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4210: 3c 74 64 3e 7c 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d <td>|</td></tr>.
4220: 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 3e 5c 3c 2f 74 64 3e 3c .<tr><td>\</td><
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43a0: 73 79 3c 2f 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 sy</b></td><td a
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43d0: 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 3e 5c 3c 2f tr>..<tr><td>\</
43e0: 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 td><td align="ce
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4410: 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 </td><td align="
4420: 63 65 6e 74 65 72 22 3e 31 3c 2f 74 64 3e 3c 74 center">1</td><t
4430: 64 3e 2f 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c d>/</td></tr>..<
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44a0: 64 3e 0d 0a 3c 74 64 3e 2f 3c 2f 74 64 3e 3c 74 d>..<td>/</td><t
44b0: 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 d align="center"
44c0: 3e 3c 62 3e 63 6f 73 28 26 74 68 65 74 61 3b 29 ><b>cos(θ)
44d0: 3c 2f 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 </b></td><td ali
44e0: 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 3c 62 3e 2d gn="center"><b>-
44f0: 73 69 6e 28 26 74 68 65 74 61 3b 29 3c 2f 62 3e sin(θ)</b>
4500: 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 </td><td align="
4510: 63 65 6e 74 65 72 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 center">0</td><t
4520: 64 3e 5c 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c d>\</td></tr>..<
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4550: 3c 62 3e 73 69 6e 28 26 74 68 65 74 61 3b 29 3c <b>sin(θ)<
4560: 2f 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 /b></td><td alig
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4580: 73 28 26 74 68 65 74 61 3b 29 3c 2f 62 3e 3c 2f s(θ)</b></
4590: 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 td><td align="ce
45a0: 6e 74 65 72 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 3e nter">0</td><td>
45b0: 7c 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 |</td></tr>..<tr
45c0: 3e 3c 74 64 3e 5c 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 ><td>\</td><td a
45d0: 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 30 3c lign="center">0<
45e0: 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 /td><td align="c
45f0: 65 6e 74 65 72 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 enter">0</td><td
4600: 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e align="center">
4610: 31 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 3e 2f 3c 2f 74 64 3e 1</td><td>/</td>
4620: 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 3e 3c </tr>..<tr><td><
4630: 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 2f 74 61 62 /td></tr>..</tab
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4670: 72 65 73 20 61 20 3c 62 3e 34 20 78 20 34 3c 2f res a <b>4 x 4</
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4690: 41 73 20 79 6f 75 20 63 61 6e 20 65 61 73 69 6c As you can easil
46a0: 79 20 6e 6f 74 69 63 65 20 74 68 65 72 65 20 69 y notice there i
46b0: 73 20 61 6e 20 6f 62 76 69 6f 75 73 20 64 69 72 s an obvious dir
46c0: 65 63 74 20 72 65 6c 61 74 69 6f 6e 20 62 65 74 ect relation bet
46d0: 77 65 65 6e 20 61 20 33 44 20 6d 61 74 72 69 78 ween a 3D matrix
46e0: 20 61 6e 64 20 61 20 32 44 20 6d 61 74 72 69 78 and a 2D matrix
46f0: 3b 20 6e 6f 74 69 63 65 20 74 68 65 20 63 65 6c ; notice the cel
4700: 6c 73 20 73 68 6f 77 69 6e 67 20 61 20 67 72 61 ls showing a gra
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4780: 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 </td><td align="
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47a0: 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 </td><td align="
47b0: 63 65 6e 74 65 72 22 3e 3c 62 3e 62 3c 2f 62 3e center"><b>b</b>
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47d0: 63 65 6e 74 65 72 22 20 62 67 63 6f 6c 6f 72 3d center" bgcolor=
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47f0: 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e b></td><td align
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4810: 66 3c 2f 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 3e 5c 3c f</b></td><td>\<
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4870: 3c 2f 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 </b></td><td ali
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4e40: 3c 2f 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 3e 7c 3c 2f </b></td><td>|</
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4ee0: 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 3e 5c 3c 2f tr>..<tr><td>\</
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4f20: 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 </td><td align="
4f30: 63 65 6e 74 65 72 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 center">0</td><t
4f40: 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 d align="center"
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5110: 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 0</td><td align=
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51f0: 2f 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 /</td></tr>..<tr
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5220: 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 20 72 6f 77 73 70 61 6e .<tr><td rowspan
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5240: 64 6c 65 22 3e 58 20 52 6f 6c 6c 28 3c 62 3e 26 dle">X Roll(<b>&
5250: 74 68 65 74 61 3b 3c 2f 62 3e 29 3c 2f 74 64 3e theta;</b>)</td>
5260: 0d 0a 3c 74 64 3e 2f 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 ..<td>/</td><td
5270: 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 31 align="center">1
5280: 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 </td><td align="
5290: 63 65 6e 74 65 72 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 center">0</td><t
52a0: 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 d align="center"
52b0: 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e >0</td><td align
52c0: 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e ="center">0</td>
52d0: 3c 74 64 3e 5c 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d <td>\</td></tr>.
52e0: 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 3e 7c 3c 2f 74 64 3e 3c .<tr><td>|</td><
52f0: 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 td align="center
5300: 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 ">0</td><td alig
5310: 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 3c 62 3e 63 6f n="center"><b>co
5320: 73 28 26 74 68 65 74 61 3b 29 3c 2f 62 3e 3c 2f s(θ)</b></
5330: 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 td><td align="ce
5340: 6e 74 65 72 22 3e 3c 62 3e 2d 73 69 6e 28 26 74 nter"><b>-sin(&t
5350: 68 65 74 61 3b 29 3c 2f 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c heta;)</b></td><
5360: 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 td align="center
5370: 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 3e 7c 3c 2f 74 ">0</td><td>|</t
5380: 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 d></tr>..<tr><td
5390: 3e 7c 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e >|</td><td align
53a0: 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e ="center">0</td>
53b0: 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 <td align="cente
53c0: 72 22 3e 3c 62 3e 73 69 6e 28 26 74 68 65 74 61 r"><b>sin(&theta
53d0: 3b 29 3c 2f 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 ;)</b></td><td a
53e0: 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 3c 62 lign="center"><b
53f0: 3e 63 6f 73 28 26 74 68 65 74 61 3b 29 3c 2f 62 >cos(θ)</b
5400: 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d ></td><td align=
5410: 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c "center">0</td><
5420: 74 64 3e 7c 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a td>|</td></tr>..
5430: 3c 74 72 3e 3c 74 64 3e 5c 3c 2f 74 64 3e 3c 74 <tr><td>\</td><t
5440: 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 d align="center"
5450: 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e >0</td><td align
5460: 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e ="center">0</td>
5470: 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 <td align="cente
5480: 72 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 r">0</td><td ali
