 65 78 61 6d 69 6e 65 20 : we'll examine
24a0: 61 6c 6c 20 74 68 65 6d 20 69 6e 20 66 75 6c 6c all them in full
24b0: 20 64 65 74 61 69 6c 20 69 6e 20 6f 75 72 20 73 detail in our s
24c0: 74 75 64 79 20 63 6f 6e 63 6c 75 73 69 6f 6e 73 tudy conclusions
24d0: 2e 3c 62 72 3e 0d 0a 53 6f 20 77 65 27 6c 6c 20 .<br>..So we'll
24e0: 6e 6f 77 20 61 70 70 6c 79 20 61 20 66 69 6e 61 now apply a fina
24f0: 6c 20 3c 61 20 68 72 65 66 3d 68 74 74 70 3a 2f l <a href=http:/
2500: 2f 65 6e 2e 77 69 6b 69 70 65 64 69 61 2e 6f 72 /en.wikipedia.or
2510: 67 2f 77 69 6b 69 2f 52 65 66 6c 65 63 74 69 6f g/wiki/Reflectio
2520: 6e 5f 25 32 38 6d 61 74 68 65 6d 61 74 69 63 73 n_%28mathematics
2530: 25 32 39 22 3e 72 65 66 6c 65 63 74 69 6f 6e 3c %29">reflection<
2540: 2f 61 3e 20 74 72 61 6e 73 66 6f 72 6d 61 74 69 /a> transformati
2550: 6f 6e 3b 20 74 68 69 73 20 73 69 6d 70 6c 79 20 on; this simply
2560: 63 6f 72 72 65 73 70 6f 6e 64 73 20 74 6f 20 61 corresponds to a
2570: 20 3c 62 3e 31 38 30 20 64 65 67 72 65 65 73 3c <b>180 degrees<
2580: 2f 62 3e 20 72 6f 74 61 74 69 6f 6e 20 61 72 6f /b> rotation aro
2590: 75 6e 64 20 74 68 65 20 3c 62 3e 59 20 61 78 69 und the <b>Y axi
25a0: 73 3c 2f 62 3e 2e 3c 62 72 3e 0d 0a 41 6e 64 20 s</b>.<br>..And
25b0: 74 68 65 20 66 6f 6c 6c 6f 77 69 6e 67 20 69 73 the following is
25c0: 20 74 68 65 20 66 69 6e 61 6c 20 53 51 4c 20 73 the final SQL s
25d0: 74 61 74 65 6d 65 6e 74 20 61 70 70 6c 79 69 6e tatement applyin
25e0: 67 20 61 6c 6c 20 74 68 65 20 61 62 6f 76 65 20 g all the above
25f0: 74 72 61 6e 73 66 6f 72 6d 61 74 69 6f 6e 73 20 transformations
2600: 69 6e 20 61 20 73 69 6e 67 6c 65 20 73 68 6f 74 in a single shot
2610: 3a 0d 0a 3c 76 65 72 62 61 74 69 6d 3e 43 52 45 :..<verbatim>CRE
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26a0: 30 30 30 30 2c 0d 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 20 0000,..
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26e0: 2c 0d 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 ,..
26f0: 20 20 41 54 4d 5f 53 63 61 6c 65 28 30 2e 39 2c ATM_Scale(0.9,
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2730: 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 41 54 AT
2740: 4d 5f 43 72 65 61 74 65 54 72 61 6e 73 6c 61 74 M_CreateTranslat
2750: 65 28 2d 63 78 2c 20 2d 63 79 29 29 29 29 29 29 e(-cx, -cy))))))
2760: 29 20 41 53 20 67 65 6f 6d 0d 0a 46 52 4f 4d 20 ) AS geom..FROM
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27a0: 72 6f 69 64 29 20 41 53 20 63 79 2c 20 67 65 6f roid) AS cy, geo
27b0: 6d 65 74 72 79 0d 0a 20 20 20 20 20 20 46 52 4f metry.. FRO
27c0: 4d 20 28 53 45 4c 45 43 54 20 63 6f 64 5f 72 65 M (SELECT cod_re
27d0: 67 2c 20 53 54 5f 43 65 6e 74 72 6f 69 64 28 67 g, ST_Centroid(g
27e0: 65 6f 6d 65 74 72 79 29 20 41 53 20 63 65 6e 74 eometry) AS cent
27f0: 72 6f 69 64 2c 20 67 65 6f 6d 65 74 72 79 20 0d roid, geometry .
2800: 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 46 52 4f . FRO
2810: 4d 20 73 69 63 69 6c 69 61 5f 30 29 20 41 53 20 M sicilia_0) AS
2820: 67 31 0d 0a 29 20 41 53 20 67 32 3b 0d 0a 53 45 g1..) AS g2;..SE
2830: 4c 45 43 54 20 52 65 63 6f 76 65 72 47 65 6f 6d LECT RecoverGeom
2840: 65 74 72 79 43 6f 6c 75 6d 6e 28 27 73 69 63 69 etryColumn('sici
2850: 6c 69 61 5f 34 27 2c 20 27 67 65 6f 6d 27 2c 20 lia_4', 'geom',
2860: 33 32 36 33 32 2c 20 27 4d 55 4c 54 49 50 4f 4c 32632, 'MULTIPOL
2870: 59 47 4f 4e 27 2c 20 27 58 59 27 29 3b 0d 0a 3c YGON', 'XY');..<
2880: 2f 76 65 72 62 61 74 69 6d 3e 20 0d 0a 3c 62 3e /verbatim> ..<b>
2890: 52 65 6d 61 72 6b 73 3c 2f 62 3e 3a 0d 0a 3c 75 Remarks</b>:..<u
28a0: 6c 3e 0d 0a 3c 6c 69 3e 74 68 65 72 65 20 61 72 l>..<li>there ar
28b0: 65 20 73 65 76 65 72 61 6c 20 70 6f 73 73 69 62 e several possib
28c0: 6c 65 20 72 6f 74 61 74 69 6f 6e 73 20 73 75 70 le rotations sup
28d0: 70 6f 72 74 65 64 20 62 79 20 41 66 66 69 6e 65 ported by Affine
28e0: 20 54 72 61 6e 73 66 6f 72 6d 61 74 69 6f 6e 3a Transformation:
28f0: 0d 0a 3c 6f 6c 3e 0d 0a 3c 6c 69 3e 3c 62 3e 41 ..<ol>..<li><b>A
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4490: 72 65 20 69 73 20 64 69 72 65 63 74 20 72 65 6c re is direct rel
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4ca0: 62 3e 74 7a 3c 2f 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 b>tz</b></td><td
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4ce0: 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 </td><td align="
4cf0: 63 65 6e 74 65 72 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 center">0</td><t
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4d10: 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e >0</td><td align
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4d30: 3c 74 64 3e 2f 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d <td>/</td></tr>.
