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29b0: 65 20 70 72 65 73 65 6e 74 20 73 74 75 64 79 2e e present study.
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2fe0: 6c 69 3e 0d 0a 3c 2f 6f 6c 3e 3c 2f 6c 69 3e 0d li>..</ol></li>.
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4ab0: 74 65 72 22 3e 3c 62 3e 73 69 6e 28 26 74 68 65 ter"><b>sin(&the
4ac0: 74 61 3b 29 3c 2f 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 ta;)</b></td><td
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4ae0: 3c 62 3e 63 6f 73 28 26 74 68 65 74 61 3b 29 3c <b>cos(θ)<
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4b80: 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 3e </td></tr>..<tr>
4b90: 3c 74 64 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a <td></td></tr>..
4ba0: 3c 2f 74 61 62 6c 65 3e 3c 62 72 3e 0d 0a 41 20 </table><br>..A
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4ee0: 2f 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 /b></td><td alig
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4f10: 7a 6f 66 66 3c 2f 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 zoff</b></td><td
4f20: 3e 7c 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 >|</td></tr>..<t
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5030: 65 6e 74 65 72 22 3e 31 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 enter">1</td><td
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5050: 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 0</td><td align=
5060: 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c "center">0</td><
5070: 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 td align="center
5080: 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 3e 5c 3c 2f 74 ">0</td><td>\</t
5090: 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 d></tr>..<tr><td
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50d0: 72 22 3e 31 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 r">1</td><td ali
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50f0: 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e d><td align="cen
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5320: 74 64 3e 3c 74 64 3e 5c 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 td><td>\</td></t
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53a0: 3c 62 3e 74 79 3c 2f 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 <b>ty</b></td><t
53b0: 64 3e 7c 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c d>|</td></tr>..<
53c0: 74 72 3e 3c 74 64 3e 7c 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 tr><td>|</td><td
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53e0: 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 0</td><td align=
53f0: 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c "center">0</td><
5400: 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 td align="center
5410: 22 3e 31 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 ">1</td><td alig
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5430: 3c 2f 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 3e 7c 3c 2f </b></td><td>|</
5440: 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 td></tr>..<tr><t
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5470: 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 ><td align="cent
5480: 65 72 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c er">0</td><td al
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54b0: 6e 74 65 72 22 3e 31 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 3e nter">1</td><td>
54c0: 2f 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 /</td></tr>..<tr
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54e0: 3e 3c 68 72 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d ><hr></td></tr>.
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5530: 20 3c 62 3e 73 7a 3c 2f 62 3e 29 3c 2f 74 64 3e <b>sz</b>)</td>
5540: 0d 0a 3c 74 64 3e 2f 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 ..<td>/</td><td
5550: 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 3c align="center"><
5560: 62 3e 73 78 3c 2f 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 b>sx</b></td><td
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5580: 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 0</td><td align=
5590: 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c "center">0</td><
55a0: 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 td align="center
55b0: 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 3e 5c 3c 2f 74 ">0</td><td>\</t
55c0: 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 d></tr>..<tr><td
55d0: 3e 7c 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e >|</td><td align
55e0: 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e ="center">0</td>
55f0: 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 <td align="cente
5600: 72 22 3e 3c 62 3e 73 79 3c 2f 62 3e 3c 2f 74 64 r"><b>sy</b></td
5610: 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 ><td align="cent
5620: 65 72 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c er">0</td><td al
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5640: 74 64 3e 3c 74 64 3e 7c 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 td><td>|</td></t
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5670: 74 65 72 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 ter">0</td><td a
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56a0: 65 6e 74 65 72 22 3e 3c 62 3e 73 7a 3c 2f 62 3e enter"><b>sz</b>
56b0: 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 </td><td align="
56c0: 63 65 6e 74 65 72 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 center">0</td><t
56d0: 64 3e 7c 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c d>|</td></tr>..<
56e0: 74 72 3e 3c 74 64 3e 5c 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 tr><td>\</td><td
56f0: 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e align="center">
5700: 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 0</td><td align=
5710: 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c "center">0</td><
5720: 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 td align="center
5730: 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 ">0</td><td alig
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5750: 3e 3c 74 64 3e 2f 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e ><td>/</td></tr>
5760: 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 20 63 6f 6c 73 70 61 ..<tr><td colspa
5770: 6e 3d 22 35 22 3e 3c 68 72 3e 3c 2f 74 64 3e 3c n="5"><hr></td><
5780: 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 20 72 6f /tr>..<tr><td ro
5790: 77 73 70 61 6e 3d 22 35 22 20 76 61 6c 69 67 6e wspan="5" valign
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57d0: 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 ><td align="cent
57e0: 65 72 22 3e 31 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c er">1</td><td al
57f0: 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 30 3c 2f ign="center">0</
5800: 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 td><td align="ce
5810: 6e 74 65 72 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 nter">0</td><td
5820: 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 30 align="center">0
5830: 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 3e 5c 3c 2f 74 64 3e 3c </td><td>\</td><
5840: 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 3e 7c 3c /tr>..<tr><td>|<
5850: 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 /td><td align="c
5860: 65 6e 74 65 72 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 enter">0</td><td
5870: 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e align="center">
5880: 3c 62 3e 63 6f 73 28 26 74 68 65 74 61 3b 29 3c <b>cos(θ)<
5890: 2f 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 /b></td><td alig
58a0: 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 3c 62 3e 2d 73 n="center"><b>-s
58b0: 69 6e 28 26 74 68 65 74 61 3b 29 3c 2f 62 3e 3c in(θ)</b><
58c0: 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 /td><td align="c
58d0: 65 6e 74 65 72 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 enter">0</td><td
58e0: 3e 7c 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 >|</td></tr>..<t
58f0: 72 3e 3c 74 64 3e 7c 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 r><td>|</td><td
5900: 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 30 align="center">0
5910: 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 </td><td align="
5920: 63 65 6e 74 65 72 22 3e 3c 62 3e 73 69 6e 28 26 center"><b>sin(&
5930: 74 68 65 74 61 3b 29 3c 2f 62 3e 3c 2f 74 64 3e theta;)</b></td>
5940: 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 <td align="cente
5950: 72 22 3e 3c 62 3e 63 6f 73 28 26 74 68 65 74 61 r"><b>cos(&theta
5960: 3b 29 3c 2f 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 ;)</b></td><td a
5970: 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 30 3c lign="center">0<
5980: 2f 74 64 3e 3c 74 64 3e 7c 3c 2f 74 64 3e 3c 2f /td><td>|</td></
5990: 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 3e 5c 3c 2f tr>..<tr><td>\</
59a0: 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 td><td align="ce
59b0: 6e 74 65 72 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 nter">0</td><td
59c0: 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 30 align="center">0
59d0: 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 </td><td align="
59e0: 63 65 6e 74 65 72 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 center">0</td><t
59f0: 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 d align="center"
5a00: 3e 31 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 3e 2f 3c 2f 74 64 >1</td><td>/</td
5a10: 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 20 ></tr>..<tr><td
5a20: 63 6f 6c 73 70 61 6e 3d 22 35 22 3e 3c 68 72 3e colspan="5"><hr>
5a30: 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 3e </td></tr>..<tr>
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5a70: 3b 3c 2f 62 3e 29 3c 2f 74 64 3e 0d 0a 3c 74 64 ;</b>)</td>..<td
5a80: 3e 2f 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e >/</td><td align
5a90: 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 3c 62 3e 63 6f 73 ="center"><b>cos
5aa0: 28 26 74 68 65 74 61 3b 29 3c 2f 62 3e 3c 2f 74 (θ)</b></t
5ab0: 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e d><td align="cen
5ac0: 74 65 72 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 ter">0</td><td a
5ad0: 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 3c 62 lign="center"><b
5ae0: 3e 73 69 6e 28 26 74 68 65 74 61 3b 29 3c 2f 62 >sin(θ)</b
5af0: 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d ></td><td align=
5b00: 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c "center">0</td><
5b10: 74 64 3e 5c 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a td>\</td></tr>..