5490: 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 31 3c 2f 74 gn="center">1</t
54a0: 64 3e 3c 74 64 3e 2f 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 d><td>/</td></tr
54b0: 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 20 63 6f 6c 73 70 >..<tr><td colsp
54c0: 61 6e 3d 22 35 22 3e 3c 68 72 3e 3c 2f 74 64 3e an="5"><hr></td>
54d0: 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 20 72 </tr>..<tr><td r
54e0: 6f 77 73 70 61 6e 3d 22 35 22 20 76 61 6c 69 67 owspan="5" valig
54f0: 6e 3d 22 6d 69 64 64 6c 65 22 3e 59 20 52 6f 6c n="middle">Y Rol
5500: 6c 28 3c 62 3e 26 74 68 65 74 61 3b 3c 2f 62 3e l(<b>θ</b>
5510: 29 3c 2f 74 64 3e 0d 0a 3c 74 64 3e 2f 3c 2f 74 )</td>..<td>/</t
5520: 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e d><td align="cen
5530: 74 65 72 22 3e 3c 62 3e 63 6f 73 28 26 74 68 65 ter"><b>cos(&the
5540: 74 61 3b 29 3c 2f 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 ta;)</b></td><td
5550: 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e align="center">
5560: 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 0</td><td align=
5570: 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 3c 62 3e 73 69 6e 28 "center"><b>sin(
5580: 26 74 68 65 74 61 3b 29 3c 2f 62 3e 3c 2f 74 64 θ)</b></td
5590: 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 ><td align="cent
55a0: 65 72 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 3e 5c 3c er">0</td><td>\<
55b0: 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c /td></tr>..<tr><
55c0: 74 64 3e 7c 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 td>|</td><td ali
55d0: 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 30 3c 2f 74 gn="center">0</t
55e0: 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e d><td align="cen
55f0: 74 65 72 22 3e 31 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 ter">1</td><td a
5600: 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 30 3c lign="center">0<
5610: 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 /td><td align="c
5620: 65 6e 74 65 72 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 enter">0</td><td
5630: 3e 7c 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 >|</td></tr>..<t
5640: 72 3e 3c 74 64 3e 7c 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 r><td>|</td><td
5650: 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 3c align="center"><
5660: 62 3e 2d 73 69 6e 28 26 74 68 65 74 61 3b 29 3c b>-sin(θ)<
5670: 2f 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 /b></td><td alig
5680: 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 30 3c 2f 74 64 n="center">0</td
5690: 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 ><td align="cent
56a0: 65 72 22 3e 3c 62 3e 63 6f 73 28 26 74 68 65 74 er"><b>cos(&thet
56b0: 61 3b 29 3c 2f 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 a;)</b></td><td
56c0: 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 30 align="center">0
56d0: 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 3e 7c 3c 2f 74 64 3e 3c </td><td>|</td><
56e0: 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 3e 5c 3c /tr>..<tr><td>\<
56f0: 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 /td><td align="c
5700: 65 6e 74 65 72 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 enter">0</td><td
5710: 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e align="center">
5720: 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 0</td><td align=
5730: 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c "center">0</td><
5740: 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 td align="center
5750: 22 3e 31 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 3e 2f 3c 2f 74 ">1</td><td>/</t
5760: 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 d></tr>..<tr><td
5770: 20 63 6f 6c 73 70 61 6e 3d 22 35 22 3e 3c 68 72 colspan="5"><hr
5780: 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 ></td></tr>..<tr
5790: 3e 3c 74 64 20 72 6f 77 73 70 61 6e 3d 22 35 22 ><td rowspan="5"
57a0: 20 76 61 6c 69 67 6e 3d 22 6d 69 64 64 6c 65 22 valign="middle"
57b0: 3e 5a 20 52 6f 6c 6c 28 3c 62 3e 26 74 68 65 74 >Z Roll(<b>&thet
57c0: 61 3b 3c 2f 62 3e 29 3c 2f 74 64 3e 0d 0a 3c 74 a;</b>)</td>..<t
57d0: 64 3e 2f 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 d>/</td><td alig
57e0: 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 3c 62 3e 63 6f n="center"><b>co
57f0: 73 28 26 74 68 65 74 61 3b 29 3c 2f 62 3e 3c 2f s(θ)</b></
5800: 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 td><td align="ce
5810: 6e 74 65 72 22 3e 3c 62 3e 2d 73 69 6e 28 26 74 nter"><b>-sin(&t
5820: 68 65 74 61 3b 29 3c 2f 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c heta;)</b></td><
5830: 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 td align="center
5840: 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 ">0</td><td alig
5850: 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 30 3c 2f 74 64 n="center">0</td
5860: 3e 3c 74 64 3e 5c 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e ><td>\</td></tr>
5870: 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 3e 7c 3c 2f 74 64 3e ..<tr><td>|</td>
5880: 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 <td align="cente
5890: 72 22 3e 3c 62 3e 73 69 6e 28 26 74 68 65 74 61 r"><b>sin(&theta
58a0: 3b 29 3c 2f 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 ;)</b></td><td a
58b0: 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 3c 62 lign="center"><b
58c0: 3e 63 6f 73 28 26 74 68 65 74 61 3b 29 3c 2f 62 >cos(θ)</b
58d0: 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d ></td><td align=
58e0: 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c "center">0</td><
58f0: 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 td align="center
5900: 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 3e 7c 3c 2f 74 ">0</td><td>|</t
5910: 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 d></tr>..<tr><td
5920: 3e 7c 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e >|</td><td align
5930: 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e ="center">0</td>
5940: 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 <td align="cente
5950: 72 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 r">0</td><td ali
5960: 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 31 3c 2f 74 gn="center">1</t
5970: 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e d><td align="cen
5980: 74 65 72 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 3e 7c ter">0</td><td>|
5990: 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 3e </td></tr>..<tr>
59a0: 3c 74 64 3e 5c 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c <td>\</td><td al
59b0: 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 30 3c 2f ign="center">0</
59c0: 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 td><td align="ce
59d0: 6e 74 65 72 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 nter">0</td><td
59e0: 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 30 align="center">0
59f0: 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 </td><td align="
5a00: 63 65 6e 74 65 72 22 3e 31 3c 2f 74 64 3e 3c 74 center">1</td><t
5a10: 64 3e 2f 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c d>/</td></tr>..<
5a20: 74 72 3e 3c 74 64 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 tr><td></td></tr
5a30: 3e 0d 0a 3c 2f 74 61 62 6c 65 3e 0d 0a 3c 62 72 >..</table>..<br
5a40: 3e 3c 68 72 3e 0d 0a 3c 68 33 3e 61 70 70 6c 79 ><hr>..<h3>apply
5a50: 69 6e 67 20 61 6e 20 41 66 66 69 6e 65 20 54 72 ing an Affine Tr
5a60: 61 6e 73 66 6f 72 6d 61 74 69 6f 6e 3c 2f 68 33 ansformation</h3
5a70: 3e 0d 0a 49 6e 20 6f 72 64 65 72 20 74 6f 20 6d >..In order to m
5a80: 61 74 65 72 69 61 6c 69 7a 65 20 61 6e 20 61 66 aterialize an af
5a90: 66 69 6e 65 20 74 72 61 6e 73 66 6f 72 6d 61 74 fine transformat
5aa0: 69 6f 6e 20 77 65 20 73 69 6d 70 6c 79 20 68 61 ion we simply ha
5ab0: 76 65 20 74 6f 20 63 6f 6d 70 75 74 65 20 20 3c ve to compute <
5ac0: 62 3e 28 78 27 2c 20 79 27 2c 20 7a 27 29 3c 2f b>(x', y', z')</
5ad0: 62 3e 20 63 6f 6f 72 64 69 6e 61 74 65 73 20 73 b> coordinates s
5ae0: 74 61 72 74 69 6e 67 20 66 72 6f 6d 20 3c 62 3e tarting from <b>
5af0: 28 78 2c 20 79 2c 20 7a 29 3c 2f 62 3e 20 66 6f (x, y, z)</b> fo
5b00: 72 20 65 76 65 72 79 20 70 6f 69 6e 74 20 6f 72 r every point or
5b10: 20 76 65 72 74 65 78 20 66 6f 75 6e 64 20 69 6e vertex found in
5b20: 20 74 68 65 20 69 6e 70 75 74 20 47 65 6f 6d 65 the input Geome
5b30: 74 72 79 20 61 63 63 6f 72 64 69 6e 67 6c 79 20 try accordingly