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4da0: 2f 62 3e 2c 20 3c 62 3e 73 7a 3c 2f 62 3e 29 3c /b>, <b>sz</b>)<
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4e30: 5c 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 \</td></tr>..<tr
4e40: 3e 3c 74 64 3e 7c 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 ><td>|</td><td a
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4e90: 63 65 6e 74 65 72 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 center">0</td><t
4ea0: 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 d align="center"
4eb0: 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 3e 7c 3c 2f 74 64 >0</td><td>|</td
4ec0: 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 3e ></tr>..<tr><td>
4ed0: 7c 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d |</td><td align=
4ee0: 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c "center">0</td><
4ef0: 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 td align="center
4f00: 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 ">0</td><td alig
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4f20: 3c 2f 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 </b></td><td ali
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4f50: 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 3e 5c 3c 2f 74 64 >..<tr><td>\</td
4f60: 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 ><td align="cent
4f70: 65 72 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c er">0</td><td al
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4f90: 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 td><td align="ce
4fa0: 6e 74 65 72 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 nter">0</td><td
4fb0: 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 31 align="center">1
4fc0: 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 3e 2f 3c 2f 74 64 3e 3c </td><td>/</td><
4fd0: 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 20 63 6f /tr>..<tr><td co
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4ff0: 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 td></tr>..<tr><t
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5030: 2f 62 3e 29 3c 2f 74 64 3e 0d 0a 3c 74 64 3e 2f /b>)</td>..<td>/
5040: 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 </td><td align="
5050: 63 65 6e 74 65 72 22 3e 31 3c 2f 74 64 3e 3c 74 center">1</td><t
5060: 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 d align="center"
5070: 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e >0</td><td align
5080: 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e ="center">0</td>
5090: 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 <td align="cente
50a0: 72 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 3e 5c 3c 2f r">0</td><td>\</
50b0: 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 td></tr>..<tr><t
50c0: 64 3e 7c 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 d>|</td><td alig
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50e0: 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 ><td align="cent
50f0: 65 72 22 3e 3c 62 3e 63 6f 73 28 26 74 68 65 74 er"><b>cos(&thet
5100: 61 3b 29 3c 2f 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 a;)</b></td><td
5110: 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 3c align="center"><
5120: 62 3e 2d 73 69 6e 28 26 74 68 65 74 61 3b 29 3c b>-sin(θ)<
5130: 2f 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 /b></td><td alig
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5150: 3e 3c 74 64 3e 7c 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e ><td>|</td></tr>
5160: 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 3e 7c 3c 2f 74 64 3e ..<tr><td>|</td>
5170: 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 <td align="cente
5180: 72 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 r">0</td><td ali
5190: 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 3c 62 3e 73 gn="center"><b>s
51a0: 69 6e 28 26 74 68 65 74 61 3b 29 3c 2f 62 3e 3c in(θ)</b><
51b0: 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 /td><td align="c
51c0: 65 6e 74 65 72 22 3e 3c 62 3e 63 6f 73 28 26 74 enter"><b>cos(&t
51d0: 68 65 74 61 3b 29 3c 2f 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c heta;)</b></td><
51e0: 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 td align="center
51f0: 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 3e 7c 3c 2f 74 ">0</td><td>|</t
5200: 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 d></tr>..<tr><td
5210: 3e 5c 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e >\</td><td align
5220: 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e ="center">0</td>
5230: 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 <td align="cente
5240: 72 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 r">0</td><td ali
5250: 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 30 3c 2f 74 gn="center">0</t
5260: 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e d><td align="cen
5270: 74 65 72 22 3e 31 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 3e 2f ter">1</td><td>/
5280: 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 3e </td></tr>..<tr>
5290: 3c 74 64 20 63 6f 6c 73 70 61 6e 3d 22 35 22 3e <td colspan="5">
52a0: 3c 68 72 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a <hr></td></tr>..
52b0: 3c 74 72 3e 3c 74 64 20 72 6f 77 73 70 61 6e 3d <tr><td rowspan=
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52d0: 6c 65 22 3e 59 20 52 6f 6c 6c 28 3c 62 3e 26 74 le">Y Roll(<b>&t
52e0: 68 65 74 61 3b 3c 2f 62 3e 29 3c 2f 74 64 3e 0d heta;</b>)</td>.
52f0: 0a 3c 74 64 3e 2f 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 .<td>/</td><td a
5300: 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 3c 62 lign="center"><b
5310: 3e 63 6f 73 28 26 74 68 65 74 61 3b 29 3c 2f 62 >cos(θ)</b
5320: 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d ></td><td align=
5330: 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c "center">0</td><
5340: 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 td align="center
5350: 22 3e 3c 62 3e 73 69 6e 28 26 74 68 65 74 61 3b "><b>sin(θ
5360: 29 3c 2f 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c )</b></td><td al
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5380: 74 64 3e 3c 74 64 3e 5c 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 td><td>\</td></t
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53a0: 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e d><td align="cen
53b0: 74 65 72 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 ter">0</td><td a
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53e0: 65 6e 74 65 72 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 enter">0</td><td
53f0: 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e align="center">
5400: 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 3e 7c 3c 2f 74 64 3e 0</td><td>|</td>
5410: 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 3e 7c </tr>..<tr><td>|
5420: 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 </td><td align="
5430: 63 65 6e 74 65 72 22 3e 3c 62 3e 2d 73 69 6e 28 center"><b>-sin(
5440: 26 74 68 65 74 61 3b 29 3c 2f 62 3e 3c 2f 74 64 θ)</b></td
5450: 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 ><td align="cent
5460: 65 72 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c er">0</td><td al
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5480: 63 6f 73 28 26 74 68 65 74 61 3b 29 3c 2f 62 3e cos(θ)</b>
5490: 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 </td><td align="
54a0: 63 65 6e 74 65 72 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 center">0</td><t
54b0: 64 3e 7c 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c d>|</td></tr>..<
54c0: 74 72 3e 3c 74 64 3e 5c 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 tr><td>\</td><td