5b20: 3c 74 72 3e 3c 74 64 3e 7c 3c 2f 74 64 3e 3c 74 <tr><td>|</td><t
5b30: 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 d align="center"
5b40: 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e >0</td><td align
5b50: 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 31 3c 2f 74 64 3e ="center">1</td>
5b60: 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 <td align="cente
5b70: 72 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 r">0</td><td ali
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5ba0: 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 3e 7c 3c 2f 74 64 >..<tr><td>|</td
5bb0: 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 ><td align="cent
5bc0: 65 72 22 3e 3c 62 3e 2d 73 69 6e 28 26 74 68 65 er"><b>-sin(&the
5bd0: 74 61 3b 29 3c 2f 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 ta;)</b></td><td
5be0: 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e align="center">
5bf0: 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 0</td><td align=
5c00: 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 3c 62 3e 63 6f 73 28 "center"><b>cos(
5c10: 26 74 68 65 74 61 3b 29 3c 2f 62 3e 3c 2f 74 64 θ)</b></td
5c20: 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 ><td align="cent
5c30: 65 72 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 3e 7c 3c er">0</td><td>|<
5c40: 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c /td></tr>..<tr><
5c50: 74 64 3e 5c 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 td>\</td><td ali
5c60: 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 30 3c 2f 74 gn="center">0</t
5c70: 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e d><td align="cen
5c80: 74 65 72 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 ter">0</td><td a
5c90: 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 30 3c lign="center">0<
5ca0: 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 /td><td align="c
5cb0: 65 6e 74 65 72 22 3e 31 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 enter">1</td><td
5cc0: 3e 2f 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 >/</td></tr>..<t
5cd0: 72 3e 3c 74 64 20 63 6f 6c 73 70 61 6e 3d 22 35 r><td colspan="5
5ce0: 22 3e 3c 68 72 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e "><hr></td></tr>
5cf0: 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 20 72 6f 77 73 70 61 ..<tr><td rowspa
5d00: 6e 3d 22 35 22 20 76 61 6c 69 67 6e 3d 22 6d 69 n="5" valign="mi
5d10: 64 64 6c 65 22 3e 5a 20 52 6f 6c 6c 28 3c 62 3e ddle">Z Roll(<b>
5d20: 26 74 68 65 74 61 3b 3c 2f 62 3e 29 3c 2f 74 64 θ</b>)</td
5d30: 3e 0d 0a 3c 74 64 3e 2f 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 >..<td>/</td><td
5d40: 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e align="center">
5d50: 3c 62 3e 63 6f 73 28 26 74 68 65 74 61 3b 29 3c <b>cos(θ)<
5d60: 2f 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 /b></td><td alig
5d70: 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 3c 62 3e 2d 73 n="center"><b>-s
5d80: 69 6e 28 26 74 68 65 74 61 3b 29 3c 2f 62 3e 3c in(θ)</b><
5d90: 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 /td><td align="c
5da0: 65 6e 74 65 72 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 enter">0</td><td
5db0: 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e align="center">
5dc0: 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 3e 5c 3c 2f 74 64 3e 0</td><td>\</td>
5dd0: 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 3e 7c </tr>..<tr><td>|
5de0: 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 </td><td align="
5df0: 63 65 6e 74 65 72 22 3e 3c 62 3e 73 69 6e 28 26 center"><b>sin(&
5e00: 74 68 65 74 61 3b 29 3c 2f 62 3e 3c 2f 74 64 3e theta;)</b></td>
5e10: 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 <td align="cente
5e20: 72 22 3e 3c 62 3e 63 6f 73 28 26 74 68 65 74 61 r"><b>cos(&theta
5e30: 3b 29 3c 2f 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 ;)</b></td><td a
5e40: 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 30 3c lign="center">0<
5e50: 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 /td><td align="c
5e60: 65 6e 74 65 72 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 enter">0</td><td
5e70: 3e 7c 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 >|</td></tr>..<t
5e80: 72 3e 3c 74 64 3e 7c 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 r><td>|</td><td
5e90: 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 30 align="center">0
5ea0: 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 </td><td align="
5eb0: 63 65 6e 74 65 72 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 center">0</td><t
5ec0: 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 d align="center"
5ed0: 3e 31 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e >1</td><td align
5ee0: 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e ="center">0</td>
5ef0: 3c 74 64 3e 7c 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d <td>|</td></tr>.
5f00: 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 3e 5c 3c 2f 74 64 3e 3c .<tr><td>\</td><
5f10: 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 td align="center
5f20: 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 ">0</td><td alig
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5f40: 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 ><td align="cent
5f50: 65 72 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c er">0</td><td al
5f60: 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 31 3c 2f ign="center">1</
5f70: 74 64 3e 3c 74 64 3e 2f 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 td><td>/</td></t
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5ff0: 61 6e 20 61 66 66 69 6e 65 20 74 72 61 6e 73 66 an affine transf
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6030: 7a 27 29 3c 2f 62 3e 20 63 6f 6f 72 64 69 6e 61 z')</b> coordina
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60e0: 2a 7a 20 2b 20 78 6f 66 66 3c 2f 62 3e 3c 2f 6c *z + xoff</b></l
60f0: 69 3e 0d 0a 3c 6c 69 3e 3c 62 3e 79 27 20 3d 20 i>..<li><b>y' =
6100: 64 2a 78 20 2b 20 65 2a 79 20 2b 20 66 2a 7a 20 d*x + e*y + f*z
6110: 2b 20 79 6f 66 66 3c 2f 62 3e 3c 2f 6c 69 3e 0d + yoff</b></li>.
6120: 0a 3c 6c 69 3e 3c 62 3e 7a 27 20 3d 20 67 2a 78 .<li><b>z' = g*x
6130: 20 2b 20 68 2a 79 20 2b 20 69 2a 7a 20 2b 20 7a + h*y + i*z + z
6140: 6f 66 66 3c 2f 62 3e 3c 2f 6c 69 3e 0d 0a 3c 2f off</b></li>..</
6150: 75 6c 3e 3c 62 72 3e 0d 0a 69 6e 20 74 68 65 20 ul><br>..in the
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61b0: 20 2b 20 62 2a 79 20 2b 20 78 6f 66 66 3c 2f 62 + b*y + xoff</b
61c0: 3e 3c 2f 6c 69 3e 0d 0a 3c 6c 69 3e 3c 62 3e 79 ></li>..<li><b>y
61d0: 27 20 3d 20 64 2a 78 20 2b 20 65 2a 79 20 2b 20 ' = d*x + e*y +
61e0: 79 6f 66 66 3c 2f 62 3e 3c 2f 6c 69 3e 0d 0a 3c yoff</b></li>..<
61f0: 2f 75 6c 3e 3c 62 72 3e 0d 0a 41 73 20 79 6f 75 /ul><br>..As you
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6260: 63 74 69 6f 6e 2e 3c 62 72 3e 0d 0a 54 72 69 67 ction.<br>..Trig
6270: 6f 6e 6f 6d 65 74 72 69 63 20 66 75 6e 63 74 69 onometric functi
6280: 6f 6e 73 20 61 72 65 20 76 65 72 79 20 63 6f 73 ons are very cos
6290: 74 6c 79 20 69 6e 20 63 6f 6d 70 75 74 61 74 69 tly in computati
62a0: 6f 6e 61 6c 20 74 65 72 6d 73 2c 20 73 6f 20 61 onal terms, so a
62b0: 70 70 6c 79 69 6e 67 20 61 6e 20 41 66 66 69 6e pplying an Affin
62c0: 65 20 54 72 61 6e 73 66 6f 72 6d 61 74 69 6f 6e e Transformation
62d0: 20 69 73 20 61 6e 20 69 6e 74 72 69 6e 73 69 63 is an intrinsic
62e0: 61 6c 6c 79 20 65 66 66 69 63 69 65 6e 74 20 6d ally efficient m
62f0: 65 63 68 61 6e 69 73 6d 20 62 65 63 61 75 73 65 echanism because
6300: 20 73 69 6d 70 6c 79 20 64 65 70 65 6e 64 73 20 simply depends
6310: 6f 6e 20 6d 75 6c 74 69 70 6c 69 63 61 74 69 6f on multiplicatio
6320: 6e 73 20 61 6e 64 20 61 64 64 69 74 69 6f 6e 73 ns and additions
6330: 2e 3c 62 72 3e 0d 0a 3c 62 72 3e 3c 68 72 3e 0d .<br>..<br><hr>.