5b40: 74 6f 20 74 68 65 20 66 6f 6c 6c 6f 77 69 6e 67 to the following
5b50: 20 66 6f 72 6d 75 6c 61 65 3a 0d 0a 3c 75 6c 3e formulae:..<ul>
5b60: 0d 0a 3c 6c 69 3e 3c 62 3e 78 27 20 3d 20 61 2a ..<li><b>x' = a*
5b70: 78 20 2b 20 62 2a 79 20 2b 20 63 2a 7a 20 2b 20 x + b*y + c*z +
5b80: 78 6f 66 66 3c 2f 62 3e 3c 2f 6c 69 3e 0d 0a 3c xoff</b></li>..<
5b90: 6c 69 3e 3c 62 3e 79 27 20 3d 20 64 2a 78 20 2b li><b>y' = d*x +
5ba0: 20 65 2a 79 20 2b 20 66 2a 7a 20 2b 20 79 6f 66 e*y + f*z + yof
5bb0: 66 3c 2f 62 3e 3c 2f 6c 69 3e 0d 0a 3c 6c 69 3e f</b></li>..<li>
5bc0: 3c 62 3e 7a 27 20 3d 20 67 2a 78 20 2b 20 68 2a <b>z' = g*x + h*
5bd0: 79 20 2b 20 69 2a 7a 20 2b 20 7a 6f 66 66 3c 2f y + i*z + zoff</
5be0: 62 3e 3c 2f 6c 69 3e 0d 0a 3c 2f 75 6c 3e 3c 62 b></li>..</ul><b
5bf0: 72 3e 0d 0a 69 6e 20 74 68 65 20 73 69 6d 70 6c r>..in the simpl
5c00: 65 72 20 3c 62 3e 32 44 3c 2f 62 3e 20 63 61 73 er <b>2D</b> cas
5c10: 65 20 74 68 69 73 20 77 69 6c 6c 20 61 73 73 75 e this will assu
5c20: 6d 65 20 74 68 65 20 72 65 64 75 63 65 64 20 66 me the reduced f
5c30: 6f 72 6d 3a 0d 0a 3c 75 6c 3e 0d 0a 3c 6c 69 3e orm:..<ul>..<li>
5c40: 3c 62 3e 78 27 20 3d 20 61 2a 78 20 2b 20 62 2a <b>x' = a*x + b*
5c50: 79 20 2b 20 78 6f 66 66 3c 2f 62 3e 3c 2f 6c 69 y + xoff</b></li
5c60: 3e 0d 0a 3c 6c 69 3e 3c 62 3e 79 27 20 3d 20 64 >..<li><b>y' = d
5c70: 2a 78 20 2b 20 65 2a 79 20 2b 20 79 6f 66 66 3c *x + e*y + yoff<
5c80: 2f 62 3e 3c 2f 6c 69 3e 0d 0a 3c 2f 75 6c 3e 3c /b></li>..</ul><
5c90: 62 72 3e 0d 0a 41 73 20 79 6f 75 20 63 61 6e 20 br>..As you can
5ca0: 6e 6f 74 69 63 65 2c 20 61 70 70 6c 79 69 6e 67 notice, applying
5cb0: 20 61 6e 20 41 66 66 69 6e 65 20 54 72 61 6e 73 an Affine Trans
5cc0: 66 6f 72 6d 61 74 69 6f 6e 20 64 6f 65 73 20 6e formation does n
5cd0: 6f 74 20 72 65 71 75 69 72 65 73 20 63 6f 6d 70 ot requires comp
5ce0: 75 74 69 6e 67 20 61 6e 79 20 74 72 69 67 6f 6e uting any trigon
5cf0: 6f 6d 65 74 72 69 63 20 66 75 6e 63 74 69 6f 6e ometric function
5d00: 2e 3c 62 72 3e 0d 0a 54 72 69 67 6f 6e 6f 6d 65 .<br>..Trigonome
5d10: 74 72 69 63 20 66 75 6e 63 74 69 6f 6e 73 20 61 tric functions a
5d20: 72 65 20 76 65 72 79 20 63 6f 73 74 6c 79 20 69 re very costly i
5d30: 6e 20 63 6f 6d 70 75 74 61 74 69 6f 6e 61 6c 20 n computational
5d40: 74 65 72 6d 73 2c 20 73 6f 20 61 70 70 6c 79 69 terms, so applyi
5d50: 6e 67 20 61 6e 20 41 66 66 69 6e 65 20 54 72 61 ng an Affine Tra
5d60: 6e 73 66 6f 72 6d 61 74 69 6f 6e 20 69 73 20 61 nsformation is a
5d70: 6e 20 69 6e 74 72 69 6e 73 69 63 61 6c 6c 79 20 n intrinsically
5d80: 65 66 66 69 63 69 65 6e 74 20 6d 65 63 68 61 6e efficient mechan
5d90: 69 73 6d 20 62 65 63 61 75 73 65 20 73 69 6d 70 ism because simp
5da0: 6c 79 20 64 65 70 65 6e 64 73 20 6f 6e 20 6d 75 ly depends on mu
5db0: 6c 74 69 70 6c 69 63 61 74 69 6f 6e 73 20 61 6e ltiplications an
5dc0: 64 20 61 64 64 69 74 69 6f 6e 73 2e 3c 62 72 3e d additions.<br>
5dd0: 0d 0a 3c 62 72 3e 3c 68 72 3e 0d 0a 3c 68 33 3e ..<br><hr>..<h3>
5de0: 63 68 61 69 6e 69 6e 67 20 74 77 6f 20 28 6f 72 chaining two (or
5df0: 20 65 76 65 6e 20 6d 6f 72 65 29 20 41 66 66 69 even more) Affi
5e00: 6e 65 20 54 72 61 6e 73 66 6f 72 6d 61 74 69 6f ne Transformatio
5e10: 6e 73 20 69 6e 20 61 20 73 69 6e 67 6c 65 20 6f ns in a single o
5e20: 70 65 72 61 74 69 6f 6e 3c 2f 68 33 3e 0d 0a 41 peration</h3>..A
5e30: 66 66 69 6e 65 20 74 72 61 6e 73 66 6f 72 6d 61 ffine transforma
5e40: 74 69 6f 6e 20 6d 61 74 72 69 63 65 73 20 68 61 tion matrices ha
5e50: 76 65 20 61 6e 6f 74 68 65 72 20 61 73 74 6f 6e ve another aston
5e60: 69 73 68 69 6e 67 20 70 72 6f 70 65 72 74 79 2e ishing property.
5e70: 3c 62 72 3e 0d 0a 57 65 20 63 61 6e 20 3c 61 20 <br>..We can <a
5e80: 68 72 65 66 3d 22 68 74 74 70 3a 2f 2f 65 6e 2e href="http://en.
5e90: 77 69 6b 69 70 65 64 69 61 2e 6f 72 67 2f 77 69 wikipedia.org/wi
5ea0: 6b 69 2f 4d 61 74 72 69 78 5f 6d 75 6c 74 69 70 ki/Matrix_multip
5eb0: 6c 69 63 61 74 69 6f 6e 22 3e 6d 75 6c 74 69 70 lication">multip
5ec0: 6c 79 3c 2f 61 3e 20 74 77 6f 20 64 69 66 66 65 ly</a> two diffe
5ed0: 72 65 6e 74 20 61 66 66 69 6e 65 20 74 72 61 6e rent affine tran
5ee0: 73 66 6f 72 6d 61 74 69 6f 6e 20 6d 61 74 72 69 sformation matri
5ef0: 63 65 73 20 74 68 75 73 20 6f 62 74 61 69 6e 69 ces thus obtaini
5f00: 6e 67 20 61 20 74 68 69 72 64 20 6d 61 74 72 69 ng a third matri
5f10: 78 2c 20 61 6e 64 20 74 68 69 73 20 6c 61 74 65 x, and this late
5f20: 73 74 20 6f 6e 63 65 20 61 70 70 6c 69 65 64 20 st once applied
5f30: 77 69 6c 6c 20 63 6f 6e 74 61 69 6e 20 62 6f 74 will contain bot
5f40: 68 20 74 72 61 6e 73 66 6f 72 6d 61 74 69 6f 6e h transformation
5f50: 73 20 61 6e 64 20 69 6e 20 74 68 65 20 72 69 67 s and in the rig
5f60: 68 74 20 73 65 71 75 65 6e 63 65 2e 3c 62 72 3e ht sequence.<br>
5f70: 0d 0a 54 68 65 72 65 20 69 73 20 6e 6f 20 6c 69 ..There is no li
5f80: 6d 69 74 3b 20 77 65 20 63 61 6e 20 69 6e 66 69 mit; we can infi
5f90: 6e 69 74 69 76 65 6c 79 20 63 68 61 69 6e 20 61 nitively chain a
5fa0: 73 20 6d 61 6e 79 20 74 72 61 6e 73 66 6f 72 6d s many transform
5fb0: 61 74 69 6f 6e 73 20 61 73 20 72 65 71 75 69 72 ations as requir
5fc0: 65 64 2c 20 77 65 27 6c 6c 20 73 69 6d 70 6c 79 ed, we'll simply
5fd0: 20 68 61 76 65 20 74 6f 20 63 6f 6e 74 69 6e 75 have to continu
5fe0: 65 20 6d 75 6c 74 69 70 6c 79 69 6e 67 20 61 6c e multiplying al
5ff0: 6c 20 6d 61 74 72 69 63 65 73 20 6f 6e 65 20 61 l matrices one a
6000: 66 74 65 72 20 74 68 65 20 6f 74 68 65 72 20 63 fter the other c
6010: 61 72 65 66 75 6c 6c 79 20 72 65 73 70 65 63 74 arefully respect
6020: 69 6e 67 20 74 68 65 20 61 70 70 72 6f 70 72 69 ing the appropri
6030: 61 74 65 20 73 65 71 75 65 6e 63 65 2e 3c 62 72 ate sequence.<br
6040: 3e 0d 0a 41 74 20 74 68 65 20 65 6e 64 20 6f 66 >..At the end of
6050: 20 74 68 65 20 70 72 6f 63 65 73 73 20 77 65 27 the process we'
6060: 6c 6c 20 61 6c 77 61 79 73 20 67 65 74 20 6a 75 ll always get ju
6070: 73 74 20 61 20 73 69 6e 67 6c 65 20 61 66 66 69 st a single affi
6080: 6e 65 20 74 72 61 6e 73 66 6f 72 6d 61 74 69 6f ne transformatio
6090: 6e 20 6d 61 74 72 69 78 20 66 61 69 74 68 66 75 n matrix faithfu
60a0: 6c 6c 79 20 72 65 70 72 65 73 65 6e 74 69 6e 67 lly representing
60b0: 20 61 6e 79 20 69 6e 64 69 76 69 64 75 61 6c 20 any individual
60c0: 74 72 61 6e 73 66 6f 72 6d 61 74 69 6f 6e 20 69 transformation i
60d0: 6e 20 74 68 65 20 63 68 61 69 6e 2e 0d 0a 3c 74 n the chain...<t
60e0: 61 62 6c 65 20 62 67 63 6f 6c 6f 72 3d 22 23 66 able bgcolor="#f
60f0: 66 63 30 30 30 22 20 63 65 6c 6c 70 61 64 64 69 fc000" cellpaddi
6100: 6e 67 3d 22 31 30 22 3e 3c 74 72 3e 3c 74 64 3e ng="10"><tr><td>
6110: 0d 0a 54 68 65 20 6d 75 6c 74 69 70 6c 69 63 61 ..The multiplica
6120: 74 69 6f 6e 20 62 65 74 77 65 65 6e 20 74 77 6f tion between two
6130: 20 6d 61 74 72 69 63 65 73 20 3c 75 3e 69 73 20 matrices <u>is
6140: 6e 6f 74 20 61 20 63 6f 6d 6d 75 74 61 74 69 76 not a commutativ
6150: 65 20 6f 70 65 72 61 74 69 6f 6e 3c 2f 75 3e 3a e operation</u>:
6160: 20 74 68 65 20 72 65 6c 61 74 69 76 65 20 6f 72 the relative or
6170: 64 65 72 20 6f 66 20 6f 70 65 72 61 6e 64 73 20 der of operands
6180: 69 73 20 61 62 73 6f 6c 75 74 65 6c 79 20 72 65 is absolutely re
6190: 6c 65 76 61 6e 74 2e 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 levant.</td></tr
61a0: 3e 3c 2f 74 61 62 6c 65 3e 0d 0a 3c 68 33 3e 6d ></table>..<h3>m
61b0: 75 6c 74 69 70 6c 79 69 6e 67 20 74 77 6f 20 6d ultiplying two m
61c0: 61 74 72 69 63 65 73 3c 2f 68 33 3e 0d 0a 4d 75 atrices</h3>..Mu
61d0: 6c 74 69 70 6c 69 63 61 74 69 6f 6e 20 69 73 20 ltiplication is
61e0: 6e 6f 74 20 72 65 61 6c 6c 79 20 61 20 73 69 6d not really a sim
61f0: 70 6c 65 20 6f 70 65 72 61 74 69 6f 6e 20 77 68 ple operation wh
6200: 65 6e 20 6d 61 74 72 69 63 65 73 20 61 72 65 20 en matrices are
6210: 69 6e 76 6f 6c 76 65 64 20 61 6e 64 20 72 65 71 involved and req
6220: 75 69 72 65 73 20 61 20 72 61 74 68 65 72 20 63 uires a rather c
6230: 6f 6d 70 6c 65 78 20 70 72 6f 63 65 64 75 72 65 omplex procedure
6240: 3b 20 74 68 65 20 66 6f 6c 6c 6f 77 69 6e 67 20 ; the following
6250: 65 78 61 6d 70 6c 65 20 73 68 6f 77 73 20 68 6f example shows ho
6260: 77 20 74 6f 20 6d 75 6c 74 69 70 6c 79 20 74 77 w to multiply tw
6270: 6f 20 3c 62 3e 34 20 78 20 34 3c 2f 62 3e 20 6d o <b>4 x 4</b> m
6280: 61 74 72 69 63 65 73 2e 3c 62 72 3e 0d 0a 3c 74 atrices.<br>..<t
6290: 61 62 6c 65 20 63 65 6c 6c 73 70 61 63 69 6e 67 able cellspacing
62a0: 3d 22 34 22 20 63 65 6c 6c 70 61 64 64 69 6e 67 ="4" cellpadding
62b0: 3d 22 34 22 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 3e 0d ="4">..<tr><td>.