54d0: 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e align="center">
54e0: 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 0</td><td align=
54f0: 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c "center">0</td><
5500: 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 td align="center
5510: 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 ">0</td><td alig
5520: 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 31 3c 2f 74 64 n="center">1</td
5530: 3e 3c 74 64 3e 2f 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e ><td>/</td></tr>
5540: 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 20 63 6f 6c 73 70 61 ..<tr><td colspa
5550: 6e 3d 22 35 22 3e 3c 68 72 3e 3c 2f 74 64 3e 3c n="5"><hr></td><
5560: 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 20 72 6f /tr>..<tr><td ro
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55c0: 65 72 22 3e 3c 62 3e 63 6f 73 28 26 74 68 65 74 er"><b>cos(&thet
55d0: 61 3b 29 3c 2f 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 a;)</b></td><td
55e0: 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 3c align="center"><
55f0: 62 3e 2d 73 69 6e 28 26 74 68 65 74 61 3b 29 3c b>-sin(θ)<
5600: 2f 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 /b></td><td alig
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5620: 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 ><td align="cent
5630: 65 72 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 3e 5c 3c er">0</td><td>\<
5640: 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c /td></tr>..<tr><
5650: 74 64 3e 7c 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 td>|</td><td ali
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5670: 69 6e 28 26 74 68 65 74 61 3b 29 3c 2f 62 3e 3c in(θ)</b><
5680: 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 /td><td align="c
5690: 65 6e 74 65 72 22 3e 3c 62 3e 63 6f 73 28 26 74 enter"><b>cos(&t
56a0: 68 65 74 61 3b 29 3c 2f 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c heta;)</b></td><
56b0: 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 td align="center
56c0: 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 ">0</td><td alig
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56e0: 3e 3c 74 64 3e 7c 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e ><td>|</td></tr>
56f0: 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 3e 7c 3c 2f 74 64 3e ..<tr><td>|</td>
5700: 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 <td align="cente
5710: 72 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 r">0</td><td ali
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5730: 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e d><td align="cen
5740: 74 65 72 22 3e 31 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 ter">1</td><td a
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5760: 2f 74 64 3e 3c 74 64 3e 7c 3c 2f 74 64 3e 3c 2f /td><td>|</td></
5770: 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 3e 5c 3c 2f tr>..<tr><td>\</
5780: 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 td><td align="ce
5790: 6e 74 65 72 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 nter">0</td><td
57a0: 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 30 align="center">0
57b0: 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 </td><td align="
57c0: 63 65 6e 74 65 72 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 center">0</td><t
57d0: 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 d align="center"
57e0: 3e 31 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 3e 2f 3c 2f 74 64 >1</td><td>/</td
57f0: 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 3e ></tr>..<tr><td>
5800: 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 2f 74 61 </td></tr>..</ta
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5830: 41 66 66 69 6e 65 20 54 72 61 6e 73 66 6f 72 6d Affine Transform
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5900: 70 75 74 20 47 65 6f 6d 65 74 72 79 20 61 63 63 put Geometry acc
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5950: 20 2b 20 63 2a 7a 20 2b 20 78 6f 66 66 3c 2f 62 + c*z + xoff</b
5960: 3e 3c 2f 6c 69 3e 0d 0a 3c 6c 69 3e 3c 62 3e 79 ></li>..<li><b>y
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5980: 66 2a 7a 20 2b 20 79 6f 66 66 3c 2f 62 3e 3c 2f f*z + yoff</b></
5990: 6c 69 3e 0d 0a 3c 6c 69 3e 3c 62 3e 7a 27 20 3d li>..<li><b>z' =
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59b0: 20 2b 20 7a 6f 66 66 3c 2f 62 3e 3c 2f 6c 69 3e + zoff</b></li>
59c0: 0d 0a 3c 2f 75 6c 3e 3c 62 72 3e 0d 0a 69 6e 20 ..</ul><br>..in
59d0: 74 68 65 20 73 69 6d 70 6c 65 72 20 3c 62 3e 32 the simpler <b>2
59e0: 44 3c 2f 62 3e 20 63 61 73 65 20 74 68 69 73 20 D</b> case this
59f0: 77 69 6c 6c 20 61 73 73 75 6d 65 20 74 68 65 20 will assume the
5a00: 72 65 64 75 63 65 64 20 66 6f 72 6d 3a 0d 0a 3c reduced form:..<
5a10: 75 6c 3e 0d 0a 3c 6c 69 3e 3c 62 3e 78 27 20 3d ul>..<li><b>x' =
5a20: 20 61 2a 78 20 2b 20 62 2a 79 20 2b 20 78 6f 66 a*x + b*y + xof
5a30: 66 3c 2f 62 3e 3c 2f 6c 69 3e 0d 0a 3c 6c 69 3e f</b></li>..<li>
5a40: 3c 62 3e 79 27 20 3d 20 64 2a 78 20 2b 20 65 2a <b>y' = d*x + e*
5a50: 79 20 2b 20 79 6f 66 66 3c 2f 62 3e 3c 2f 6c 69 y + yoff</b></li
5a60: 3e 0d 0a 3c 2f 75 6c 3e 3c 62 72 3e 0d 0a 41 73 >..</ul><br>..As
5a70: 20 79 6f 75 20 63 61 6e 20 6e 6f 74 69 63 65 2c you can notice,
5a80: 20 61 70 70 6c 79 69 6e 67 20 61 6e 20 41 66 66 applying an Aff
5a90: 69 6e 65 20 54 72 61 6e 73 66 6f 72 6d 61 74 69 ine Transformati
5aa0: 6f 6e 20 64 6f 65 73 20 6e 6f 74 20 72 65 71 75 on does not requ
5ab0: 69 72 65 73 20 63 6f 6d 70 75 74 69 6e 67 20 61 ires computing a
5ac0: 6e 79 20 74 72 69 67 6f 6e 6f 6d 65 74 72 69 63 ny trigonometric
5ad0: 20 66 75 6e 63 74 69 6f 6e 2e 3c 62 72 3e 0d 0a function.<br>..
5ae0: 54 72 69 67 6f 6e 6f 6d 65 74 72 69 63 20 66 75 Trigonometric fu
5af0: 6e 63 74 69 6f 6e 73 20 61 72 65 20 76 65 72 79 nctions are very
5b00: 20 63 6f 73 74 6c 79 20 69 6e 20 63 6f 6d 70 75 costly in compu
5b10: 74 61 74 69 6f 6e 61 6c 20 74 65 72 6d 73 2c 20 tational terms,
5b20: 73 6f 20 61 70 70 6c 79 69 6e 67 20 61 6e 20 41 so applying an A
5b30: 66 66 69 6e 65 20 54 72 61 6e 73 66 6f 72 6d 61 ffine Transforma
5b40: 74 69 6f 6e 20 69 73 20 61 6e 20 69 6e 74 72 69 tion is an intri
5b50: 6e 73 69 63 61 6c 6c 79 20 65 66 66 69 63 69 65 nsically efficie
5b60: 6e 74 20 6d 65 63 68 61 6e 69 73 6d 20 62 65 63 nt mechanism bec
5b70: 61 75 73 65 20 73 69 6d 70 6c 79 20 64 65 70 65 ause simply depe
5b80: 6e 64 73 20 6f 6e 20 6d 75 6c 74 69 70 6c 69 63 nds on multiplic
5b90: 61 74 69 6f 6e 73 20 61 6e 64 20 61 64 64 69 74 ations and addit
5ba0: 69 6f 6e 73 2e 3c 62 72 3e 0d 0a 3c 62 72 3e 3c ions.<br>..<br><
5bb0: 68 72 3e 0d 0a 3c 68 33 3e 63 68 61 69 6e 69 6e hr>..<h3>chainin
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5bd0: 6f 72 65 29 20 41 66 66 69 6e 65 20 54 72 61 6e ore) Affine Tran
5be0: 73 66 6f 72 6d 61 74 69 6f 6e 73 20 69 6e 20 61 sformations in a
5bf0: 20 73 69 67 6c 65 20 6f 70 65 72 61 74 69 6f 6e sigle operation
5c00: 3c 2f 68 33 3e 0d 0a 41 66 66 69 6e 65 20 74 72 </h3>..Affine tr
5c10: 61 6e 73 66 6f 72 6d 61 74 69 6f 6e 20 6d 61 74 ansformation mat
5c20: 72 69 63 65 73 20 68 61 76 65 20 61 6e 6f 74 68 rices have anoth
5c30: 65 72 20 61 6d 61 7a 69 6e 67 20 70 72 6f 70 65 er amazing prope
5c40: 72 74 79 2e 3c 62 72 3e 0d 0a 57 65 20 63 61 6e rty.<br>..We can
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5c60: 2f 65 6e 2e 77 69 6b 69 70 65 64 69 61 2e 6f 72 /en.wikipedia.or
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5cb0: 74 72 61 6e 73 66 6f 72 6d 61 74 69 6f 6e 20 6d transformation m
5cc0: 61 74 72 69 63 65 73 20 74 68 75 73 20 6f 62 74 atrices thus obt
5cd0: 61 69 6e 69 6e 67 20 61 20 74 68 69 72 64 20 61 aining a third a