6340: 0a 3c 68 33 3e 63 68 61 69 6e 69 6e 67 20 74 77 .<h3>chaining tw
6350: 6f 20 28 6f 72 20 65 76 65 6e 20 6d 6f 72 65 29 o (or even more)
6360: 20 41 66 66 69 6e 65 20 54 72 61 6e 73 66 6f 72 Affine Transfor
6370: 6d 61 74 69 6f 6e 73 20 69 6e 20 61 20 73 69 6e mations in a sin
6380: 67 6c 65 20 6f 70 65 72 61 74 69 6f 6e 3c 2f 68 gle operation</h
6390: 33 3e 0d 0a 41 66 66 69 6e 65 20 74 72 61 6e 73 3>..Affine trans
63a0: 66 6f 72 6d 61 74 69 6f 6e 20 6d 61 74 72 69 63 formation matric
63b0: 65 73 20 68 61 76 65 20 61 6e 6f 74 68 65 72 20 es have another
63c0: 61 73 74 6f 6e 69 73 68 69 6e 67 20 70 72 6f 70 astonishing prop
63d0: 65 72 74 79 2e 3c 62 72 3e 0d 0a 57 65 20 63 61 erty.<br>..We ca
63e0: 6e 20 3c 61 20 68 72 65 66 3d 22 68 74 74 70 3a n <a href="http:
63f0: 2f 2f 65 6e 2e 77 69 6b 69 70 65 64 69 61 2e 6f //en.wikipedia.o
6400: 72 67 2f 77 69 6b 69 2f 4d 61 74 72 69 78 5f 6d rg/wiki/Matrix_m
6410: 75 6c 74 69 70 6c 69 63 61 74 69 6f 6e 22 3e 6d ultiplication">m
6420: 75 6c 74 69 70 6c 79 3c 2f 61 3e 20 74 77 6f 20 ultiply</a> two
6430: 64 69 66 66 65 72 65 6e 74 20 61 66 66 69 6e 65 different affine
6440: 20 74 72 61 6e 73 66 6f 72 6d 61 74 69 6f 6e 20 transformation
6450: 6d 61 74 72 69 63 65 73 20 74 68 75 73 20 6f 62 matrices thus ob
6460: 74 61 69 6e 69 6e 67 20 61 20 74 68 69 72 64 20 taining a third
6470: 6d 61 74 72 69 78 2c 20 61 6e 64 20 74 68 69 73 matrix, and this
6480: 20 6c 61 74 65 73 74 20 6f 6e 63 65 20 61 70 70 latest once app
6490: 6c 69 65 64 20 77 69 6c 6c 20 63 6f 6e 74 61 69 lied will contai
64a0: 6e 20 62 6f 74 68 20 74 72 61 6e 73 66 6f 72 6d n both transform
64b0: 61 74 69 6f 6e 73 20 61 6e 64 20 69 6e 20 74 68 ations and in th
64c0: 65 20 72 69 67 68 74 20 73 65 71 75 65 6e 63 65 e right sequence
64d0: 2e 3c 62 72 3e 0d 0a 54 68 65 72 65 20 69 73 20 .<br>..There is
64e0: 6e 6f 20 6c 69 6d 69 74 3b 20 77 65 20 63 61 6e no limit; we can
64f0: 20 69 6e 66 69 6e 69 74 69 76 65 6c 79 20 63 68 infinitively ch
6500: 61 69 6e 20 61 73 20 6d 61 6e 79 20 74 72 61 6e ain as many tran
6510: 73 66 6f 72 6d 61 74 69 6f 6e 73 20 61 73 20 72 sformations as r
6520: 65 71 75 69 72 65 64 2c 20 77 65 27 6c 6c 20 73 equired, we'll s
6530: 69 6d 70 6c 79 20 68 61 76 65 20 74 6f 20 63 6f imply have to co
6540: 6e 74 69 6e 75 65 20 6d 75 6c 74 69 70 6c 79 69 ntinue multiplyi
6550: 6e 67 20 61 6c 6c 20 6d 61 74 72 69 63 65 73 20 ng all matrices
6560: 6f 6e 65 20 61 66 74 65 72 20 74 68 65 20 6f 74 one after the ot
6570: 68 65 72 20 63 61 72 65 66 75 6c 6c 79 20 72 65 her carefully re
6580: 73 70 65 63 74 69 6e 67 20 74 68 65 20 61 70 70 specting the app
6590: 72 6f 70 72 69 61 74 65 20 73 65 71 75 65 6e 63 ropriate sequenc
65a0: 65 2e 3c 62 72 3e 0d 0a 41 74 20 74 68 65 20 65 e.<br>..At the e
65b0: 6e 64 20 6f 66 20 74 68 65 20 70 72 6f 63 65 73 nd of the proces
65c0: 73 20 77 65 27 6c 6c 20 61 6c 77 61 79 73 20 67 s we'll always g
65d0: 65 74 20 6a 75 73 74 20 61 20 73 69 6e 67 6c 65 et just a single
65e0: 20 61 66 66 69 6e 65 20 74 72 61 6e 73 66 6f 72 affine transfor
65f0: 6d 61 74 69 6f 6e 20 6d 61 74 72 69 78 20 66 61 mation matrix fa
6600: 69 74 68 66 75 6c 6c 79 20 72 65 70 72 65 73 65 ithfully represe
6610: 6e 74 69 6e 67 20 61 6e 79 20 69 6e 64 69 76 69 nting any indivi
6620: 64 75 61 6c 20 74 72 61 6e 73 66 6f 72 6d 61 74 dual transformat
6630: 69 6f 6e 20 69 6e 20 74 68 65 20 63 68 61 69 6e ion in the chain
6640: 2e 0d 0a 3c 74 61 62 6c 65 20 62 67 63 6f 6c 6f ...<table bgcolo
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6670: 3e 3c 74 64 3e 0d 0a 54 68 65 20 6d 75 6c 74 69 ><td>..The multi
6680: 70 6c 69 63 61 74 69 6f 6e 20 62 65 74 77 65 65 plication betwee
6690: 6e 20 74 77 6f 20 6d 61 74 72 69 63 65 73 20 3c n two matrices <
66a0: 75 3e 69 73 20 6e 6f 74 20 61 20 63 6f 6d 6d 75 u>is not a commu
66b0: 74 61 74 69 76 65 20 6f 70 65 72 61 74 69 6f 6e tative operation
66c0: 3c 2f 75 3e 3a 20 74 68 65 20 72 65 6c 61 74 69 </u>: the relati
66d0: 76 65 20 6f 72 64 65 72 20 6f 66 20 6f 70 65 72 ve order of oper
66e0: 61 6e 64 73 20 69 73 20 61 62 73 6f 6c 75 74 65 ands is absolute
66f0: 6c 79 20 72 65 6c 65 76 61 6e 74 2e 3c 2f 74 64 ly relevant.</td
6700: 3e 3c 2f 74 72 3e 3c 2f 74 61 62 6c 65 3e 0d 0a ></tr></table>..
6710: 3c 68 33 3e 6d 75 6c 74 69 70 6c 79 69 6e 67 20 <h3>multiplying
6720: 74 77 6f 20 6d 61 74 72 69 63 65 73 3c 2f 68 33 two matrices</h3
6730: 3e 0d 0a 4d 75 6c 74 69 70 6c 69 63 61 74 69 6f >..Multiplicatio
6740: 6e 20 69 73 20 6e 6f 74 20 72 65 61 6c 6c 79 20 n is not really
6750: 61 20 73 69 6d 70 6c 65 20 6f 70 65 72 61 74 69 a simple operati
6760: 6f 6e 20 77 68 65 6e 20 6d 61 74 72 69 63 65 73 on when matrices
6770: 20 61 72 65 20 69 6e 76 6f 6c 76 65 64 20 61 6e are involved an
6780: 64 20 72 65 71 75 69 72 65 73 20 61 20 72 61 74 d requires a rat
6790: 68 65 72 20 63 6f 6d 70 6c 65 78 20 70 72 6f 63 her complex proc
67a0: 65 64 75 72 65 3b 20 74 68 65 20 66 6f 6c 6c 6f edure; the follo
67b0: 77 69 6e 67 20 65 78 61 6d 70 6c 65 20 73 68 6f wing example sho
67c0: 77 73 20 68 6f 77 20 74 6f 20 6d 75 6c 74 69 70 ws how to multip
67d0: 6c 79 20 74 77 6f 20 3c 62 3e 34 20 78 20 34 3c ly two <b>4 x 4<
67e0: 2f 62 3e 20 6d 61 74 72 69 63 65 73 2e 3c 62 72 /b> matrices.<br
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6820: 3c 74 64 3e 0d 0a 3c 74 61 62 6c 65 3e 0d 0a 3c <td>..<table>..<
6830: 74 72 3e 3c 74 64 3e 2f 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 tr><td>/</td><td
6840: 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e align="center">
6850: 61 3c 73 75 62 3e 31 31 3c 2f 73 75 62 3e 3c 2f a<sub>11</sub></
6860: 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 td><td align="ce
6870: 6e 74 65 72 22 3e 61 3c 73 75 62 3e 31 32 3c 2f nter">a<sub>12</
6880: 73 75 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 sub></td><td ali
6890: 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 61 3c 73 75 gn="center">a<su
68a0: 62 3e 31 33 3c 2f 73 75 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c b>13</sub></td><
68b0: 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 td align="center
68c0: 22 3e 61 3c 73 75 62 3e 31 34 3c 2f 73 75 62 3e ">a<sub>14</sub>
68d0: 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 3e 5c 3c 2f 74 64 3e 3c </td><td>\</td><
68e0: 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 3e 7c 3c /tr>..<tr><td>|<
68f0: 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 /td><td align="c
6900: 65 6e 74 65 72 22 3e 61 3c 73 75 62 3e 32 31 3c enter">a<sub>21<
6910: 2f 73 75 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c /sub></td><td al
6920: 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 61 3c 73 ign="center">a<s
6930: 75 62 3e 32 32 3c 2f 73 75 62 3e 3c 2f 74 64 3e ub>22</sub></td>
6940: 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 <td align="cente
6950: 72 22 3e 61 3c 73 75 62 3e 32 33 3c 2f 73 75 62 r">a<sub>23</sub
6960: 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d ></td><td align=
6970: 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 61 3c 73 75 62 3e 32 "center">a<sub>2
6980: 34 3c 2f 73 75 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 3e 4</sub></td><td>
6990: 7c 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 |</td></tr>..<tr
69a0: 3e 3c 74 64 3e 7c 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 ><td>|</td><td a
69b0: 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 61 3c lign="center">a<
69c0: 73 75 62 3e 33 31 3c 2f 73 75 62 3e 3c 2f 74 64 sub>31</sub></td