62c0: 0a 3c 74 61 62 6c 65 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 .<table>..<tr><t
62d0: 64 3e 2f 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 d>/</td><td alig
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62f0: 3e 31 31 3c 2f 73 75 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 >11</sub></td><t
6300: 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 d align="center"
6310: 3e 61 3c 73 75 62 3e 31 32 3c 2f 73 75 62 3e 3c >a<sub>12</sub><
6320: 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 /td><td align="c
6330: 65 6e 74 65 72 22 3e 61 3c 73 75 62 3e 31 33 3c enter">a<sub>13<
6340: 2f 73 75 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c /sub></td><td al
6350: 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 61 3c 73 ign="center">a<s
6360: 75 62 3e 31 34 3c 2f 73 75 62 3e 3c 2f 74 64 3e ub>14</sub></td>
6370: 3c 74 64 3e 5c 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d <td>\</td></tr>.
6380: 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 3e 7c 3c 2f 74 64 3e 3c .<tr><td>|</td><
6390: 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 td align="center
63a0: 22 3e 61 3c 73 75 62 3e 32 31 3c 2f 73 75 62 3e ">a<sub>21</sub>
63b0: 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 </td><td align="
63c0: 63 65 6e 74 65 72 22 3e 61 3c 73 75 62 3e 32 32 center">a<sub>22
63d0: 3c 2f 73 75 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 </sub></td><td a
63e0: 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 61 3c lign="center">a<
63f0: 73 75 62 3e 32 33 3c 2f 73 75 62 3e 3c 2f 74 64 sub>23</sub></td
6400: 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 ><td align="cent
6410: 65 72 22 3e 61 3c 73 75 62 3e 32 34 3c 2f 73 75 er">a<sub>24</su
6420: 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 3e 7c 3c 2f 74 64 b></td><td>|</td
6430: 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 3e ></tr>..<tr><td>
6440: 7c 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d |</td><td align=
6450: 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 61 3c 73 75 62 3e 33 "center">a<sub>3
6460: 31 3c 2f 73 75 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 1</sub></td><td
6470: 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 61 align="center">a
6480: 3c 73 75 62 3e 33 32 3c 2f 73 75 62 3e 3c 2f 74 <sub>32</sub></t
6490: 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e d><td align="cen
64a0: 74 65 72 22 3e 61 3c 73 75 62 3e 33 33 3c 2f 73 ter">a<sub>33</s
64b0: 75 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 ub></td><td alig
64c0: 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 61 3c 73 75 62 n="center">a<sub
64d0: 3e 33 34 3c 2f 73 75 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 >34</sub></td><t
64e0: 64 3e 7c 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c d>|</td></tr>..<
64f0: 74 72 3e 3c 74 64 3e 5c 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 tr><td>\</td><td
6500: 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e align="center">
6510: 61 3c 73 75 62 3e 34 31 3c 2f 73 75 62 3e 3c 2f a<sub>41</sub></
6520: 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 td><td align="ce
6530: 6e 74 65 72 22 3e 61 3c 73 75 62 3e 34 32 3c 2f nter">a<sub>42</
6540: 73 75 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 sub></td><td ali
6550: 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 61 3c 73 75 gn="center">a<su
6560: 62 3e 34 33 3c 2f 73 75 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c b>43</sub></td><
6570: 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 td align="center
6580: 22 3e 61 3c 73 75 62 3e 34 34 3c 2f 73 75 62 3e ">a<sub>44</sub>
6590: 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 3e 2f 3c 2f 74 64 3e 3c </td><td>/</td><
65a0: 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 2f 74 61 62 6c 65 3e 0d 0a /tr>..</table>..
65b0: 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 76 61 6c 69 67 6e 3d </td><td valign=
65c0: 22 6d 69 64 64 6c 65 22 3e 2a 3c 2f 74 64 3e 0d "middle">*</td>.
65d0: 0a 3c 74 64 3e 0d 0a 3c 74 61 62 6c 65 3e 0d 0a .<td>..<table>..
65e0: 3c 74 72 3e 3c 74 64 3e 2f 3c 2f 74 64 3e 3c 74 <tr><td>/</td><t
65f0: 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 d align="center"
6600: 3e 62 3c 73 75 62 3e 31 31 3c 2f 73 75 62 3e 3c >b<sub>11</sub><
6610: 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 /td><td align="c
6620: 65 6e 74 65 72 22 3e 62 3c 73 75 62 3e 31 32 3c enter">b<sub>12<
6630: 2f 73 75 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c /sub></td><td al
6640: 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 62 3c 73 ign="center">b<s
6650: 75 62 3e 31 33 3c 2f 73 75 62 3e 3c 2f 74 64 3e ub>13</sub></td>
6660: 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 <td align="cente
6670: 72 22 3e 62 3c 73 75 62 3e 31 34 3c 2f 73 75 62 r">b<sub>14</sub
6680: 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 3e 5c 3c 2f 74 64 3e ></td><td>\</td>
6690: 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 3e 7c </tr>..<tr><td>|
66a0: 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 </td><td align="
66b0: 63 65 6e 74 65 72 22 3e 62 3c 73 75 62 3e 32 31 center">b<sub>21
66c0: 3c 2f 73 75 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 </sub></td><td a
66d0: 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 62 3c lign="center">b<
66e0: 73 75 62 3e 32 32 3c 2f 73 75 62 3e 3c 2f 74 64 sub>22</sub></td
66f0: 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 ><td align="cent
6700: 65 72 22 3e 62 3c 73 75 62 3e 32 33 3c 2f 73 75 er">b<sub>23</su
6710: 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e b></td><td align
6720: 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 62 3c 73 75 62 3e ="center">b<sub>
6730: 32 34 3c 2f 73 75 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 24</sub></td><td
6740: 3e 7c 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 >|</td></tr>..<t
6750: 72 3e 3c 74 64 3e 7c 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 r><td>|</td><td
6760: 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 62 align="center">b
6770: 3c 73 75 62 3e 33 31 3c 2f 73 75 62 3e 3c 2f 74 <sub>31</sub></t
6780: 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e d><td align="cen
6790: 74 65 72 22 3e 62 3c 73 75 62 3e 33 32 3c 2f 73 ter">b<sub>32</s
67a0: 75 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 ub></td><td alig
67b0: 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 62 3c 73 75 62 n="center">b<sub
67c0: 3e 33 33 3c 2f 73 75 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 >33</sub></td><t
67d0: 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 d align="center"
67e0: 3e 62 3c 73 75 62 3e 33 34 3c 2f 73 75 62 3e 3c >b<sub>34</sub><
67f0: 2f 74 64 3e 3c 74 64 3e 7c 3c 2f 74 64 3e 3c 2f /td><td>|</td></
6800: 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 3e 5c 3c 2f tr>..<tr><td>\</
6810: 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 td><td align="ce
6820: 6e 74 65 72 22 3e 62 3c 73 75 62 3e 34 31 3c 2f nter">b<sub>41</
6830: 73 75 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 sub></td><td ali
6840: 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 62 3c 73 75 gn="center">b<su
6850: 62 3e 34 32 3c 2f 73 75 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c b>42</sub></td><
6860: 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 td align="center
6870: 22 3e 62 3c 73 75 62 3e 34 33 3c 2f 73 75 62 3e ">b<sub>43</sub>
6880: 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 </td><td align="
6890: 63 65 6e 74 65 72 22 3e 62 3c 73 75 62 3e 34 34 center">b<sub>44
68a0: 3c 2f 73 75 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 3e 2f </sub></td><td>/
68b0: 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 2f 74 61 </td></tr>..</ta
68c0: 62 6c 65 3e 0d 0a 3c 2f 74 64 3e 0d 0a 3c 2f 74 ble>..</td>..</t
68d0: 64 3e 3c 74 64 20 76 61 6c 69 67 6e 3d 22 6d 69 d><td valign="mi
68e0: 64 64 6c 65 22 3e 3d 3c 2f 74 64 3e 0d 0a 3c 74 ddle">=</td>..<t
68f0: 64 3e 0d 0a 3c 74 61 62 6c 65 3e 0d 0a 3c 74 72 d>..<table>..<tr
6900: 3e 3c 74 64 3e 2f 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 ><td>/</td><td a
6910: 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 0d 0a lign="center">..