5ce0: 66 66 69 6e 65 20 74 72 61 6e 73 66 6f 72 6d 61 ffine transforma
5cf0: 74 69 6f 6e 20 6d 61 74 72 69 78 2c 20 61 6e 64 tion matrix, and
5d00: 20 74 68 69 73 20 6c 61 74 65 73 74 20 6f 6e 63 this latest onc
5d10: 65 20 61 70 70 6c 69 65 64 20 77 69 6c 6c 20 63 e applied will c
5d20: 6f 6e 74 61 69 6e 20 62 6f 74 68 20 74 72 61 6e ontain both tran
5d30: 73 66 6f 72 6d 61 74 69 6f 6e 73 20 61 6e 64 20 sformations and
5d40: 69 6e 20 74 68 65 20 72 69 67 68 74 20 73 65 71 in the right seq
5d50: 75 65 6e 63 65 2e 3c 62 72 3e 0d 0a 54 68 65 72 uence.<br>..Ther
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5da0: 20 61 73 20 72 65 71 75 69 72 65 64 2c 20 77 65 as required, we
5db0: 27 6c 6c 20 73 69 6d 70 6c 79 20 68 61 76 65 20 'll simply have
5dc0: 74 6f 20 63 6f 6e 74 69 6e 75 65 20 6d 75 6c 74 to continue mult
5dd0: 69 70 6c 79 69 6e 67 20 61 6c 6c 20 6d 61 74 72 iplying all matr
5de0: 69 63 65 73 20 6f 6e 65 20 61 66 74 65 72 20 74 ices one after t
5df0: 68 65 20 6f 74 68 65 72 20 63 61 72 65 66 75 6c he other careful
5e00: 6c 79 20 72 65 73 70 65 63 74 69 6e 67 20 74 68 ly respecting th
5e10: 65 20 61 70 70 72 6f 70 72 69 61 74 65 20 73 65 e appropriate se
5e20: 71 75 65 6e 63 65 2e 3c 62 72 3e 0d 0a 41 74 20 quence.<br>..At
5e30: 74 68 65 20 65 6e 64 20 6f 66 20 74 68 65 20 70 the end of the p
5e40: 72 6f 63 65 73 73 20 77 65 27 6c 6c 20 61 6c 77 rocess we'll alw
5e50: 61 79 73 20 67 65 74 20 6a 75 73 74 20 61 20 73 ays get just a s
5e60: 69 6e 67 6c 65 20 61 66 66 69 6e 65 20 74 72 61 ingle affine tra
5e70: 6e 73 66 6f 72 6d 61 74 69 6f 6e 20 6d 61 74 72 nsformation matr
5e80: 69 78 20 66 61 69 74 68 66 75 6c 6c 79 20 72 65 ix faithfully re
5e90: 70 72 65 73 65 6e 74 69 6e 67 20 61 6e 79 20 69 presenting any i
5ea0: 6e 64 69 76 69 64 75 61 6c 20 74 72 61 6e 73 66 ndividual transf
5eb0: 6f 72 6d 61 74 69 6f 6e 20 69 6e 20 74 68 65 20 ormation in the
5ec0: 63 68 61 69 6e 2e 0d 0a 3c 74 61 62 6c 65 20 62 chain...<table b
5ed0: 67 63 6f 6c 6f 72 3d 22 23 66 66 63 30 30 30 22 gcolor="#ffc000"
5ee0: 20 63 65 6c 6c 70 61 64 64 69 6e 67 3d 22 31 30 cellpadding="10
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5f00: 6d 75 6c 74 69 70 6c 69 63 61 74 69 6f 6e 20 62 multiplication b
5f10: 65 74 77 65 65 6e 20 74 77 6f 20 6d 61 74 72 69 etween two matri
5f20: 63 65 73 20 3c 75 3e 69 73 20 6e 6f 74 20 61 20 ces <u>is not a
5f30: 63 6f 6d 6d 75 74 61 74 69 76 65 20 6f 70 65 72 commutative oper
5f40: 61 74 69 6f 6e 3c 2f 75 3e 3a 20 74 68 65 20 72 ation</u>: the r
5f50: 65 6c 61 74 69 76 65 20 6f 72 64 65 72 20 6f 66 elative order of
5f60: 20 6f 70 65 72 61 6e 64 73 20 69 73 20 61 62 73 operands is abs
5f70: 6f 6c 75 74 65 6c 79 20 72 65 6c 65 76 61 6e 74 olutely relevant
5f80: 2e 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 3c 2f 74 61 62 .</td></tr></tab
5f90: 6c 65 3e 0d 0a 3c 68 33 3e 6d 75 6c 74 69 70 6c le>..<h3>multipl
5fa0: 79 69 6e 67 20 74 77 6f 20 6d 61 74 72 69 63 65 ying two matrice
5fb0: 73 3c 2f 68 33 3e 0d 0a 4d 75 6c 74 69 70 6c 69 s</h3>..Multipli
5fc0: 63 61 74 69 6f 6e 20 69 73 20 6e 6f 74 20 72 65 cation is not re
5fd0: 61 6c 6c 79 20 61 20 73 69 6d 70 6c 65 20 6f 70 ally a simple op
5fe0: 65 72 61 74 69 6f 6e 20 77 68 65 6e 20 6d 61 74 eration when mat
5ff0: 72 69 63 65 73 20 61 72 65 20 69 6e 76 6f 6c 76 rices are involv
6000: 65 64 20 61 6e 64 20 72 65 71 75 69 72 65 73 20 ed and requires
6010: 61 20 72 61 74 68 65 72 20 63 6f 6d 70 6c 65 78 a rather complex
6020: 20 70 72 6f 63 65 64 75 72 65 3b 20 74 68 65 20 procedure; the
6030: 66 6f 6c 6c 6f 77 69 6e 67 20 65 78 61 6d 70 6c following exampl
6040: 65 20 73 68 6f 77 73 20 68 6f 77 20 74 6f 20 6d e shows how to m
6050: 75 6c 74 69 70 6c 79 20 74 77 6f 20 3c 62 3e 34 ultiply two <b>4
6060: 20 78 20 34 3c 2f 62 3e 20 6d 61 74 72 69 63 65 x 4</b> matrice
6070: 73 2e 3c 62 72 3e 0d 0a 3c 74 61 62 6c 65 20 63 s.<br>..<table c
6080: 65 6c 6c 73 70 61 63 69 6e 67 3d 22 34 22 20 63 ellspacing="4" c
6090: 65 6c 6c 70 61 64 64 69 6e 67 3d 22 34 22 3e 0d ellpadding="4">.
60a0: 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 3e 0d 0a 3c 74 61 62 6c .<tr><td>..<tabl
60b0: 65 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 3e 2f 3c 2f 74 e>..<tr><td>/</t
60c0: 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e d><td align="cen
60d0: 74 65 72 22 3e 61 3c 73 75 62 3e 31 31 3c 2f 73 ter">a<sub>11</s
60e0: 75 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 ub></td><td alig
60f0: 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 61 3c 73 75 62 n="center">a<sub
6100: 3e 31 32 3c 2f 73 75 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 >12</sub></td><t
6110: 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 d align="center"
6120: 3e 61 3c 73 75 62 3e 31 33 3c 2f 73 75 62 3e 3c >a<sub>13</sub><
6130: 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 /td><td align="c
6140: 65 6e 74 65 72 22 3e 61 3c 73 75 62 3e 31 34 3c enter">a<sub>14<
6150: 2f 73 75 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 3e 5c 3c /sub></td><td>\<
6160: 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c /td></tr>..<tr><
6170: 74 64 3e 7c 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 td>|</td><td ali
6180: 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 61 3c 73 75 gn="center">a<su
6190: 62 3e 32 31 3c 2f 73 75 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c b>21</sub></td><
61a0: 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 td align="center
61b0: 22 3e 61 3c 73 75 62 3e 32 32 3c 2f 73 75 62 3e ">a<sub>22</sub>
61c0: 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 </td><td align="
61d0: 63 65 6e 74 65 72 22 3e 61 3c 73 75 62 3e 32 33 center">a<sub>23
61e0: 3c 2f 73 75 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 </sub></td><td a
61f0: 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 61 3c lign="center">a<
6200: 73 75 62 3e 32 34 3c 2f 73 75 62 3e 3c 2f 74 64 sub>24</sub></td
6210: 3e 3c 74 64 3e 7c 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e ><td>|</td></tr>
6220: 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 3e 7c 3c 2f 74 64 3e ..<tr><td>|</td>
6230: 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 <td align="cente
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6250: 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d ></td><td align=
6260: 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 61 3c 73 75 62 3e 33 "center">a<sub>3
6270: 32 3c 2f 73 75 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 2</sub></td><td
6280: 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 61 align="center">a
6290: 3c 73 75 62 3e 33 33 3c 2f 73 75 62 3e 3c 2f 74 <sub>33</sub></t
62a0: 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e d><td align="cen
62b0: 74 65 72 22 3e 61 3c 73 75 62 3e 33 34 3c 2f 73 ter">a<sub>34</s
62c0: 75 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 3e 7c 3c 2f 74 ub></td><td>|</t
62d0: 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 d></tr>..<tr><td
62e0: 3e 5c 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e >\</td><td align
62f0: 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 61 3c 73 75 62 3e ="center">a<sub>
6300: 34 31 3c 2f 73 75 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 41</sub></td><td
6310: 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e align="center">
6320: 61 3c 73 75 62 3e 34 32 3c 2f 73 75 62 3e 3c 2f a<sub>42</sub></
6330: 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 td><td align="ce
6340: 6e 74 65 72 22 3e 61 3c 73 75 62 3e 34 33 3c 2f nter">a<sub>43</
6350: 73 75 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 sub></td><td ali
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6370: 62 3e 34 34 3c 2f 73 75 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c b>44</sub></td><
6380: 74 64 3e 2f 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a td>/</td></tr>..