69d0: 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 ><td align="cent
69e0: 65 72 22 3e 61 3c 73 75 62 3e 33 32 3c 2f 73 75 er">a<sub>32</su
69f0: 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e b></td><td align
6a00: 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 61 3c 73 75 62 3e ="center">a<sub>
6a10: 33 33 3c 2f 73 75 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 33</sub></td><td
6a20: 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e align="center">
6a30: 61 3c 73 75 62 3e 33 34 3c 2f 73 75 62 3e 3c 2f a<sub>34</sub></
6a40: 74 64 3e 3c 74 64 3e 7c 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 td><td>|</td></t
6a50: 72 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 3e 5c 3c 2f 74 r>..<tr><td>\</t
6a60: 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e d><td align="cen
6a70: 74 65 72 22 3e 61 3c 73 75 62 3e 34 31 3c 2f 73 ter">a<sub>41</s
6a80: 75 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 ub></td><td alig
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6aa0: 3e 34 32 3c 2f 73 75 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 >42</sub></td><t
6ab0: 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 d align="center"
6ac0: 3e 61 3c 73 75 62 3e 34 33 3c 2f 73 75 62 3e 3c >a<sub>43</sub><
6ad0: 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 /td><td align="c
6ae0: 65 6e 74 65 72 22 3e 61 3c 73 75 62 3e 34 34 3c enter">a<sub>44<
6af0: 2f 73 75 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 3e 2f 3c /sub></td><td>/<
6b00: 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 2f 74 61 62 /td></tr>..</tab
6b10: 6c 65 3e 0d 0a 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 76 61 le>..</td><td va
6b20: 6c 69 67 6e 3d 22 6d 69 64 64 6c 65 22 3e 2a 3c lign="middle">*<
6b30: 2f 74 64 3e 0d 0a 3c 74 64 3e 0d 0a 3c 74 61 62 /td>..<td>..<tab
6b40: 6c 65 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 3e 2f 3c 2f le>..<tr><td>/</
6b50: 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 td><td align="ce
6b60: 6e 74 65 72 22 3e 62 3c 73 75 62 3e 31 31 3c 2f nter">b<sub>11</
6b70: 73 75 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 sub></td><td ali
6b80: 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 62 3c 73 75 gn="center">b<su
6b90: 62 3e 31 32 3c 2f 73 75 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c b>12</sub></td><
6ba0: 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 td align="center
6bb0: 22 3e 62 3c 73 75 62 3e 31 33 3c 2f 73 75 62 3e ">b<sub>13</sub>
6bc0: 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 </td><td align="
6bd0: 63 65 6e 74 65 72 22 3e 62 3c 73 75 62 3e 31 34 center">b<sub>14
6be0: 3c 2f 73 75 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 3e 5c </sub></td><td>\
6bf0: 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 3e </td></tr>..<tr>
6c00: 3c 74 64 3e 7c 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c <td>|</td><td al
6c10: 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 62 3c 73 ign="center">b<s
6c20: 75 62 3e 32 31 3c 2f 73 75 62 3e 3c 2f 74 64 3e ub>21</sub></td>
6c30: 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 <td align="cente
6c40: 72 22 3e 62 3c 73 75 62 3e 32 32 3c 2f 73 75 62 r">b<sub>22</sub
6c50: 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d ></td><td align=
6c60: 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 62 3c 73 75 62 3e 32 "center">b<sub>2
6c70: 33 3c 2f 73 75 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 3</sub></td><td
6c80: 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 62 align="center">b
6c90: 3c 73 75 62 3e 32 34 3c 2f 73 75 62 3e 3c 2f 74 <sub>24</sub></t
6ca0: 64 3e 3c 74 64 3e 7c 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 d><td>|</td></tr
6cb0: 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 3e 7c 3c 2f 74 64 >..<tr><td>|</td
6cc0: 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 ><td align="cent
6cd0: 65 72 22 3e 62 3c 73 75 62 3e 33 31 3c 2f 73 75 er">b<sub>31</su
6ce0: 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e b></td><td align
6cf0: 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 62 3c 73 75 62 3e ="center">b<sub>
6d00: 33 32 3c 2f 73 75 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 32</sub></td><td
6d10: 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e align="center">
6d20: 62 3c 73 75 62 3e 33 33 3c 2f 73 75 62 3e 3c 2f b<sub>33</sub></
6d30: 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 td><td align="ce
6d40: 6e 74 65 72 22 3e 62 3c 73 75 62 3e 33 34 3c 2f nter">b<sub>34</
6d50: 73 75 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 3e 7c 3c 2f sub></td><td>|</
6d60: 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 td></tr>..<tr><t
6d70: 64 3e 5c 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 d>\</td><td alig
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6d90: 3e 34 31 3c 2f 73 75 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 >41</sub></td><t
6da0: 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 d align="center"
6db0: 3e 62 3c 73 75 62 3e 34 32 3c 2f 73 75 62 3e 3c >b<sub>42</sub><
6dc0: 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 /td><td align="c
6dd0: 65 6e 74 65 72 22 3e 62 3c 73 75 62 3e 34 33 3c enter">b<sub>43<
6de0: 2f 73 75 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c /sub></td><td al
6df0: 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 62 3c 73 ign="center">b<s
6e00: 75 62 3e 34 34 3c 2f 73 75 62 3e 3c 2f 74 64 3e ub>44</sub></td>
6e10: 3c 74 64 3e 2f 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d <td>/</td></tr>.
6e20: 0a 3c 2f 74 61 62 6c 65 3e 0d 0a 3c 2f 74 64 3e .</table>..</td>
6e30: 0d 0a 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 76 61 6c 69 67 ..</td><td valig
6e40: 6e 3d 22 6d 69 64 64 6c 65 22 3e 3d 3c 2f 74 64 n="middle">=</td
6e50: 3e 0d 0a 3c 74 64 3e 0d 0a 3c 74 61 62 6c 65 3e >..<td>..<table>
6e60: 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 3e 2f 3c 2f 74 64 3e ..<tr><td>/</td>
6e70: 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 <td align="cente
6e80: 72 22 3e 0d 0a 28 61 3c 73 75 62 3e 31 31 3c 2f r">..(a<sub>11</
6e90: 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e 31 31 3c 2f 73 sub>*b<sub>11</s
6ea0: 75 62 3e 20 2b 20 0d 0a 61 3c 73 75 62 3e 31 32 ub> + ..a<sub>12
6eb0: 3c 2f 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e 32 31 3c </sub>*b<sub>21<
6ec0: 2f 73 75 62 3e 20 2b 20 0d 0a 61 3c 73 75 62 3e /sub> + ..a<sub>
6ed0: 31 33 3c 2f 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e 33 13</sub>*b<sub>3
6ee0: 31 3c 2f 73 75 62 3e 20 2b 20 0d 0a 61 3c 73 75 1</sub> + ..a<su
6ef0: 62 3e 31 34 3c 2f 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 b>14</sub>*b<sub
6f00: 3e 34 31 3c 2f 73 75 62 3e 29 3c 2f 74 64 3e 0d >41</sub>)</td>.
6f10: 0a 3c 74 64 3e 28 61 3c 73 75 62 3e 31 31 3c 2f .<td>(a<sub>11</
6f20: 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e 31 32 3c 2f 73 sub>*b<sub>12</s
6f30: 75 62 3e 20 2b 20 0d 0a 61 3c 73 75 62 3e 31 32 ub> + ..a<sub>12
6f40: 3c 2f 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e 32 32 3c </sub>*b<sub>22<
6f50: 2f 73 75 62 3e 20 2b 20 0d 0a 61 3c 73 75 62 3e /sub> + ..a<sub>
6f60: 31 33 3c 2f 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e 33 13</sub>*b<sub>3
6f70: 32 3c 2f 73 75 62 3e 20 2b 0d 0a 61 3c 73 75 62 2</sub> +..a<sub
6f80: 3e 31 34 3c 2f 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e >14</sub>*b<sub>
6f90: 34 32 3c 2f 73 75 62 3e 29 3c 2f 74 64 3e 0d 0a 42</sub>)</td>..