6920: 28 61 3c 73 75 62 3e 31 31 3c 2f 73 75 62 3e 2a (a<sub>11</sub>*
6930: 62 3c 73 75 62 3e 31 31 3c 2f 73 75 62 3e 20 2b b<sub>11</sub> +
6940: 20 0d 0a 61 3c 73 75 62 3e 31 32 3c 2f 73 75 62 ..a<sub>12</sub
6950: 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e 32 31 3c 2f 73 75 62 3e >*b<sub>21</sub>
6960: 20 2b 20 0d 0a 61 3c 73 75 62 3e 31 33 3c 2f 73 + ..a<sub>13</s
6970: 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e 33 31 3c 2f 73 75 ub>*b<sub>31</su
6980: 62 3e 20 2b 20 0d 0a 61 3c 73 75 62 3e 31 34 3c b> + ..a<sub>14<
6990: 2f 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e 34 31 3c 2f /sub>*b<sub>41</
69a0: 73 75 62 3e 29 3c 2f 74 64 3e 0d 0a 3c 74 64 3e sub>)</td>..<td>
69b0: 28 61 3c 73 75 62 3e 31 31 3c 2f 73 75 62 3e 2a (a<sub>11</sub>*
69c0: 62 3c 73 75 62 3e 31 32 3c 2f 73 75 62 3e 20 2b b<sub>12</sub> +
69d0: 20 0d 0a 61 3c 73 75 62 3e 31 32 3c 2f 73 75 62 ..a<sub>12</sub
69e0: 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e 32 32 3c 2f 73 75 62 3e >*b<sub>22</sub>
69f0: 20 2b 20 0d 0a 61 3c 73 75 62 3e 31 33 3c 2f 73 + ..a<sub>13</s
6a00: 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e 33 32 3c 2f 73 75 ub>*b<sub>32</su
6a10: 62 3e 20 2b 0d 0a 61 3c 73 75 62 3e 31 34 3c 2f b> +..a<sub>14</
6a20: 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e 34 32 3c 2f 73 sub>*b<sub>42</s
6a30: 75 62 3e 29 3c 2f 74 64 3e 0d 0a 3c 74 64 3e 28 ub>)</td>..<td>(
6a40: 61 3c 73 75 62 3e 31 31 3c 2f 73 75 62 3e 2a 62 a<sub>11</sub>*b
6a50: 3c 73 75 62 3e 31 33 3c 2f 73 75 62 3e 20 2b 20 <sub>13</sub> +
6a60: 0d 0a 61 3c 73 75 62 3e 31 32 3c 2f 73 75 62 3e ..a<sub>12</sub>
6a70: 2a 62 3c 73 75 62 3e 32 33 3c 2f 73 75 62 3e 20 *b<sub>23</sub>
6a80: 2b 20 0d 0a 61 3c 73 75 62 3e 31 33 3c 2f 73 75 + ..a<sub>13</su
6a90: 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e 33 33 3c 2f 73 75 62 b>*b<sub>33</sub
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6dc0: 64 3e 3c 74 64 3e 7c 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 d><td>|</td></tr
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6f10: 0a 3c 74 64 3e 28 61 3c 73 75 62 3e 33 31 3c 2f .<td>(a<sub>31</
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6f50: 2f 73 75 62 3e 20 2b 20 0d 0a 61 3c 73 75 62 3e /sub> + ..a<sub>
6f60: 33 33 3c 2f 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e 33 33</sub>*b<sub>3
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6f80: 3e 33 34 3c 2f 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e >34</sub>*b<sub>
6f90: 34 33 3c 2f 73 75 62 3e 29 3c 2f 74 64 3e 0d 0a 43</sub>)</td>..
6fa0: 3c 74 64 3e 28 61 3c 73 75 62 3e 33 31 3c 2f 73 <td>(a<sub>31</s
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6fd0: 2f 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e 32 34 3c 2f /sub>*b<sub>24</
6fe0: 73 75 62 3e 20 2b 20 0d 0a 61 3c 73 75 62 3e 33 sub> + ..a<sub>3
6ff0: 33 3c 2f 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e 33 34 3</sub>*b<sub>34
7000: 3c 2f 73 75 62 3e 20 2b 0d 0a 61 3c 73 75 62 3e </sub> +..a<sub>
7010: 33 34 3c 2f 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e 34 34</sub>*b<sub>4
7020: 34 3c 2f 73 75 62 3e 29 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 4</sub>)</td><td
7030: 3e 7c 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 >|</td></tr>..<t
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70d0: 3c 2f 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e 34 31 3c </sub>*b<sub>41<
70e0: 2f 73 75 62 3e 29 3c 2f 74 64 3e 0d 0a 3c 74 64 /sub>)</td>..<td
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7280: 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e 34 34 3c 2f 73 75 ub>*b<sub>44</su
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72e0: 0a 41 6e 20 69 64 65 6e 74 69 74 79 20 6d 61 74 .An identity mat
72f0: 72 69 78 20 73 69 6d 70 6c 79 20 63 6f 72 72 65 rix simply corre
7300: 73 70 6f 6e 64 73 20 74 6f 20 61 6e 20 61 66 66 sponds to an aff
7310: 69 6e 65 20 74 72 61 6e 73 66 6f 72 6d 61 74 69 ine transformati
7320: 6f 6e 20 6c 61 63 6b 69 6e 67 20 61 6e 79 20 61 on lacking any a
7330: 63 74 75 61 6c 20 65 66 66 65 63 74 3a 20 61 74 ctual effect: at
7340: 20 74 68 65 20 65 6e 64 20 6f 66 20 74 68 65 20 the end of the
7350: 70 72 6f 63 65 73 73 20 74 68 65 20 74 72 61 6e process the tran
7360: 73 66 6f 72 6d 65 64 20 67 65 6f 6d 65 74 72 79 sformed geometry
7370: 20 77 69 6c 6c 20 62 65 20 65 78 61 63 74 6c 79 will be exactly
7380: 20 74 68 65 20 73 61 6d 65 20 61 73 20 62 65 66 the same as bef
7390: 6f 72 65 2e 3c 62 72 3e 0d 0a 4d 6f 72 65 6f 76 ore.<br>..Moreov
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73b0: 61 74 72 69 78 20 70 6c 61 79 73 20 61 20 73 70 atrix plays a sp
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73d0: 6c 74 69 70 6c 69 63 61 74 69 6f 6e 3a 20 74 68 ltiplication: th
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73f0: 69 78 20 77 69 6c 6c 20 61 6c 77 61 79 73 20 62 ix will always b
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7410: 6d 65 20 6f 66 20 74 68 65 20 6f 74 68 65 72 20 me of the other
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7450: 74 20 6f 66 20 6d 75 6c 74 69 70 6c 79 69 6e 67 t of multiplying
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7490: 69 63 61 74 69 6f 6e 3c 2f 69 3e 29 2e 3c 62 72 ication</i>).<br
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74d0: 65 78 70 6c 61 6e 61 74 69 6f 6e 3c 2f 68 33 3e explanation</h3>
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7630: 54 68 65 20 6f 75 74 70 75 74 20 47 65 6f 6d 65 The output Geome
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76a0: 61 72 67 75 6d 65 6e 74 73 2e 3c 2f 74 64 3e 3c arguments.</td><
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7790: 6e 27 74 20 6f 66 20 74 68 65 20 42 4c 4f 42 20 n't of the BLOB
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78e0: 6e 20 72 65 74 75 72 6e 69 6e 67 20 74 68 65 20 n returning the
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7900: 2e 3c 62 72 3e 0d 0a 4e 55 4c 4c 20 77 69 6c 6c .<br>..NULL will
7910: 20 62 65 20 72 65 74 75 72 6e 65 64 20 6f 6e 20 be returned on
7920: 69 6e 76 61 6c 69 64 20 61 72 67 75 6d 65 6e 74 invalid argument
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7960: 62 79 20 4d 61 74 72 69 78 2d 41 20 28 6c 65 66 by Matrix-A (lef
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79c0: 62 79 20 4d 61 74 72 69 78 2d 42 20 28 72 69 67 by Matrix-B (rig
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7ab0: 69 6c 6c 20 72 65 74 75 72 6e 20 61 6e 20 49 64 ill return an Id
7ac0: 65 6e 74 69 74 79 20 41 66 66 69 6e 65 20 54 72 entity Affine Tr
7ad0: 61 6e 73 66 6f 72 6d 61 74 69 6f 6e 20 4d 61 74 ansformation Mat
7ae0: 72 69 78 2e 3c 62 72 3e 0d 0a 4e 55 4c 4c 20 69 rix.<br>..NULL i
7af0: 66 20 61 6e 79 20 65 72 72 6f 72 20 6f 63 63 75 f any error occu
7b00: 72 73 2e 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c rs.</td></tr>..<
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7b30: 2c 20 64 6f 75 62 6c 65 20 62 20 2c 20 64 6f 75 , double b , dou
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7b50: 20 2c 20 64 6f 75 62 6c 65 20 78 6f 66 66 20 2c , double xoff ,
7b60: 20 64 6f 75 62 6c 65 20 79 6f 66 66 20 29 20 3a double yoff ) :
7b70: 20 42 4c 4f 42 20 41 54 2d 6d 61 74 72 69 78 3c BLOB AT-matrix<
7b80: 2f 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 3e 57 69 6c 6c /b></td><td>Will
7b90: 20 72 65 74 75 72 6e 20 61 20 32 44 20 41 66 66 return a 2D Aff
7ba0: 69 6e 65 20 54 72 61 6e 73 66 6f 72 6d 61 74 69 ine Transformati
7bb0: 6f 6e 20 4d 61 74 72 69 78 20 69 6e 69 74 69 61 on Matrix initia
7bc0: 6c 69 7a 65 64 20 77 69 74 68 20 65 78 70 6c 69 lized with expli
7bd0: 63 69 74 20 76 61 6c 75 65 73 2e 3c 62 72 3e 0d cit values.<br>.