6390: 3c 2f 74 61 62 6c 65 3e 0d 0a 3c 2f 74 64 3e 3c </table>..</td><
63a0: 74 64 20 76 61 6c 69 67 6e 3d 22 6d 69 64 64 6c td valign="middl
63b0: 65 22 3e 2a 3c 2f 74 64 3e 0d 0a 3c 74 64 3e 0d e">*</td>..<td>.
63c0: 0a 3c 74 61 62 6c 65 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 .<table>..<tr><t
63d0: 64 3e 2f 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 d>/</td><td alig
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63f0: 3e 31 31 3c 2f 73 75 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 >11</sub></td><t
6400: 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 d align="center"
6410: 3e 62 3c 73 75 62 3e 31 32 3c 2f 73 75 62 3e 3c >b<sub>12</sub><
6420: 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 /td><td align="c
6430: 65 6e 74 65 72 22 3e 62 3c 73 75 62 3e 31 33 3c enter">b<sub>13<
6440: 2f 73 75 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c /sub></td><td al
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6460: 75 62 3e 31 34 3c 2f 73 75 62 3e 3c 2f 74 64 3e ub>14</sub></td>
6470: 3c 74 64 3e 5c 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d <td>\</td></tr>.
6480: 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 3e 7c 3c 2f 74 64 3e 3c .<tr><td>|</td><
6490: 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 td align="center
64a0: 22 3e 62 3c 73 75 62 3e 32 31 3c 2f 73 75 62 3e ">b<sub>21</sub>
64b0: 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 </td><td align="
64c0: 63 65 6e 74 65 72 22 3e 62 3c 73 75 62 3e 32 32 center">b<sub>22
64d0: 3c 2f 73 75 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 </sub></td><td a
64e0: 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 62 3c lign="center">b<
64f0: 73 75 62 3e 32 33 3c 2f 73 75 62 3e 3c 2f 74 64 sub>23</sub></td
6500: 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 ><td align="cent
6510: 65 72 22 3e 62 3c 73 75 62 3e 32 34 3c 2f 73 75 er">b<sub>24</su
6520: 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 3e 7c 3c 2f 74 64 b></td><td>|</td
6530: 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 3e ></tr>..<tr><td>
6540: 7c 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d |</td><td align=
6550: 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 62 3c 73 75 62 3e 33 "center">b<sub>3
6560: 31 3c 2f 73 75 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 1</sub></td><td
6570: 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 62 align="center">b
6580: 3c 73 75 62 3e 33 32 3c 2f 73 75 62 3e 3c 2f 74 <sub>32</sub></t
6590: 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e d><td align="cen
65a0: 74 65 72 22 3e 62 3c 73 75 62 3e 33 33 3c 2f 73 ter">b<sub>33</s
65b0: 75 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 ub></td><td alig
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65d0: 3e 33 34 3c 2f 73 75 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 >34</sub></td><t
65e0: 64 3e 7c 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c d>|</td></tr>..<
65f0: 74 72 3e 3c 74 64 3e 5c 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 tr><td>\</td><td
6600: 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e align="center">
6610: 62 3c 73 75 62 3e 34 31 3c 2f 73 75 62 3e 3c 2f b<sub>41</sub></
6620: 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 td><td align="ce
6630: 6e 74 65 72 22 3e 62 3c 73 75 62 3e 34 32 3c 2f nter">b<sub>42</
6640: 73 75 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 sub></td><td ali
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6660: 62 3e 34 33 3c 2f 73 75 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c b>43</sub></td><
6670: 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 td align="center
6680: 22 3e 62 3c 73 75 62 3e 34 34 3c 2f 73 75 62 3e ">b<sub>44</sub>
6690: 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 3e 2f 3c 2f 74 64 3e 3c </td><td>/</td><
66a0: 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 2f 74 61 62 6c 65 3e 0d 0a /tr>..</table>..
66b0: 3c 2f 74 64 3e 0d 0a 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 </td>..</td><td
66c0: 76 61 6c 69 67 6e 3d 22 6d 69 64 64 6c 65 22 3e valign="middle">
66d0: 3d 3c 2f 74 64 3e 0d 0a 3c 74 64 3e 0d 0a 3c 74 =</td>..<td>..<t
66e0: 61 62 6c 65 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 3e 2f able>..<tr><td>/
66f0: 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 </td><td align="
6700: 63 65 6e 74 65 72 22 3e 0d 0a 28 61 3c 73 75 62 center">..(a<sub
6710: 3e 31 31 3c 2f 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e >11</sub>*b<sub>
6720: 31 31 3c 2f 73 75 62 3e 20 2b 20 0d 0a 61 3c 73 11</sub> + ..a<s
6730: 75 62 3e 31 32 3c 2f 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 ub>12</sub>*b<su
6740: 62 3e 32 31 3c 2f 73 75 62 3e 20 2b 20 0d 0a 61 b>21</sub> + ..a
6750: 3c 73 75 62 3e 31 33 3c 2f 73 75 62 3e 2a 62 3c <sub>13</sub>*b<
6760: 73 75 62 3e 33 31 3c 2f 73 75 62 3e 20 2b 20 0d sub>31</sub> + .
6770: 0a 61 3c 73 75 62 3e 31 34 3c 2f 73 75 62 3e 2a .a<sub>14</sub>*
6780: 62 3c 73 75 62 3e 34 31 3c 2f 73 75 62 3e 29 3c b<sub>41</sub>)<
6790: 2f 74 64 3e 0d 0a 3c 74 64 3e 28 61 3c 73 75 62 /td>..<td>(a<sub
67a0: 3e 31 31 3c 2f 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e >11</sub>*b<sub>
67b0: 31 32 3c 2f 73 75 62 3e 20 2b 20 0d 0a 61 3c 73 12</sub> + ..a<s
67c0: 75 62 3e 31 32 3c 2f 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 ub>12</sub>*b<su
67d0: 62 3e 32 32 3c 2f 73 75 62 3e 20 2b 20 0d 0a 61 b>22</sub> + ..a
67e0: 3c 73 75 62 3e 31 33 3c 2f 73 75 62 3e 2a 62 3c <sub>13</sub>*b<
67f0: 73 75 62 3e 33 32 3c 2f 73 75 62 3e 20 2b 0d 0a sub>32</sub> +..