6fa0: 3c 74 64 3e 28 61 3c 73 75 62 3e 31 31 3c 2f 73 <td>(a<sub>11</s
6fb0: 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e 31 33 3c 2f 73 75 ub>*b<sub>13</su
6fc0: 62 3e 20 2b 20 0d 0a 61 3c 73 75 62 3e 31 32 3c b> + ..a<sub>12<
6fd0: 2f 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e 32 33 3c 2f /sub>*b<sub>23</
6fe0: 73 75 62 3e 20 2b 20 0d 0a 61 3c 73 75 62 3e 31 sub> + ..a<sub>1
6ff0: 33 3c 2f 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e 33 33 3</sub>*b<sub>33
7000: 3c 2f 73 75 62 3e 20 2b 0d 0a 61 3c 73 75 62 3e </sub> +..a<sub>
7010: 31 34 3c 2f 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e 34 14</sub>*b<sub>4
7020: 33 3c 2f 73 75 62 3e 29 3c 2f 74 64 3e 0d 0a 3c 3</sub>)</td>..<
7030: 74 64 3e 28 61 3c 73 75 62 3e 31 31 3c 2f 73 75 td>(a<sub>11</su
7040: 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e 31 34 3c 2f 73 75 62 b>*b<sub>14</sub
7050: 3e 20 2b 20 0d 0a 61 3c 73 75 62 3e 31 32 3c 2f > + ..a<sub>12</
7060: 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e 32 34 3c 2f 73 sub>*b<sub>24</s
7070: 75 62 3e 20 2b 20 0d 0a 61 3c 73 75 62 3e 31 33 ub> + ..a<sub>13
7080: 3c 2f 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e 33 34 3c </sub>*b<sub>34<
7090: 2f 73 75 62 3e 20 2b 0d 0a 61 3c 73 75 62 3e 31 /sub> +..a<sub>1
70a0: 34 3c 2f 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e 34 34 4</sub>*b<sub>44
70b0: 3c 2f 73 75 62 3e 29 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 3e </sub>)</td><td>
70c0: 5c 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 \</td></tr>..<tr
70d0: 3e 3c 74 64 3e 7c 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 ><td>|</td><td a
70e0: 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 0d 0a lign="center">..
70f0: 28 61 3c 73 75 62 3e 32 31 3c 2f 73 75 62 3e 2a (a<sub>21</sub>*
7100: 62 3c 73 75 62 3e 31 31 3c 2f 73 75 62 3e 20 2b b<sub>11</sub> +
7110: 20 0d 0a 61 3c 73 75 62 3e 32 32 3c 2f 73 75 62 ..a<sub>22</sub
7120: 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e 32 31 3c 2f 73 75 62 3e >*b<sub>21</sub>
7130: 20 2b 20 0d 0a 61 3c 73 75 62 3e 32 33 3c 2f 73 + ..a<sub>23</s
7140: 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e 33 31 3c 2f 73 75 ub>*b<sub>31</su
7150: 62 3e 20 2b 20 0d 0a 61 3c 73 75 62 3e 32 34 3c b> + ..a<sub>24<
7160: 2f 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e 34 31 3c 2f /sub>*b<sub>41</
7170: 73 75 62 3e 29 3c 2f 74 64 3e 0d 0a 3c 74 64 3e sub>)</td>..<td>
7180: 28 61 3c 73 75 62 3e 32 31 3c 2f 73 75 62 3e 2a (a<sub>21</sub>*
7190: 62 3c 73 75 62 3e 31 32 3c 2f 73 75 62 3e 20 2b b<sub>12</sub> +
71a0: 20 0d 0a 61 3c 73 75 62 3e 32 32 3c 2f 73 75 62 ..a<sub>22</sub
71b0: 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e 32 32 3c 2f 73 75 62 3e >*b<sub>22</sub>
71c0: 20 2b 20 0d 0a 61 3c 73 75 62 3e 32 33 3c 2f 73 + ..a<sub>23</s
71d0: 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e 33 32 3c 2f 73 75 ub>*b<sub>32</su
71e0: 62 3e 20 2b 0d 0a 61 3c 73 75 62 3e 32 34 3c 2f b> +..a<sub>24</
71f0: 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e 34 32 3c 2f 73 sub>*b<sub>42</s
7200: 75 62 3e 29 3c 2f 74 64 3e 0d 0a 3c 74 64 3e 28 ub>)</td>..<td>(
7210: 61 3c 73 75 62 3e 32 31 3c 2f 73 75 62 3e 2a 62 a<sub>21</sub>*b
7220: 3c 73 75 62 3e 31 33 3c 2f 73 75 62 3e 20 2b 20 <sub>13</sub> +
7230: 0d 0a 61 3c 73 75 62 3e 32 32 3c 2f 73 75 62 3e ..a<sub>22</sub>
7240: 2a 62 3c 73 75 62 3e 32 33 3c 2f 73 75 62 3e 20 *b<sub>23</sub>
7250: 2b 20 0d 0a 61 3c 73 75 62 3e 32 33 3c 2f 73 75 + ..a<sub>23</su
7260: 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e 33 33 3c 2f 73 75 62 b>*b<sub>33</sub
7270: 3e 20 2b 0d 0a 61 3c 73 75 62 3e 32 34 3c 2f 73 > +..a<sub>24</s
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82c0: 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 3e 57 69 6c 6c 20 72 ></td><td>Will r
82d0: 65 74 75 72 6e 20 61 6e 20 49 64 65 6e 74 69 74 eturn an Identit
82e0: 79 20 41 66 66 69 6e 65 20 54 72 61 6e 73 66 6f y Affine Transfo
82f0: 72 6d 61 74 69 6f 6e 20 4d 61 74 72 69 78 2e 3c rmation Matrix.<
8300: 62 72 3e 0d 0a 4e 55 4c 4c 20 69 66 20 61 6e 79 br>..NULL if any
8310: 20 65 72 72 6f 72 20 6f 63 63 75 72 73 2e 3c 2f error occurs.</
8320: 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 td></tr>..<tr><t
8330: 64 3e 3c 62 3e 41 54 4d 5f 43 72 65 61 74 65 20 d><b>ATM_Create
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8360: 20 2c 20 64 6f 75 62 6c 65 20 65 20 2c 20 64 6f , double e , do
8370: 75 62 6c 65 20 78 6f 66 66 20 2c 20 64 6f 75 62 uble xoff , doub
8380: 6c 65 20 79 6f 66 66 20 29 20 3a 20 42 4c 4f 42 le yoff ) : BLOB
8390: 20 41 54 2d 6d 61 74 72 69 78 3c 2f 62 3e 3c 2f AT-matrix</b></
83a0: 74 64 3e 3c 74 64 3e 57 69 6c 6c 20 72 65 74 75 td><td>Will retu
83b0: 72 6e 20 61 20 32 44 20 41 66 66 69 6e 65 20 54 rn a 2D Affine T
83c0: 72 61 6e 73 66 6f 72 6d 61 74 69 6f 6e 20 4d 61 ransformation Ma
83d0: 74 72 69 78 20 69 6e 69 74 69 61 6c 69 7a 65 64 trix initialized
83e0: 20 77 69 74 68 20 65 78 70 6c 69 63 69 74 20 76 with explicit v
83f0: 61 6c 75 65 73 2e 3c 62 72 3e 0d 0a 4e 55 4c 4c alues.<br>..NULL
8400: 20 69 66 20 61 6e 79 20 65 72 72 6f 72 20 6f 63 if any error oc
8410: 63 75 72 73 20 6f 72 20 6f 6e 20 69 6e 76 61 6c curs or on inval
8420: 69 64 20 61 72 67 75 6d 65 6e 74 73 2e 3c 2f 74 id arguments.</t
8430: 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 d></tr>..<tr><td
8440: 3e 3c 62 3e 41 54 4d 5f 43 72 65 61 74 65 20 28 ><b>ATM_Create (
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8470: 2c 20 64 6f 75 62 6c 65 20 64 20 2c 20 64 6f 75 , double d , dou
8480: 62 6c 65 20 65 20 2c 20 64 6f 75 62 6c 65 20 66 ble e , double f
8490: 20 2c 20 64 6f 75 62 6c 65 20 67 20 2c 20 64 6f , double g , do