7be0: 0a 4e 55 4c 4c 20 69 66 20 61 6e 79 20 65 72 72 .NULL if any err
7bf0: 6f 72 20 6f 63 63 75 72 73 20 6f 72 20 6f 6e 20 or occurs or on
7c00: 69 6e 76 61 6c 69 64 20 61 72 67 75 6d 65 6e 74 invalid argument
7c10: 73 2e 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 s.</td></tr>..<t
7c20: 72 3e 3c 74 64 3e 3c 62 3e 41 54 4d 5f 43 72 65 r><td><b>ATM_Cre
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7c40: 20 64 6f 75 62 6c 65 20 62 20 2c 20 64 6f 75 62 double b , doub
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7c60: 2c 20 64 6f 75 62 6c 65 20 65 20 2c 20 64 6f 75 , double e , dou
7c70: 62 6c 65 20 66 20 2c 20 64 6f 75 62 6c 65 20 67 ble f , double g
7c80: 20 2c 20 64 6f 75 62 6c 65 20 68 20 2c 20 64 6f , double h , do
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7ca0: 78 6f 66 66 20 2c 20 64 6f 75 62 6c 65 20 79 6f xoff , double yo
7cb0: 66 66 20 2c 20 64 6f 75 62 6c 65 20 64 6f 75 62 ff , double doub
7cc0: 6c 65 20 7a 6f 66 66 20 29 20 3a 20 42 4c 4f 42 le zoff ) : BLOB
7cd0: 20 41 54 2d 6d 61 74 72 69 78 3c 2f 62 3e 3c 2f AT-matrix</b></
7ce0: 74 64 3e 3c 74 64 3e 57 69 6c 6c 20 72 65 74 75 td><td>Will retu
7cf0: 72 6e 20 61 20 33 44 20 41 66 66 69 6e 65 20 54 rn a 3D Affine T
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7d10: 74 72 69 78 20 69 6e 69 74 69 61 6c 69 7a 65 64 trix initialized
7d20: 20 77 69 74 68 20 65 78 70 6c 69 63 69 74 20 76 with explicit v
7d30: 61 6c 75 65 73 2e 3c 62 72 3e 0d 0a 4e 55 4c 4c alues.<br>..NULL
7d40: 20 69 66 20 61 6e 79 20 65 72 72 6f 72 20 6f 63 if any error oc
7d50: 63 75 72 73 20 6f 72 20 6f 6e 20 69 6e 76 61 6c curs or on inval
7d60: 69 64 20 61 72 67 75 6d 65 6e 74 73 2e 3c 2f 74 id arguments.</t
7d70: 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 d></tr>..<tr><td
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7dc0: 69 78 3c 2f 62 3e 3c 62 72 3e 0d 0a 3c 62 3e 41 ix</b><br>..<b>A
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7df0: 20 64 6f 75 62 6c 65 20 74 79 20 2c 20 64 6f 75 double ty , dou
7e00: 62 6c 65 20 74 7a 20 29 20 3a 20 42 4c 4f 42 20 ble tz ) : BLOB
7e10: 41 54 2d 6d 61 74 72 69 78 3c 2f 62 3e 3c 2f 74 AT-matrix</b></t
7e20: 64 3e 3c 74 64 3e 57 69 6c 6c 20 72 65 74 75 72 d><td>Will retur
7e30: 6e 20 61 6e 20 41 66 66 69 6e 65 20 54 72 61 6e n an Affine Tran
7e40: 73 66 6f 72 6d 61 74 69 6f 6e 20 4d 61 74 72 69 sformation Matri
7e50: 78 20 69 6e 69 74 69 61 6c 69 7a 65 64 20 72 65 x initialized re
7e60: 73 70 65 63 74 69 76 65 6c 79 20 61 73 20 61 20 spectively as a
7e70: 32 44 20 6f 72 20 33 44 20 54 72 61 6e 73 6c 61 2D or 3D Transla
7e80: 74 65 2e 3c 62 72 3e 0d 0a 4e 55 4c 4c 20 69 66 te.<br>..NULL if
7e90: 20 61 6e 79 20 65 72 72 6f 72 20 6f 63 63 75 72 any error occur
7ea0: 73 20 6f 72 20 6f 6e 20 69 6e 76 61 6c 69 64 20 s or on invalid
7eb0: 61 72 67 75 6d 65 6e 74 73 2e 3c 2f 74 64 3e 3c arguments.</td><
7ec0: 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 3e 3c 62 /tr>..<tr><td><b
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7ee0: 20 28 20 64 6f 75 62 6c 65 20 73 78 20 2c 20 64 ( double sx , d
7ef0: 6f 75 62 6c 65 20 73 79 20 29 20 3a 20 42 4c 4f ouble sy ) : BLO
7f00: 42 20 41 54 2d 6d 61 74 72 69 78 3c 2f 62 3e 3c B AT-matrix</b><
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7f30: 20 73 78 20 2c 20 64 6f 75 62 6c 65 20 73 79 20 sx , double sy
7f40: 2c 20 64 6f 75 62 6c 65 20 73 7a 20 29 20 3a 20 , double sz ) :
7f50: 42 4c 4f 42 20 41 54 2d 6d 61 74 72 69 78 3c 2f BLOB AT-matrix</
7f60: 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 3e 57 69 6c 6c 20 b></td><td>Will
7f70: 72 65 74 75 72 6e 20 61 6e 20 41 66 66 69 6e 65 return an Affine
7f80: 20 54 72 61 6e 73 66 6f 72 6d 61 74 69 6f 6e 20 Transformation
7f90: 4d 61 74 72 69 78 20 69 6e 69 74 69 61 6c 69 7a Matrix initializ
7fa0: 65 64 20 72 65 73 70 65 63 74 69 76 65 6c 79 20 ed respectively
7fb0: 61 73 20 61 20 32 44 20 6f 72 20 33 44 20 53 63 as a 2D or 3D Sc
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7fd0: 66 20 61 6e 79 20 65 72 72 6f 72 20 6f 63 63 75 f any error occu
7fe0: 72 73 20 6f 72 20 6f 6e 20 69 6e 76 61 6c 69 64 rs or on invalid
7ff0: 20 61 72 67 75 6d 65 6e 74 73 2e 2e 3c 2f 74 64 arguments..</td
8000: 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 3e ></tr>..<tr><td>
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8020: 61 74 65 20 28 20 64 6f 75 62 6c 65 20 61 6e 67 ate ( double ang
8030: 6c 65 20 29 20 3a 20 42 4c 4f 42 20 41 54 2d 6d le ) : BLOB AT-m
8040: 61 74 72 69 78 3c 2f 62 3e 3c 62 72 3e 0d 0a 3c atrix</b><br>..<
8050: 62 3e 41 54 4d 5f 43 72 65 61 74 65 5a 52 6f 6c b>ATM_CreateZRol
8060: 6c 20 28 20 64 6f 75 62 6c 65 20 61 6e 67 6c 65 l ( double angle
8070: 20 29 20 3a 20 42 4c 4f 42 20 41 54 2d 6d 61 74 ) : BLOB AT-mat
8080: 72 69 78 3c 2f 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 3e rix</b></td><td>
8090: 57 69 6c 6c 20 72 65 74 75 72 6e 20 61 6e 20 41 Will return an A
80a0: 66 66 69 6e 65 20 54 72 61 6e 73 66 6f 72 6d 61 ffine Transforma
80b0: 74 69 6f 6e 20 4d 61 74 72 69 78 20 69 6e 69 74 tion Matrix init
80c0: 69 61 6c 69 7a 65 64 20 61 73 20 52 6f 74 61 74 ialized as Rotat
80d0: 69 6f 6e 20 61 72 6f 75 6e 64 20 74 68 65 20 5a ion around the Z
80e0: 20 61 78 69 73 2e 3c 62 72 3e 0d 0a 4e 55 4c 4c axis.<br>..NULL
80f0: 20 69 66 20 61 6e 79 20 65 72 72 6f 72 20 6f 63 if any error oc
8100: 63 75 72 73 20 6f 72 20 6f 6e 20 69 6e 76 61 6c curs or on inval
8110: 69 64 20 61 72 67 75 6d 65 6e 74 73 2e 3c 68 72 id arguments.<hr
8120: 3e 0d 0a 54 68 65 20 61 6e 67 6c 65 20 69 73 20 >..The angle is
8130: 61 6c 77 61 79 73 20 65 78 70 65 63 74 65 64 20 always expected
8140: 74 6f 20 62 65 20 6d 65 61 73 75 72 65 64 20 69 to be measured i
8150: 6e 20 64 65 63 69 6d 61 6c 20 64 65 67 72 65 65 n decimal degree
8160: 73 2e 20 54 68 65 20 64 69 72 65 63 74 69 6f 6e s. The direction
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8180: 64 65 66 69 6e 65 64 20 73 75 63 68 20 74 68 61 defined such tha
8190: 74 20 70 6f 73 69 74 69 76 65 20 61 6e 67 6c 65 t positive angle
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81b0: 64 69 72 65 63 74 69 6f 6e 20 66 72 6f 6d 20 74 direction from t
81c0: 68 65 20 70 6f 73 69 74 69 76 65 20 58 20 61 78 he positive X ax
81d0: 69 73 20 74 6f 77 61 72 64 20 74 68 65 20 70 6f is toward the po
81e0: 73 69 74 69 76 65 20 59 20 61 78 69 73 2e 20 57 sitive Y axis. W
81f0: 69 74 68 20 74 68 65 20 64 65 66 61 75 6c 74 20 ith the default
8200: 61 78 69 73 20 6f 72 69 65 6e 74 61 74 69 6f 6e axis orientation
8210: 20 20 70 6f 73 69 74 69 76 65 20 61 6e 67 6c 65 positive angle
8220: 73 20 72 6f 74 61 74 65 20 69 6e 20 61 20 63 6f s rotate in a co
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8250: 75 3e 4e 6f 74 65 3c 2f 75 3e 3a 20 74 68 69 73 u>Note</u>: this
8260: 20 69 73 20 74 68 65 20 75 6e 69 71 75 65 20 72 is the unique r
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8280: 6f 6e 20 61 20 70 75 72 65 6c 79 20 32 44 20 70 on a purely 2D p
8290: 6c 61 6e 65 2e 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d lane.</td></tr>.