6800: 61 3c 73 75 62 3e 31 34 3c 2f 73 75 62 3e 2a 62 a<sub>14</sub>*b
6810: 3c 73 75 62 3e 34 32 3c 2f 73 75 62 3e 29 3c 2f <sub>42</sub>)</
6820: 74 64 3e 0d 0a 3c 74 64 3e 28 61 3c 73 75 62 3e td>..<td>(a<sub>
6830: 31 31 3c 2f 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e 31 11</sub>*b<sub>1
6840: 33 3c 2f 73 75 62 3e 20 2b 20 0d 0a 61 3c 73 75 3</sub> + ..a<su
6850: 62 3e 31 32 3c 2f 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 b>12</sub>*b<sub
6860: 3e 32 33 3c 2f 73 75 62 3e 20 2b 20 0d 0a 61 3c >23</sub> + ..a<
6870: 73 75 62 3e 31 33 3c 2f 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 sub>13</sub>*b<s
6880: 75 62 3e 33 33 3c 2f 73 75 62 3e 20 2b 0d 0a 61 ub>33</sub> +..a
6890: 3c 73 75 62 3e 31 34 3c 2f 73 75 62 3e 2a 62 3c <sub>14</sub>*b<
68a0: 73 75 62 3e 34 33 3c 2f 73 75 62 3e 29 3c 2f 74 sub>43</sub>)</t
68b0: 64 3e 0d 0a 3c 74 64 3e 28 61 3c 73 75 62 3e 31 d>..<td>(a<sub>1
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68d0: 3c 2f 73 75 62 3e 20 2b 20 0d 0a 61 3c 73 75 62 </sub> + ..a<sub
68e0: 3e 31 32 3c 2f 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e >12</sub>*b<sub>
68f0: 32 34 3c 2f 73 75 62 3e 20 2b 20 0d 0a 61 3c 73 24</sub> + ..a<s
6900: 75 62 3e 31 33 3c 2f 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 ub>13</sub>*b<su
6910: 62 3e 33 34 3c 2f 73 75 62 3e 20 2b 0d 0a 61 3c b>34</sub> +..a<
6920: 73 75 62 3e 31 34 3c 2f 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 sub>14</sub>*b<s
6930: 75 62 3e 34 34 3c 2f 73 75 62 3e 29 3c 2f 74 64 ub>44</sub>)</td
6940: 3e 3c 74 64 3e 5c 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e ><td>\</td></tr>
6950: 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 3e 7c 3c 2f 74 64 3e ..<tr><td>|</td>
6960: 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 <td align="cente
6970: 72 22 3e 0d 0a 28 61 3c 73 75 62 3e 32 31 3c 2f r">..(a<sub>21</
6980: 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e 31 31 3c 2f 73 sub>*b<sub>11</s
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69a0: 3c 2f 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e 32 31 3c </sub>*b<sub>21<
69b0: 2f 73 75 62 3e 20 2b 20 0d 0a 61 3c 73 75 62 3e /sub> + ..a<sub>
69c0: 32 33 3c 2f 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e 33 23</sub>*b<sub>3
69d0: 31 3c 2f 73 75 62 3e 20 2b 20 0d 0a 61 3c 73 75 1</sub> + ..a<su
69e0: 62 3e 32 34 3c 2f 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 b>24</sub>*b<sub
69f0: 3e 34 31 3c 2f 73 75 62 3e 29 3c 2f 74 64 3e 0d >41</sub>)</td>.
6a00: 0a 3c 74 64 3e 28 61 3c 73 75 62 3e 32 31 3c 2f .<td>(a<sub>21</
6a10: 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e 31 32 3c 2f 73 sub>*b<sub>12</s
6a20: 75 62 3e 20 2b 20 0d 0a 61 3c 73 75 62 3e 32 32 ub> + ..a<sub>22
6a30: 3c 2f 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e 32 32 3c </sub>*b<sub>22<
6a40: 2f 73 75 62 3e 20 2b 20 0d 0a 61 3c 73 75 62 3e /sub> + ..a<sub>
6a50: 32 33 3c 2f 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e 33 23</sub>*b<sub>3
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6a70: 3e 32 34 3c 2f 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e >24</sub>*b<sub>
6a80: 34 32 3c 2f 73 75 62 3e 29 3c 2f 74 64 3e 0d 0a 42</sub>)</td>..
6a90: 3c 74 64 3e 28 61 3c 73 75 62 3e 32 31 3c 2f 73 <td>(a<sub>21</s
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6ac0: 2f 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e 32 33 3c 2f /sub>*b<sub>23</
6ad0: 73 75 62 3e 20 2b 20 0d 0a 61 3c 73 75 62 3e 32 sub> + ..a<sub>2
6ae0: 33 3c 2f 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e 33 33 3</sub>*b<sub>33
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6b00: 32 34 3c 2f 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e 34 24</sub>*b<sub>4
6b10: 33 3c 2f 73 75 62 3e 29 3c 2f 74 64 3e 0d 0a 3c 3</sub>)</td>..<
6b20: 74 64 3e 28 61 3c 73 75 62 3e 32 31 3c 2f 73 75 td>(a<sub>21</su
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6ba0: 3c 2f 73 75 62 3e 29 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 3e </sub>)</td><td>
6bb0: 7c 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 |</td></tr>..<tr
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6db0: 0a 61 3c 73 75 62 3e 33 32 3c 2f 73 75 62 3e 2a .a<sub>32</sub>*
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6dd0: 20 0d 0a 61 3c 73 75 62 3e 33 33 3c 2f 73 75 62 ..a<sub>33</sub
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6df0: 20 2b 0d 0a 61 3c 73 75 62 3e 33 34 3c 2f 73 75 +..a<sub>34</su
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6e40: 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 0d 0a 28 61 3c 73 75 "center">..(a<su
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6eb0: 0d 0a 61 3c 73 75 62 3e 34 34 3c 2f 73 75 62 3e ..a<sub>44</sub>
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6ed0: 3c 2f 74 64 3e 0d 0a 3c 74 64 3e 28 61 3c 73 75 </td>..<td>(a<su
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6f20: 61 3c 73 75 62 3e 34 33 3c 2f 73 75 62 3e 2a 62 a<sub>43</sub>*b
6f30: 3c 73 75 62 3e 33 32 3c 2f 73 75 62 3e 20 2b 0d <sub>32</sub> +.
6f40: 0a 61 3c 73 75 62 3e 34 34 3c 2f 73 75 62 3e 2a .a<sub>44</sub>*
6f50: 62 3c 73 75 62 3e 34 32 3c 2f 73 75 62 3e 29 3c b<sub>42</sub>)<
6f60: 2f 74 64 3e 0d 0a 3c 74 64 3e 28 61 3c 73 75 62 /td>..<td>(a<sub
6f70: 3e 34 31 3c 2f 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e >41</sub>*b<sub>
6f80: 31 33 3c 2f 73 75 62 3e 20 2b 20 0d 0a 61 3c 73 13</sub> + ..a<s
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6fb0: 3c 73 75 62 3e 34 33 3c 2f 73 75 62 3e 2a 62 3c <sub>43</sub>*b<
6fc0: 73 75 62 3e 33 33 3c 2f 73 75 62 3e 20 2b 0d 0a sub>33</sub> +..
6fd0: 61 3c 73 75 62 3e 34 34 3c 2f 73 75 62 3e 2a 62 a<sub>44</sub>*b
6fe0: 3c 73 75 62 3e 34 33 3c 2f 73 75 62 3e 29 3c 2f <sub>43</sub>)</
6ff0: 74 64 3e 0d 0a 3c 74 64 3e 28 61 3c 73 75 62 3e td>..<td>(a<sub>
7000: 34 31 3c 2f 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e 31 41</sub>*b<sub>1
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7020: 62 3e 34 32 3c 2f 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 b>42</sub>*b<sub
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7070: 73 75 62 3e 34 34 3c 2f 73 75 62 3e 29 3c 2f 74 sub>44</sub>)</t
7080: 64 3e 3c 74 64 3e 2f 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 d><td>/</td></tr
7090: 3e 0d 0a 3c 2f 74 61 62 6c 65 3e 0d 0a 3c 2f 74 >..</table>..</t
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7130: 6e 64 20 6f 66 20 74 68 65 20 70 72 6f 63 65 73 nd of the proces
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71e0: 6c 20 61 6c 77 61 79 73 20 62 65 20 65 78 61 63 l always be exac
71f0: 74 6c 79 20 74 68 65 20 73 61 6d 65 20 6f 66 20 tly the same of
7200: 74 68 65 20 6f 74 68 65 72 20 6d 61 74 72 69 78 the other matrix
7210: 2e 3c 62 72 3e 0d 0a 28 3c 69 3e 69 74 27 73 20 .<br>..(<i>it's
7220: 6d 6f 72 65 20 6f 72 20 6c 65 73 73 20 74 68 65 more or less the
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7a80: 2c 20 64 6f 75 62 6c 65 20 78 6f 66 66 20 2c 20 , double xoff ,
7a90: 64 6f 75 62 6c 65 20 79 6f 66 66 20 2c 20 64 6f double yoff , do
7aa0: 75 62 6c 65 20 64 6f 75 62 6c 65 20 7a 6f 66 66 uble double zoff
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7ac0: 72 69 78 3c 2f 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 3e rix</b></td><td>
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7b00: 69 74 69 61 6c 69 7a 65 64 20 77 69 74 68 20 65 itialized with e
7b10: 78 70 6c 69 63 74 20 76 61 6c 75 65 73 2e 3c 62 xplict values.<b
7b20: 72 3e 0d 0a 4e 55 4c 4c 20 69 66 20 61 6e 79 20 r>..NULL if any
7b30: 65 72 72 6f 72 20 6f 63 63 75 72 73 20 6f 72 20 error occurs or
7b40: 6f 6e 20 69 6e 76 61 6c 69 64 20 61 72 67 75 6d on invalid argum
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7b60: 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 3e 3c 62 3e 41 54 4d 5f .<tr><td><b>ATM_
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7bf0: 20 3a 20 42 4c 4f 42 20 41 54 2d 6d 61 74 72 69 : BLOB AT-matri
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7c20: 69 6e 65 20 54 72 61 6e 73 66 6f 72 6d 61 74 69 ine Transformati
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7c80: 6f 72 20 6f 63 63 75 72 73 20 6f 72 20 6f 6e 20 or occurs or on
7c90: 69 6e 76 61 6c 69 64 20 61 72 67 75 6d 65 6e 74 invalid argument
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7d40: 6d 61 74 72 69 78 3c 2f 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c matrix</b></td><
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7eb0: 61 73 20 52 6f 74 61 74 69 6f 6e 20 61 72 6f 75 as Rotation arou
7ec0: 6e 64 20 74 68 65 20 5a 20 61 78 69 73 2e 3c 62 nd the Z axis.<b
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7f60: 69 6f 6e 20 69 73 20 64 65 66 69 6e 65 64 20 73 ion is defined s
7f70: 75 63 68 20 74 68 61 74 20 70 6f 73 69 74 69 76 uch that positiv
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7fa0: 20 66 72 6f 6d 20 74 68 65 20 70 6f 73 69 74 69 from the positi
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82b0: 61 6e 73 66 6f 72 6d 61 74 69 6f 6e 20 4d 61 74 ansformation Mat
82c0: 72 69 63 65 73 3c 2f 74 68 3e 3c 2f 74 72 3e 0d rices</th></tr>.