84a0: 75 62 6c 65 20 68 20 2c 20 64 6f 75 62 6c 65 20 uble h , double
84b0: 69 20 2c 20 64 6f 75 62 6c 65 20 78 6f 66 66 20 i , double xoff
84c0: 2c 20 64 6f 75 62 6c 65 20 79 6f 66 66 20 2c 20 , double yoff ,
84d0: 64 6f 75 62 6c 65 20 64 6f 75 62 6c 65 20 7a 6f double double zo
84e0: 66 66 20 29 20 3a 20 42 4c 4f 42 20 41 54 2d 6d ff ) : BLOB AT-m
84f0: 61 74 72 69 78 3c 2f 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 atrix</b></td><t
8500: 64 3e 57 69 6c 6c 20 72 65 74 75 72 6e 20 61 20 d>Will return a
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8520: 6f 72 6d 61 74 69 6f 6e 20 4d 61 74 72 69 78 20 ormation Matrix
8530: 69 6e 69 74 69 61 6c 69 7a 65 64 20 77 69 74 68 initialized with
8540: 20 65 78 70 6c 69 63 69 74 20 76 61 6c 75 65 73 explicit values
8550: 2e 3c 62 72 3e 0d 0a 4e 55 4c 4c 20 69 66 20 61 .<br>..NULL if a
8560: 6e 79 20 65 72 72 6f 72 20 6f 63 63 75 72 73 20 ny error occurs
8570: 6f 72 20 6f 6e 20 69 6e 76 61 6c 69 64 20 61 72 or on invalid ar
8580: 67 75 6d 65 6e 74 73 2e 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 guments.</td></t
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85b0: 74 65 20 28 20 64 6f 75 62 6c 65 20 74 78 20 2c te ( double tx ,
85c0: 20 64 6f 75 62 6c 65 20 74 79 20 29 20 3a 20 42 double ty ) : B
85d0: 4c 4f 42 20 41 54 2d 6d 61 74 72 69 78 3c 2f 62 LOB AT-matrix</b
85e0: 3e 3c 62 72 3e 0d 0a 3c 62 3e 41 54 4d 5f 43 72 ><br>..<b>ATM_Cr
85f0: 65 61 74 65 54 72 61 6e 73 6c 61 74 65 20 28 20 eateTranslate (
8600: 64 6f 75 62 6c 65 20 74 78 20 2c 20 64 6f 75 62 double tx , doub
8610: 6c 65 20 74 79 20 2c 20 64 6f 75 62 6c 65 20 74 le ty , double t
8620: 7a 20 29 20 3a 20 42 4c 4f 42 20 41 54 2d 6d 61 z ) : BLOB AT-ma
8630: 74 72 69 78 3c 2f 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 trix</b></td><td
8640: 3e 57 69 6c 6c 20 72 65 74 75 72 6e 20 61 6e 20 >Will return an
8650: 41 66 66 69 6e 65 20 54 72 61 6e 73 66 6f 72 6d Affine Transform
8660: 61 74 69 6f 6e 20 4d 61 74 72 69 78 20 69 6e 69 ation Matrix ini
8670: 74 69 61 6c 69 7a 65 64 20 72 65 73 70 65 63 74 tialized respect
8680: 69 76 65 6c 79 20 61 73 20 61 20 32 44 20 6f 72 ively as a 2D or
8690: 20 33 44 20 54 72 61 6e 73 6c 61 74 65 2e 3c 62 3D Translate.<b
86a0: 72 3e 0d 0a 4e 55 4c 4c 20 69 66 20 61 6e 79 20 r>..NULL if any
86b0: 65 72 72 6f 72 20 6f 63 63 75 72 73 20 6f 72 20 error occurs or
86c0: 6f 6e 20 69 6e 76 61 6c 69 64 20 61 72 67 75 6d on invalid argum
86d0: 65 6e 74 73 2e 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d ents.</td></tr>.
86e0: 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 3e 3c 62 3e 41 54 4d 5f .<tr><td><b>ATM_
86f0: 43 72 65 61 74 65 53 63 61 6c 65 20 28 20 64 6f CreateScale ( do
8700: 75 62 6c 65 20 73 78 20 2c 20 64 6f 75 62 6c 65 uble sx , double
8710: 20 73 79 20 29 20 3a 20 42 4c 4f 42 20 41 54 2d sy ) : BLOB AT-
8720: 6d 61 74 72 69 78 3c 2f 62 3e 3c 62 72 3e 0d 0a matrix</b><br>..
8730: 3c 62 3e 41 54 4d 5f 43 72 65 61 74 65 53 63 61 <b>ATM_CreateSca
8740: 6c 65 20 28 20 64 6f 75 62 6c 65 20 73 78 20 2c le ( double sx ,
8750: 20 64 6f 75 62 6c 65 20 73 79 20 2c 20 64 6f 75 double sy , dou
8760: 62 6c 65 20 73 7a 20 29 20 3a 20 42 4c 4f 42 20 ble sz ) : BLOB
8770: 41 54 2d 6d 61 74 72 69 78 3c 2f 62 3e 3c 2f 74 AT-matrix</b></t
8780: 64 3e 3c 74 64 3e 57 69 6c 6c 20 72 65 74 75 72 d><td>Will retur
8790: 6e 20 61 6e 20 41 66 66 69 6e 65 20 54 72 61 6e n an Affine Tran
87a0: 73 66 6f 72 6d 61 74 69 6f 6e 20 4d 61 74 72 69 sformation Matri
87b0: 78 20 69 6e 69 74 69 61 6c 69 7a 65 64 20 72 65 x initialized re
87c0: 73 70 65 63 74 69 76 65 6c 79 20 61 73 20 61 20 spectively as a
87d0: 32 44 20 6f 72 20 33 44 20 53 63 61 6c 65 2e 3c 2D or 3D Scale.<
87e0: 62 72 3e 0d 0a 4e 55 4c 4c 20 69 66 20 61 6e 79 br>..NULL if any
87f0: 20 65 72 72 6f 72 20 6f 63 63 75 72 73 20 6f 72 error occurs or
8800: 20 6f 6e 20 69 6e 76 61 6c 69 64 20 61 72 67 75 on invalid argu
8810: 6d 65 6e 74 73 2e 2e 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 ments..</td></tr
8820: 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 3e 3c 62 3e 41 54 >..<tr><td><b>AT
8830: 4d 5f 43 72 65 61 74 65 52 6f 74 61 74 65 20 28 M_CreateRotate (
8840: 20 64 6f 75 62 6c 65 20 61 6e 67 6c 65 49 6e 44 double angleInD
8850: 65 67 72 65 65 73 20 29 20 3a 20 42 4c 4f 42 20 egrees ) : BLOB
8860: 41 54 2d 6d 61 74 72 69 78 3c 2f 62 3e 3c 62 72 AT-matrix</b><br
8870: 3e 0d 0a 3c 62 3e 41 54 4d 5f 43 72 65 61 74 65 >..<b>ATM_Create
8880: 5a 52 6f 6c 6c 20 28 20 64 6f 75 62 6c 65 20 61 ZRoll ( double a
8890: 6e 67 6c 65 49 6e 44 65 67 72 65 65 73 20 29 20 ngleInDegrees )
88a0: 3a 20 42 4c 4f 42 20 41 54 2d 6d 61 74 72 69 78 : BLOB AT-matrix
88b0: 3c 2f 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 3e 57 69 6c </b></td><td>Wil
88c0: 6c 20 72 65 74 75 72 6e 20 61 6e 20 41 66 66 69 l return an Affi
88d0: 6e 65 20 54 72 61 6e 73 66 6f 72 6d 61 74 69 6f ne Transformatio
88e0: 6e 20 4d 61 74 72 69 78 20 69 6e 69 74 69 61 6c n Matrix initial
88f0: 69 7a 65 64 20 61 73 20 52 6f 74 61 74 69 6f 6e ized as Rotation
8900: 20 61 72 6f 75 6e 64 20 74 68 65 20 5a 20 61 78 around the Z ax
8910: 69 73 2e 3c 62 72 3e 0d 0a 4e 55 4c 4c 20 69 66 is.<br>..NULL if
8920: 20 61 6e 79 20 65 72 72 6f 72 20 6f 63 63 75 72 any error occur
8930: 73 20 6f 72 20 6f 6e 20 69 6e 76 61 6c 69 64 20 s or on invalid
8940: 61 72 67 75 6d 65 6e 74 73 2e 3c 68 72 3e 0d 0a arguments.<hr>..
8950: 54 68 65 20 61 6e 67 6c 65 20 69 73 20 61 6c 77 The angle is alw
8960: 61 79 73 20 65 78 70 65 63 74 65 64 20 74 6f 20 ays expected to
8970: 62 65 20 6d 65 61 73 75 72 65 64 20 69 6e 20 64 be measured in d
8980: 65 63 69 6d 61 6c 20 64 65 67 72 65 65 73 2e 20 ecimal degrees.