82a0: 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 3e 3c 62 3e 41 54 4d 5f .<tr><td><b>ATM_
82b0: 43 72 65 61 74 65 58 52 6f 6c 6c 20 28 20 64 6f CreateXRoll ( do
82c0: 75 62 6c 65 20 61 6e 67 6c 65 20 29 20 3a 20 42 uble angle ) : B
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82e0: 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 3e 57 69 6c 6c 20 72 ></td><td>Will r
82f0: 65 74 75 72 6e 20 61 6e 20 41 66 66 69 6e 65 20 eturn an Affine
8300: 54 72 61 6e 73 66 6f 72 6d 61 74 69 6f 6e 20 4d Transformation M
8310: 61 74 72 69 78 20 69 6e 69 74 69 61 6c 69 7a 65 atrix initialize
8320: 64 20 61 73 20 52 6f 74 61 74 69 6f 6e 20 61 72 d as Rotation ar
8330: 6f 75 6e 64 20 74 68 65 20 58 20 61 78 69 73 2e ound the X axis.
8340: 3c 62 72 3e 0d 0a 4e 55 4c 4c 20 69 66 20 61 6e <br>..NULL if an
8350: 79 20 65 72 72 6f 72 20 6f 63 63 75 72 73 20 6f y error occurs o
8360: 72 20 6f 6e 20 69 6e 76 61 6c 69 64 20 61 72 67 r on invalid arg
8370: 75 6d 65 6e 74 73 2e 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 uments.</td></tr
8380: 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 3e 3c 62 3e 41 54 >..<tr><td><b>AT
8390: 4d 5f 43 72 65 61 74 65 59 52 6f 6c 6c 20 28 20 M_CreateYRoll (
83a0: 64 6f 75 62 6c 65 20 61 6e 67 6c 65 20 29 20 3a double angle ) :
83b0: 20 42 4c 4f 42 20 41 54 2d 6d 61 74 72 69 78 3c BLOB AT-matrix<
83c0: 2f 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 3e 57 69 6c 6c /b></td><td>Will
83d0: 20 72 65 74 75 72 6e 20 61 6e 20 41 66 66 69 6e return an Affin
83e0: 65 20 54 72 61 6e 73 66 6f 72 6d 61 74 69 6f 6e e Transformation
83f0: 20 4d 61 74 72 69 78 20 69 6e 69 74 69 61 6c 69 Matrix initiali
8400: 7a 65 64 20 61 73 20 52 6f 74 61 74 69 6f 6e 20 zed as Rotation
8410: 61 72 6f 75 6e 64 20 74 68 65 20 59 20 61 78 69 around the Y axi
8420: 73 2e 3c 62 72 3e 0d 0a 4e 55 4c 4c 20 69 66 20 s.<br>..NULL if
8430: 61 6e 79 20 65 72 72 6f 72 20 6f 63 63 75 72 73 any error occurs
8440: 20 6f 72 20 6f 6e 20 69 6e 76 61 6c 69 64 20 61 or on invalid a
8450: 72 67 75 6d 65 6e 74 73 2e 3c 2f 74 64 3e 3c 2f rguments.</td></
8460: 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 68 20 63 6f 6c tr>..<tr><th col
8470: 73 70 61 6e 3d 22 32 22 20 62 67 63 6f 6c 6f 72 span="2" bgcolor
8480: 3d 22 23 46 30 45 36 38 43 22 20 61 6c 69 67 6e ="#F0E68C" align
8490: 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 53 51 4c 20 66 75 ="center">SQL fu
84a0: 6e 63 74 69 6f 6e 73 20 73 75 70 70 6f 72 74 69 nctions supporti
84b0: 6e 67 20 63 68 61 69 6e 69 6e 67 20 74 77 6f 20 ng chaining two
84c0: 41 66 66 69 6e 65 20 54 72 61 6e 73 66 6f 72 6d Affine Transform
84d0: 61 74 69 6f 6e 20 4d 61 74 72 69 63 65 73 3c 2f ation Matrices</
84e0: 74 68 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 th></tr>..<tr><t
84f0: 64 3e 3c 62 3e 41 54 4d 5f 54 72 61 6e 73 6c 61 d><b>ATM_Transla
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8510: 20 64 6f 75 62 6c 65 20 74 79 20 2c 20 42 4c 4f double ty , BLO
8520: 42 20 41 54 2d 6d 61 74 72 69 78 20 29 20 3a 20 B AT-matrix ) :
8530: 42 4c 4f 42 20 41 54 2d 6d 61 74 72 69 78 3c 2f BLOB AT-matrix</
8540: 62 3e 3c 62 72 3e 0d 0a 3c 62 3e 41 54 4d 5f 54 b><br>..<b>ATM_T
8550: 72 61 6e 73 6c 61 74 65 20 28 20 64 6f 75 62 6c ranslate ( doubl
8560: 65 20 74 78 20 2c 20 64 6f 75 62 6c 65 20 74 79 e tx , double ty
8570: 20 2c 20 64 6f 75 62 6c 65 20 74 7a 20 2c 20 42 , double tz , B
8580: 4c 4f 42 20 41 54 2d 6d 61 74 72 69 78 20 29 20 LOB AT-matrix )
8590: 3a 20 42 4c 4f 42 20 41 54 2d 6d 61 74 72 69 78 : BLOB AT-matrix
85a0: 3c 2f 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 3e 57 69 6c </b></td><td>Wil
85b0: 6c 20 72 65 74 75 72 6e 20 61 6e 20 41 66 66 69 l return an Affi
85c0: 6e 65 20 54 72 61 6e 73 66 6f 72 6d 61 74 69 6f ne Transformatio
85d0: 6e 20 4d 61 74 72 69 78 20 62 79 20 63 68 61 69 n Matrix by chai
85e0: 6e 69 6e 67 20 72 65 73 70 65 63 74 69 76 65 6c ning respectivel
85f0: 79 20 61 20 32 44 20 6f 72 20 33 44 20 54 72 61 y a 2D or 3D Tra
8600: 6e 73 6c 61 74 65 20 61 6e 64 20 61 6e 6f 74 68 nslate and anoth
8610: 65 72 20 41 66 66 69 6e 65 20 54 72 61 6e 73 66 er Affine Transf
8620: 6f 72 6d 61 74 69 6f 6e 2e 3c 62 72 3e 0d 0a 4e ormation.<br>..N
8630: 55 4c 4c 20 69 66 20 61 6e 79 20 65 72 72 6f 72 ULL if any error
8640: 20 6f 63 63 75 72 73 20 6f 72 20 6f 6e 20 69 6e occurs or on in
8650: 76 61 6c 69 64 20 61 72 67 75 6d 65 6e 74 73 2e valid arguments.