82d0: 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 3e 3c 62 3e 41 54 4d 5f .<tr><td><b>ATM_
82e0: 54 72 61 6e 73 6c 61 74 65 20 28 20 64 6f 75 62 Translate ( doub
82f0: 6c 65 20 74 78 20 2c 20 64 6f 75 62 6c 65 20 74 le tx , double t
8300: 79 20 2c 20 42 4c 4f 42 20 41 54 2d 6d 61 74 72 y , BLOB AT-matr
8310: 69 78 20 29 20 3a 20 42 4c 4f 42 20 41 54 2d 6d ix ) : BLOB AT-m
8320: 61 74 72 69 78 3c 2f 62 3e 3c 62 72 3e 0d 0a 3c atrix</b><br>..<
8330: 62 3e 41 54 4d 5f 54 72 61 6e 73 6c 61 74 65 20 b>ATM_Translate
8340: 28 20 64 6f 75 62 6c 65 20 74 78 20 2c 20 64 6f ( double tx , do
8350: 75 62 6c 65 20 74 79 20 2c 20 64 6f 75 62 6c 65 uble ty , double
8360: 20 74 7a 20 2c 20 42 4c 4f 42 20 41 54 2d 6d 61 tz , BLOB AT-ma
8370: 74 72 69 78 20 29 20 3a 20 42 4c 4f 42 20 41 54 trix ) : BLOB AT
8380: 2d 6d 61 74 72 69 78 3c 2f 62 3e 3c 2f 74 64 3e -matrix</b></td>
8390: 3c 74 64 3e 57 69 6c 6c 20 72 65 74 75 72 6e 20 <td>Will return
83a0: 61 6e 20 41 66 66 69 6e 65 20 54 72 61 6e 73 66 an Affine Transf
83b0: 6f 72 6d 61 74 69 6f 6e 20 4d 61 74 72 69 78 20 ormation Matrix
83c0: 62 79 20 63 68 61 69 6e 69 6e 67 20 72 65 73 70 by chaining resp
83d0: 65 63 74 69 76 65 6c 79 20 61 20 32 44 20 6f 72 ectively a 2D or
83e0: 20 33 44 20 54 72 61 6e 73 6c 61 74 65 20 61 6e 3D Translate an
83f0: 64 20 61 6e 6f 74 68 65 72 20 41 66 66 69 6e 65 d another Affine
8400: 20 54 72 61 6e 73 66 6f 72 6d 61 74 69 6f 6e 2e Transformation.
8410: 3c 62 72 3e 0d 0a 4e 55 4c 4c 20 69 66 20 61 6e <br>..NULL if an
8420: 79 20 65 72 72 6f 72 20 6f 63 63 75 72 73 20 6f y error occurs o
8430: 72 20 6f 6e 20 69 6e 76 61 6c 69 64 20 61 72 67 r on invalid arg
8440: 75 6d 65 6e 74 73 2e 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 uments.</td></tr
8450: 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 3e 3c 62 3e 41 54 >..<tr><td><b>AT
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8480: 2c 20 42 4c 4f 42 20 41 54 2d 6d 61 74 72 69 78 , BLOB AT-matrix
8490: 20 29 20 3a 20 42 4c 4f 42 20 41 54 2d 6d 61 74 ) : BLOB AT-mat
84a0: 72 69 78 3c 2f 62 3e 3c 62 72 3e 0d 0a 3c 62 3e rix</b><br>..<b>
84b0: 41 54 4d 5f 53 63 61 6c 65 20 28 20 64 6f 75 62 ATM_Scale ( doub
84c0: 6c 65 20 73 78 20 2c 20 64 6f 75 62 6c 65 20 73 le sx , double s
84d0: 79 20 2c 20 64 6f 75 62 6c 65 20 73 7a 20 2c 20 y , double sz ,
84e0: 42 4c 4f 42 20 41 54 2d 6d 61 74 72 69 78 20 29 BLOB AT-matrix )
84f0: 20 3a 20 42 4c 4f 42 20 41 54 2d 6d 61 74 72 69 : BLOB AT-matri
8500: 78 3c 2f 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 3e 57 69 x</b></td><td>Wi
8510: 6c 6c 20 72 65 74 75 72 6e 20 61 6e 20 41 66 66 ll return an Aff
8520: 69 6e 65 20 54 72 61 6e 73 66 6f 72 6d 61 74 69 ine Transformati
8530: 6f 6e 20 4d 61 74 72 69 78 20 62 79 20 63 68 61 on Matrix by cha
8540: 69 6e 69 6e 67 20 72 65 73 70 65 63 74 69 76 65 ining respective
8550: 6c 79 20 61 20 32 44 20 6f 72 20 33 44 20 53 63 ly a 2D or 3D Sc
8560: 61 6c 65 20 61 6e 64 20 61 6e 6f 74 68 65 72 20 ale and another
8570: 41 66 66 69 6e 65 20 54 72 61 6e 73 66 6f 72 6d Affine Transform
8580: 61 74 69 6f 6e 2e 3c 62 72 3e 0d 0a 4e 55 4c 4c ation.<br>..NULL
8590: 20 69 66 20 61 6e 79 20 65 72 72 6f 72 20 6f 63 if any error oc
85a0: 63 75 72 73 20 6f 72 20 6f 6e 20 69 6e 76 61 6c curs or on inval
85b0: 69 64 20 61 72 67 75 6d 65 6e 74 73 2e 2e 3c 2f id arguments..</
85c0: 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 td></tr>..<tr><t
85d0: 64 3e 3c 62 3e 41 54 4d 5f 52 6f 74 61 74 65 20 d><b>ATM_Rotate
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85f0: 20 42 4c 4f 42 20 41 54 2d 6d 61 74 72 69 78 20 BLOB AT-matrix
8600: 29 20 3a 20 42 4c 4f 42 20 41 54 2d 6d 61 74 72 ) : BLOB AT-matr
8610: 69 78 3c 2f 62 3e 3c 62 72 3e 0d 0a 3c 62 3e 41 ix</b><br>..<b>A
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8630: 65 20 61 6e 67 6c 65 20 2c 20 42 4c 4f 42 20 41 e angle , BLOB A
8640: 54 2d 6d 61 74 72 69 78 20 29 20 3a 20 42 4c 4f T-matrix ) : BLO
8650: 42 20 41 54 2d 6d 61 74 72 69 78 3c 2f 62 3e 3c B AT-matrix</b><
8660: 2f 74 64 3e 3c 74 64 3e 57 69 6c 6c 20 72 65 74 /td><td>Will ret
8670: 75 72 6e 20 61 6e 20 41 66 66 69 6e 65 20 54 72 urn an Affine Tr
8680: 61 6e 73 66 6f 72 6d 61 74 69 6f 6e 20 4d 61 74 ansformation Mat
8690: 72 69 78 20 62 79 20 63 68 61 69 6e 69 6e 67 20 rix by chaining
86a0: 61 20 52 6f 74 61 74 69 6f 6e 20 61 72 6f 75 6e a Rotation aroun
86b0: 64 20 74 68 65 20 5a 20 61 78 69 73 20 61 6e 64 d the Z axis and
86c0: 20 61 6e 6f 74 68 65 72 20 41 66 66 69 6e 65 20 another Affine