8990: 54 68 65 20 64 69 72 65 63 74 69 6f 6e 20 6f 66 The direction of
89a0: 20 72 6f 74 61 74 69 6f 6e 20 69 73 20 64 65 66 rotation is def
89b0: 69 6e 65 64 20 73 75 63 68 20 74 68 61 74 20 70 ined such that p
89c0: 6f 73 69 74 69 76 65 20 61 6e 67 6c 65 73 20 72 ositive angles r
89d0: 6f 74 61 74 65 20 69 6e 20 74 68 65 20 64 69 72 otate in the dir
89e0: 65 63 74 69 6f 6e 20 66 72 6f 6d 20 74 68 65 20 ection from the
89f0: 70 6f 73 69 74 69 76 65 20 58 20 61 78 69 73 20 positive X axis
8a00: 74 6f 77 61 72 64 20 74 68 65 20 70 6f 73 69 74 toward the posit
8a10: 69 76 65 20 59 20 61 78 69 73 2e 20 57 69 74 68 ive Y axis. With
8a20: 20 74 68 65 20 64 65 66 61 75 6c 74 20 61 78 69 the default axi
8a30: 73 20 6f 72 69 65 6e 74 61 74 69 6f 6e 20 20 70 s orientation p
8a40: 6f 73 69 74 69 76 65 20 61 6e 67 6c 65 73 20 72 ositive angles r
8a50: 6f 74 61 74 65 20 69 6e 20 61 20 63 6f 75 6e 74 otate in a count
8a60: 65 72 63 6c 6f 63 6b 77 69 73 65 20 64 69 72 65 erclockwise dire
8a70: 63 74 69 6f 6e 2e 3c 68 72 3e 0d 0a 3c 75 3e 4e ction.<hr>..<u>N
8a80: 6f 74 65 3c 2f 75 3e 3a 20 74 68 69 73 20 69 73 ote</u>: this is
8a90: 20 74 68 65 20 75 6e 69 71 75 65 20 72 6f 74 61 the unique rota
8aa0: 74 69 6f 6e 20 61 6c 6c 6f 77 65 64 20 6f 6e 20 tion allowed on
8ab0: 61 20 70 75 72 65 6c 79 20 32 44 20 70 6c 61 6e a purely 2D plan
8ac0: 65 2e 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 e.</td></tr>..<t
8ad0: 72 3e 3c 74 64 3e 3c 62 3e 41 54 4d 5f 43 72 65 r><td><b>ATM_Cre
8ae0: 61 74 65 58 52 6f 6c 6c 20 28 20 64 6f 75 62 6c ateXRoll ( doubl
8af0: 65 20 61 6e 67 6c 65 49 6e 44 65 67 72 65 65 73 e angleInDegrees
8b00: 20 29 20 3a 20 42 4c 4f 42 20 41 54 2d 6d 61 74 ) : BLOB AT-mat
8b10: 72 69 78 3c 2f 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 3e rix</b></td><td>
8b20: 57 69 6c 6c 20 72 65 74 75 72 6e 20 61 6e 20 41 Will return an A
8b30: 66 66 69 6e 65 20 54 72 61 6e 73 66 6f 72 6d 61 ffine Transforma
8b40: 74 69 6f 6e 20 4d 61 74 72 69 78 20 69 6e 69 74 tion Matrix init
8b50: 69 61 6c 69 7a 65 64 20 61 73 20 52 6f 74 61 74 ialized as Rotat
8b60: 69 6f 6e 20 61 72 6f 75 6e 64 20 74 68 65 20 58 ion around the X
8b70: 20 61 78 69 73 2e 3c 62 72 3e 0d 0a 4e 55 4c 4c axis.<br>..NULL
8b80: 20 69 66 20 61 6e 79 20 65 72 72 6f 72 20 6f 63 if any error oc
8b90: 63 75 72 73 20 6f 72 20 6f 6e 20 69 6e 76 61 6c curs or on inval
8ba0: 69 64 20 61 72 67 75 6d 65 6e 74 73 2e 3c 2f 74 id arguments.</t
8bb0: 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 d></tr>..<tr><td
8bc0: 3e 3c 62 3e 41 54 4d 5f 43 72 65 61 74 65 59 52 ><b>ATM_CreateYR
8bd0: 6f 6c 6c 20 28 20 64 6f 75 62 6c 65 20 61 6e 67 oll ( double ang
8be0: 6c 65 49 6e 44 65 67 72 65 65 73 20 29 20 3a 20 leInDegrees ) :
8bf0: 42 4c 4f 42 20 41 54 2d 6d 61 74 72 69 78 3c 2f BLOB AT-matrix</
8c00: 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 3e 57 69 6c 6c 20 b></td><td>Will
8c10: 72 65 74 75 72 6e 20 61 6e 20 41 66 66 69 6e 65 return an Affine
8c20: 20 54 72 61 6e 73 66 6f 72 6d 61 74 69 6f 6e 20 Transformation
8c30: 4d 61 74 72 69 78 20 69 6e 69 74 69 61 6c 69 7a Matrix initializ
8c40: 65 64 20 61 73 20 52 6f 74 61 74 69 6f 6e 20 61 ed as Rotation a
8c50: 72 6f 75 6e 64 20 74 68 65 20 59 20 61 78 69 73 round the Y axis
8c60: 2e 3c 62 72 3e 0d 0a 4e 55 4c 4c 20 69 66 20 61 .<br>..NULL if a
8c70: 6e 79 20 65 72 72 6f 72 20 6f 63 63 75 72 73 20 ny error occurs
8c80: 6f 72 20 6f 6e 20 69 6e 76 61 6c 69 64 20 61 72 or on invalid ar
8c90: 67 75 6d 65 6e 74 73 2e 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 guments.</td></t
8ca0: 72 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 68 20 63 6f 6c 73 r>..<tr><th cols
8cb0: 70 61 6e 3d 22 32 22 20 62 67 63 6f 6c 6f 72 3d pan="2" bgcolor=
8cc0: 22 23 46 30 45 36 38 43 22 20 61 6c 69 67 6e 3d "#F0E68C" align=
8cd0: 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 53 51 4c 20 66 75 6e "center">SQL fun
8ce0: 63 74 69 6f 6e 73 20 73 75 70 70 6f 72 74 69 6e ctions supportin
8cf0: 67 20 63 68 61 69 6e 69 6e 67 20 74 77 6f 20 41 g chaining two A
8d00: 66 66 69 6e 65 20 54 72 61 6e 73 66 6f 72 6d 61 ffine Transforma
8d10: 74 69 6f 6e 20 4d 61 74 72 69 63 65 73 3c 2f 74 tion Matrices</t
8d20: 68 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 h></tr>..<tr><td
8d30: 3e 3c 62 3e 41 54 4d 5f 54 72 61 6e 73 6c 61 74 ><b>ATM_Translat
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8d50: 69 78 20 2c 20 64 6f 75 62 6c 65 20 74 78 20 2c ix , double tx ,
8d60: 20 64 6f 75 62 6c 65 20 74 79 20 29 20 3a 20 42 double ty ) : B
8d70: 4c 4f 42 20 41 54 2d 6d 61 74 72 69 78 3c 2f 62 LOB AT-matrix</b
8d80: 3e 3c 62 72 3e 0d 0a 3c 62 3e 41 54 4d 5f 54 72 ><br>..<b>ATM_Tr
8d90: 61 6e 73 6c 61 74 65 20 28 20 42 4c 4f 42 20 41 anslate ( BLOB A
8da0: 54 2d 6d 61 74 72 69 78 20 2c 20 64 6f 75 62 6c T-matrix , doubl
8db0: 65 20 74 78 20 2c 20 64 6f 75 62 6c 65 20 74 79 e tx , double ty
8dc0: 20 2c 20 64 6f 75 62 6c 65 20 74 7a 20 29 20 3a , double tz ) :
8dd0: 20 42 4c 4f 42 20 41 54 2d 6d 61 74 72 69 78 3c BLOB AT-matrix<
8de0: 2f 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 3e 57 69 6c 6c /b></td><td>Will
8df0: 20 72 65 74 75 72 6e 20 61 6e 20 41 66 66 69 6e return an Affin
8e00: 65 20 54 72 61 6e 73 66 6f 72 6d 61 74 69 6f 6e e Transformation
8e10: 20 4d 61 74 72 69 78 20 62 79 20 63 68 61 69 6e Matrix by chain
8e20: 69 6e 67 20 72 65 73 70 65 63 74 69 76 65 6c 79 ing respectively
8e30: 20 61 20 32 44 20 6f 72 20 33 44 20 54 72 61 6e a 2D or 3D Tran
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8e50: 72 20 41 66 66 69 6e 65 20 54 72 61 6e 73 66 6f r Affine Transfo