8660: 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 3e </td></tr>..<tr>
8670: 3c 74 64 3e 3c 62 3e 41 54 4d 5f 53 63 61 6c 65 <td><b>ATM_Scale
8680: 20 28 20 64 6f 75 62 6c 65 20 73 78 20 2c 20 64 ( double sx , d
8690: 6f 75 62 6c 65 20 73 79 20 2c 20 42 4c 4f 42 20 ouble sy , BLOB
86a0: 41 54 2d 6d 61 74 72 69 78 20 29 20 3a 20 42 4c AT-matrix ) : BL
86b0: 4f 42 20 41 54 2d 6d 61 74 72 69 78 3c 2f 62 3e OB AT-matrix</b>
86c0: 3c 62 72 3e 0d 0a 3c 62 3e 41 54 4d 5f 53 63 61 <br>..<b>ATM_Sca
86d0: 6c 65 20 28 20 64 6f 75 62 6c 65 20 73 78 20 2c le ( double sx ,
86e0: 20 64 6f 75 62 6c 65 20 73 79 20 2c 20 64 6f 75 double sy , dou
86f0: 62 6c 65 20 73 7a 20 2c 20 42 4c 4f 42 20 41 54 ble sz , BLOB AT
8700: 2d 6d 61 74 72 69 78 20 29 20 3a 20 42 4c 4f 42 -matrix ) : BLOB
8710: 20 41 54 2d 6d 61 74 72 69 78 3c 2f 62 3e 3c 2f AT-matrix</b></
8720: 74 64 3e 3c 74 64 3e 57 69 6c 6c 20 72 65 74 75 td><td>Will retu
8730: 72 6e 20 61 6e 20 41 66 66 69 6e 65 20 54 72 61 rn an Affine Tra
8740: 6e 73 66 6f 72 6d 61 74 69 6f 6e 20 4d 61 74 72 nsformation Matr
8750: 69 78 20 62 79 20 63 68 61 69 6e 69 6e 67 20 72 ix by chaining r
8760: 65 73 70 65 63 74 69 76 65 6c 79 20 61 20 32 44 espectively a 2D
8770: 20 6f 72 20 33 44 20 53 63 61 6c 65 20 61 6e 64 or 3D Scale and
8780: 20 61 6e 6f 74 68 65 72 20 41 66 66 69 6e 65 20 another Affine
8790: 54 72 61 6e 73 66 6f 72 6d 61 74 69 6f 6e 2e 3c Transformation.<
87a0: 62 72 3e 0d 0a 4e 55 4c 4c 20 69 66 20 61 6e 79 br>..NULL if any
87b0: 20 65 72 72 6f 72 20 6f 63 63 75 72 73 20 6f 72 error occurs or
87c0: 20 6f 6e 20 69 6e 76 61 6c 69 64 20 61 72 67 75 on invalid argu
87d0: 6d 65 6e 74 73 2e 2e 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 ments..</td></tr
87e0: 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 3e 3c 62 3e 41 54 >..<tr><td><b>AT
87f0: 4d 5f 52 6f 74 61 74 65 20 28 20 64 6f 75 62 6c M_Rotate ( doubl
8800: 65 20 61 6e 67 6c 65 20 2c 20 42 4c 4f 42 20 41 e angle , BLOB A
8810: 54 2d 6d 61 74 72 69 78 20 29 20 3a 20 42 4c 4f T-matrix ) : BLO
8820: 42 20 41 54 2d 6d 61 74 72 69 78 3c 2f 62 3e 3c B AT-matrix</b><
8830: 62 72 3e 0d 0a 3c 62 3e 41 54 4d 5f 5a 52 6f 6c br>..<b>ATM_ZRol
8840: 6c 20 28 20 64 6f 75 62 6c 65 20 61 6e 67 6c 65 l ( double angle
8850: 20 2c 20 42 4c 4f 42 20 41 54 2d 6d 61 74 72 69 , BLOB AT-matri
8860: 78 20 29 20 3a 20 42 4c 4f 42 20 41 54 2d 6d 61 x ) : BLOB AT-ma
8870: 74 72 69 78 3c 2f 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 trix</b></td><td
8880: 3e 57 69 6c 6c 20 72 65 74 75 72 6e 20 61 6e 20 >Will return an
8890: 41 66 66 69 6e 65 20 54 72 61 6e 73 66 6f 72 6d Affine Transform
88a0: 61 74 69 6f 6e 20 4d 61 74 72 69 78 20 62 79 20 ation Matrix by
88b0: 63 68 61 69 6e 69 6e 67 20 61 20 52 6f 74 61 74 chaining a Rotat
88c0: 69 6f 6e 20 61 72 6f 75 6e 64 20 74 68 65 20 5a ion around the Z
88d0: 20 61 78 69 73 20 61 6e 64 20 61 6e 6f 74 68 65 axis and anothe
88e0: 72 20 41 66 66 69 6e 65 20 54 72 61 6e 73 66 6f r Affine Transfo
88f0: 72 6d 61 74 69 6f 6e 2e 3c 62 72 3e 0d 0a 4e 55 rmation.<br>..NU
8900: 4c 4c 20 69 66 20 61 6e 79 20 65 72 72 6f 72 20 LL if any error
8910: 6f 63 63 75 72 73 20 6f 72 20 6f 6e 20 69 6e 76 occurs or on inv
8920: 61 6c 69 64 20 61 72 67 75 6d 65 6e 74 73 2e 3c alid arguments.<
8930: 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c /td></tr>..<tr><
8940: 74 64 3e 3c 62 3e 41 54 4d 5f 58 52 6f 6c 6c 20 td><b>ATM_XRoll
8950: 28 20 64 6f 75 62 6c 65 20 61 6e 67 6c 65 20 29 ( double angle )
8960: 20 3a 20 42 4c 4f 42 20 41 54 2d 6d 61 74 72 69 : BLOB AT-matri
8970: 78 3c 2f 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 3e 57 69 x</b></td><td>Wi
8980: 6c 6c 20 72 65 74 75 72 6e 20 61 6e 20 41 66 66 ll return an Aff
8990: 69 6e 65 20 54 72 61 6e 73 66 6f 72 6d 61 74 69 ine Transformati
89a0: 6f 6e 20 4d 61 74 72 69 78 20 62 79 20 63 68 61 on Matrix by cha
89b0: 69 6e 69 6e 67 20 61 20 52 6f 74 61 74 69 6f 6e ining a Rotation
89c0: 20 61 72 6f 75 6e 64 20 74 68 65 20 58 20 61 78 around the X ax
89d0: 69 73 20 61 6e 64 20 61 6e 6f 74 68 65 72 20 41 is and another A
89e0: 66 66 69 6e 65 20 54 72 61 6e 73 66 6f 72 6d 61 ffine Transforma
89f0: 74 69 6f 6e 2e 3c 62 72 3e 0d 0a 4e 55 4c 4c 20 tion.<br>..NULL
8a00: 69 66 20 61 6e 79 20 65 72 72 6f 72 20 6f 63 63 if any error occ
8a10: 75 72 73 20 6f 72 20 6f 6e 20 69 6e 76 61 6c 69 urs or on invali
8a20: 64 20 61 72 67 75 6d 65 6e 74 73 2e 3c 2f 74 64 d arguments.</td
8a30: 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 3e ></tr>..<tr><td>
8a40: 3c 62 3e 41 54 4d 5f 59 52 6f 6c 6c 20 28 20 64 <b>ATM_YRoll ( d
8a50: 6f 75 62 6c 65 20 61 6e 67 6c 65 20 29 20 3a 20 ouble angle ) :
8a60: 42 4c 4f 42 20 41 54 2d 6d 61 74 72 69 78 3c 2f BLOB AT-matrix</
8a70: 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 3e 57 69 6c 6c 20 b></td><td>Will
8a80: 72 65 74 75 72 6e 20 61 6e 20 41 66 66 69 6e 65 return an Affine
8a90: 20 54 72 61 6e 73 66 6f 72 6d 61 74 69 6f 6e 20 Transformation
8aa0: 4d 61 74 72 69 78 20 62 79 20 63 68 61 69 6e 69 Matrix by chaini
8ab0: 6e 67 20 61 20 52 6f 74 61 74 69 6f 6e 20 61 72 ng a Rotation ar
8ac0: 6f 75 6e 64 20 74 68 65 20 59 20 61 78 69 73 20 ound the Y axis
8ad0: 61 6e 64 20 61 6e 6f 74 68 65 72 20 41 66 66 69 and another Affi
8ae0: 6e 65 20 54 72 61 6e 73 66 6f 72 6d 61 74 69 6f ne Transformatio
8af0: 6e 2e 3c 62 72 3e 0d 0a 4e 55 4c 4c 20 69 66 20 n.<br>..NULL if
8b00: 61 6e 79 20 65 72 72 6f 72 20 6f 63 63 75 72 73 any error occurs
8b10: 20 6f 72 20 6f 6e 20 69 6e 76 61 6c 69 64 20 61 or on invalid a
8b20: 72 67 75 6d 65 6e 74 73 2e 3c 2f 74 64 3e 3c 2f rguments.</td></
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