86d0: 54 72 61 6e 73 66 6f 72 6d 61 74 69 6f 6e 2e 3c Transformation.<
86e0: 62 72 3e 0d 0a 4e 55 4c 4c 20 69 66 20 61 6e 79 br>..NULL if any
86f0: 20 65 72 72 6f 72 20 6f 63 63 75 72 73 20 6f 72 error occurs or
8700: 20 6f 6e 20 69 6e 76 61 6c 69 64 20 61 72 67 75 on invalid argu
8710: 6d 65 6e 74 73 2e 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e ments.</td></tr>
8720: 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 3e 3c 62 3e 41 54 4d ..<tr><td><b>ATM
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8750: 54 2d 6d 61 74 72 69 78 3c 2f 62 3e 3c 2f 74 64 T-matrix</b></td
8760: 3e 3c 74 64 3e 57 69 6c 6c 20 72 65 74 75 72 6e ><td>Will return
8770: 20 61 6e 20 41 66 66 69 6e 65 20 54 72 61 6e 73 an Affine Trans
8780: 66 6f 72 6d 61 74 69 6f 6e 20 4d 61 74 72 69 78 formation Matrix
8790: 20 62 79 20 63 68 61 69 6e 69 6e 67 20 61 20 52 by chaining a R
87a0: 6f 74 61 74 69 6f 6e 20 61 72 6f 75 6e 64 20 74 otation around t
87b0: 68 65 20 58 20 61 78 69 73 20 61 6e 64 20 61 6e he X axis and an
87c0: 6f 74 68 65 72 20 41 66 66 69 6e 65 20 54 72 61 other Affine Tra
87d0: 6e 73 66 6f 72 6d 61 74 69 6f 6e 2e 3c 62 72 3e nsformation.<br>
87e0: 0d 0a 4e 55 4c 4c 20 69 66 20 61 6e 79 20 65 72 ..NULL if any er
87f0: 72 6f 72 20 6f 63 63 75 72 73 20 6f 72 20 6f 6e ror occurs or on
8800: 20 69 6e 76 61 6c 69 64 20 61 72 67 75 6d 65 6e invalid argumen
8810: 74 73 2e 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c ts.</td></tr>..<
8820: 74 72 3e 3c 74 64 3e 3c 62 3e 41 54 4d 5f 59 52 tr><td><b>ATM_YR
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8840: 6c 65 20 29 20 3a 20 42 4c 4f 42 20 41 54 2d 6d le ) : BLOB AT-m
8850: 61 74 72 69 78 3c 2f 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 atrix</b></td><t
8860: 64 3e 57 69 6c 6c 20 72 65 74 75 72 6e 20 61 6e d>Will return an
8870: 20 41 66 66 69 6e 65 20 54 72 61 6e 73 66 6f 72 Affine Transfor
8880: 6d 61 74 69 6f 6e 20 4d 61 74 72 69 78 20 62 79 mation Matrix by
8890: 20 63 68 61 69 6e 69 6e 67 20 61 20 52 6f 74 61 chaining a Rota
88a0: 74 69 6f 6e 20 61 72 6f 75 6e 64 20 74 68 65 20 tion around the
88b0: 59 20 61 78 69 73 20 61 6e 64 20 61 6e 6f 74 68 Y axis and anoth
88c0: 65 72 20 41 66 66 69 6e 65 20 54 72 61 6e 73 66 er Affine Transf
88d0: 6f 72 6d 61 74 69 6f 6e 2e 3c 62 72 3e 0d 0a 4e ormation.<br>..N
88e0: 55 4c 4c 20 69 66 20 61 6e 79 20 65 72 72 6f 72 ULL if any error
88f0: 20 6f 63 63 75 72 73 20 6f 72 20 6f 6e 20 69 6e occurs or on in
8900: 76 61 6c 69 64 20 61 72 67 75 6d 65 6e 74 73 2e valid arguments.
8910: 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 3e </td></tr>..<tr>
8920: 3c 74 64 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 3e 0d 0a 3c <td></td><td>..<
8930: 75 3e 4e 6f 74 65 3c 2f 75 3e 3a 20 61 6c 6c 20 u>Note</u>: all
8940: 74 68 65 20 61 62 6f 76 65 20 66 75 6e 63 74 69 the above functi
8950: 6f 6e 73 20 73 69 6d 70 6c 79 20 61 72 65 20 63 ons simply are c
8960: 6f 6e 76 65 6e 69 65 6e 63 65 20 6d 65 74 68 6f onvenience metho
8970: 64 73 20 69 6e 74 65 6e 64 65 64 20 74 6f 20 61 ds intended to a
8980: 76 6f 69 64 20 61 6e 79 20 6e 65 65 64 20 74 6f void any need to
8990: 20 72 65 70 65 61 74 65 64 6c 79 20 63 61 6c 6c repeatedly call
89a0: 20 3c 62 3e 41 54 4d 5f 4d 75 6c 74 69 70 6c 79 <b>ATM_Multiply
89b0: 28 29 3c 2f 62 3e 2e 0d 0a 3c 76 65 72 62 61 74 ()</b>...<verbat
89c0: 69 6d 3e 0d 0a 53 45 4c 45 43 54 20 41 54 4d 5f im>..SELECT ATM_
89d0: 4d 75 6c 74 69 70 6c 79 28 41 54 4d 5f 43 72 65 Multiply(ATM_Cre
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89f0: 0a 20 20 20 20 20 20 20 41 54 4d 5f 4d 75 6c 74 . ATM_Mult
8a00: 69 70 6c 79 28 41 54 4d 5f 43 72 65 61 74 65 53 iply(ATM_CreateS
8a10: 63 61 6c 65 28 31 2e 31 2c 20 31 2e 32 2c 20 31 cale(1.1, 1.2, 1
8a20: 2e 33 29 2c 20 0d 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 20 .3), ..
8a30: 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 41 54 4d 5f 43 ATM_C
8a40: 72 65 61 74 65 54 72 61 6e 73 6c 61 74 65 28 31 reateTranslate(1
8a50: 30 2c 20 32 30 2c 20 33 30 29 29 29 3b 0d 0a 0d 0, 20, 30)));...
8a60: 0a 53 45 4c 45 43 54 20 41 54 4d 5f 52 6f 74 61 .SELECT ATM_Rota
8a70: 74 65 28 31 35 2c 20 0d 0a 20 20 20 20 20 20 20 te(15, ..
8a80: 20 20 20 41 54 4d 5f 53 63 61 6c 65 28 31 2e 31 ATM_Scale(1.1
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8ac0: 2c 20 32 30 2c 20 33 30 29 29 29 3b 0d 0a 0d 0a , 20, 30)));....
8ad0: 53 45 4c 45 43 54 20 41 54 4d 5f 52 6f 74 61 74 SELECT ATM_Rotat
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