8e60: 72 6d 61 74 69 6f 6e 2e 3c 62 72 3e 0d 0a 4e 55 rmation.<br>..NU
8e70: 4c 4c 20 69 66 20 61 6e 79 20 65 72 72 6f 72 20 LL if any error
8e80: 6f 63 63 75 72 73 20 6f 72 20 6f 6e 20 69 6e 76 occurs or on inv
8e90: 61 6c 69 64 20 61 72 67 75 6d 65 6e 74 73 2e 3c alid arguments.<
8ea0: 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c /td></tr>..<tr><
8eb0: 74 64 3e 3c 62 3e 41 54 4d 5f 53 63 61 6c 65 20 td><b>ATM_Scale
8ec0: 28 20 42 4c 4f 42 20 41 54 2d 6d 61 74 72 69 78 ( BLOB AT-matrix
8ed0: 20 2c 20 64 6f 75 62 6c 65 20 73 78 20 2c 20 64 , double sx , d
8ee0: 6f 75 62 6c 65 20 73 79 20 29 20 3a 20 42 4c 4f ouble sy ) : BLO
8ef0: 42 20 41 54 2d 6d 61 74 72 69 78 3c 2f 62 3e 3c B AT-matrix</b><
8f00: 62 72 3e 0d 0a 3c 62 3e 41 54 4d 5f 53 63 61 6c br>..<b>ATM_Scal
8f10: 65 20 28 20 42 4c 4f 42 20 41 54 2d 6d 61 74 72 e ( BLOB AT-matr
8f20: 69 78 20 2c 20 64 6f 75 62 6c 65 20 73 78 20 2c ix , double sx ,
8f30: 20 64 6f 75 62 6c 65 20 73 79 20 2c 20 64 6f 75 double sy , dou
8f40: 62 6c 65 20 73 7a 20 29 20 3a 20 42 4c 4f 42 20 ble sz ) : BLOB
8f50: 41 54 2d 6d 61 74 72 69 78 3c 2f 62 3e 3c 2f 74 AT-matrix</b></t
8f60: 64 3e 3c 74 64 3e 57 69 6c 6c 20 72 65 74 75 72 d><td>Will retur
8f70: 6e 20 61 6e 20 41 66 66 69 6e 65 20 54 72 61 6e n an Affine Tran
8f80: 73 66 6f 72 6d 61 74 69 6f 6e 20 4d 61 74 72 69 sformation Matri
8f90: 78 20 62 79 20 63 68 61 69 6e 69 6e 67 20 72 65 x by chaining re
8fa0: 73 70 65 63 74 69 76 65 6c 79 20 61 20 32 44 20 spectively a 2D
8fb0: 6f 72 20 33 44 20 53 63 61 6c 65 20 61 6e 64 20 or 3D Scale and
8fc0: 61 6e 6f 74 68 65 72 20 41 66 66 69 6e 65 20 54 another Affine T
8fd0: 72 61 6e 73 66 6f 72 6d 61 74 69 6f 6e 2e 3c 62 ransformation.<b
8fe0: 72 3e 0d 0a 4e 55 4c 4c 20 69 66 20 61 6e 79 20 r>..NULL if any
8ff0: 65 72 72 6f 72 20 6f 63 63 75 72 73 20 6f 72 20 error occurs or
9000: 6f 6e 20 69 6e 76 61 6c 69 64 20 61 72 67 75 6d on invalid argum
9010: 65 6e 74 73 2e 2e 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e ents..</td></tr>
9020: 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 3e 3c 62 3e 41 54 4d ..<tr><td><b>ATM
9030: 5f 52 6f 74 61 74 65 20 28 20 42 4c 4f 42 20 41 _Rotate ( BLOB A
9040: 54 2d 6d 61 74 72 69 78 20 2c 20 64 6f 75 62 6c T-matrix , doubl
9050: 65 20 61 6e 67 6c 65 49 6e 44 65 67 72 65 65 73 e angleInDegrees
9060: 20 29 20 3a 20 42 4c 4f 42 20 41 54 2d 6d 61 74 ) : BLOB AT-mat
9070: 72 69 78 3c 2f 62 3e 3c 62 72 3e 0d 0a 3c 62 3e rix</b><br>..<b>
9080: 41 54 4d 5f 5a 52 6f 6c 6c 20 28 20 42 4c 4f 42 ATM_ZRoll ( BLOB
9090: 20 41 54 2d 6d 61 74 72 69 78 20 2c 20 64 6f 75 AT-matrix , dou
90a0: 62 6c 65 20 61 6e 67 6c 65 49 6e 44 65 67 72 65 ble angleInDegre
90b0: 65 73 20 29 20 3a 20 42 4c 4f 42 20 41 54 2d 6d es ) : BLOB AT-m
90c0: 61 74 72 69 78 3c 2f 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 atrix</b></td><t
90d0: 64 3e 57 69 6c 6c 20 72 65 74 75 72 6e 20 61 6e d>Will return an
90e0: 20 41 66 66 69 6e 65 20 54 72 61 6e 73 66 6f 72 Affine Transfor
90f0: 6d 61 74 69 6f 6e 20 4d 61 74 72 69 78 20 62 79 mation Matrix by
9100: 20 63 68 61 69 6e 69 6e 67 20 61 20 52 6f 74 61 chaining a Rota
9110: 74 69 6f 6e 20 61 72 6f 75 6e 64 20 74 68 65 20 tion around the
9120: 5a 20 61 78 69 73 20 61 6e 64 20 61 6e 6f 74 68 Z axis and anoth
9130: 65 72 20 41 66 66 69 6e 65 20 54 72 61 6e 73 66 er Affine Transf
9140: 6f 72 6d 61 74 69 6f 6e 2e 3c 62 72 3e 0d 0a 4e ormation.<br>..N
9150: 55 4c 4c 20 69 66 20 61 6e 79 20 65 72 72 6f 72 ULL if any error
9160: 20 6f 63 63 75 72 73 20 6f 72 20 6f 6e 20 69 6e occurs or on in
9170: 76 61 6c 69 64 20 61 72 67 75 6d 65 6e 74 73 2e valid arguments.
9180: 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 3e </td></tr>..<tr>
9190: 3c 74 64 3e 3c 62 3e 41 54 4d 5f 58 52 6f 6c 6c <td><b>ATM_XRoll
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91b0: 78 20 2c 20 64 6f 75 62 6c 65 20 61 6e 67 6c 65 x , double angle
91c0: 49 6e 44 65 67 72 65 65 73 20 29 20 3a 20 42 4c InDegrees ) : BL
91d0: 4f 42 20 41 54 2d 6d 61 74 72 69 78 3c 2f 62 3e OB AT-matrix</b>
91e0: 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 3e 57 69 6c 6c 20 72 65 </td><td>Will re
91f0: 74 75 72 6e 20 61 6e 20 41 66 66 69 6e 65 20 54 turn an Affine T
9200: 72 61 6e 73 66 6f 72 6d 61 74 69 6f 6e 20 4d 61 ransformation Ma
9210: 74 72 69 78 20 62 79 20 63 68 61 69 6e 69 6e 67 trix by chaining
9220: 20 61 20 52 6f 74 61 74 69 6f 6e 20 61 72 6f 75 a Rotation arou
9230: 6e 64 20 74 68 65 20 58 20 61 78 69 73 20 61 6e nd the X axis an
9240: 64 20 61 6e 6f 74 68 65 72 20 41 66 66 69 6e 65 d another Affine
9250: 20 54 72 61 6e 73 66 6f 72 6d 61 74 69 6f 6e 2e Transformation.
9260: 3c 62 72 3e 0d 0a 4e 55 4c 4c 20 69 66 20 61 6e <br>..NULL if an
9270: 79 20 65 72 72 6f 72 20 6f 63 63 75 72 73 20 6f y error occurs o
9280: 72 20 6f 6e 20 69 6e 76 61 6c 69 64 20 61 72 67 r on invalid arg
9290: 75 6d 65 6e 74 73 2e 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 uments.</td></tr
92a0: 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 3e 3c 62 3e 41 54 >..<tr><td><b>AT
92b0: 4d 5f 59 52 6f 6c 6c 20 28 20 42 4c 4f 42 20 41 M_YRoll ( BLOB A
92c0: 54 2d 6d 61 74 72 69 78 20 2c 20 64 6f 75 62 6c T-matrix , doubl
92d0: 65 20 61 6e 67 6c 65 49 6e 44 65 67 72 65 65 73 e angleInDegrees
92e0: 20 29 20 3a 20 42 4c 4f 42 20 41 54 2d 6d 61 74 ) : BLOB AT-mat
92f0: 72 69 78 3c 2f 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 3e rix</b></td><td>
9300: 57 69 6c 6c 20 72 65 74 75 72 6e 20 61 6e 20 41 Will return an A
9310: 66 66 69 6e 65 20 54 72 61 6e 73 66 6f 72 6d 61 ffine Transforma
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