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29b0: 65 20 70 72 65 73 65 6e 74 20 73 74 75 64 79 2e e present study.
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2fe0: 6c 69 3e 0d 0a 3c 2f 6f 6c 3e 3c 2f 6c 69 3e 0d li>..</ol></li>.
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4ab0: 74 65 72 22 3e 3c 62 3e 73 69 6e 28 26 74 68 65 ter"><b>sin(&the
4ac0: 74 61 3b 29 3c 2f 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 ta;)</b></td><td
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4ae0: 3c 62 3e 63 6f 73 28 26 74 68 65 74 61 3b 29 3c <b>cos(θ)<
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4b80: 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 3e </td></tr>..<tr>
4b90: 3c 74 64 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a <td></td></tr>..
4ba0: 3c 2f 74 61 62 6c 65 3e 3c 62 72 3e 0d 0a 41 20 </table><br>..A
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4ee0: 2f 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 /b></td><td alig
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4f10: 7a 6f 66 66 3c 2f 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 zoff</b></td><td
4f20: 3e 7c 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 >|</td></tr>..<t
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5030: 65 6e 74 65 72 22 3e 31 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 enter">1</td><td
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5050: 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 0</td><td align=
5060: 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c "center">0</td><
5070: 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 td align="center
5080: 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 3e 5c 3c 2f 74 ">0</td><td>\</t
5090: 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 d></tr>..<tr><td
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50d0: 72 22 3e 31 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 r">1</td><td ali
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50f0: 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e d><td align="cen
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5320: 74 64 3e 3c 74 64 3e 5c 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 td><td>\</td></t
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53a0: 3c 62 3e 74 79 3c 2f 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 <b>ty</b></td><t
53b0: 64 3e 7c 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c d>|</td></tr>..<
53c0: 74 72 3e 3c 74 64 3e 7c 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 tr><td>|</td><td
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53e0: 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 0</td><td align=
53f0: 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c "center">0</td><
5400: 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 td align="center
5410: 22 3e 31 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 ">1</td><td alig
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5430: 3c 2f 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 3e 7c 3c 2f </b></td><td>|</
5440: 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 td></tr>..<tr><t
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5470: 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 ><td align="cent
5480: 65 72 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c er">0</td><td al
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54b0: 6e 74 65 72 22 3e 31 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 3e nter">1</td><td>
54c0: 2f 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 /</td></tr>..<tr
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54e0: 3e 3c 68 72 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d ><hr></td></tr>.
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5530: 20 3c 62 3e 73 7a 3c 2f 62 3e 29 3c 2f 74 64 3e <b>sz</b>)</td>
5540: 0d 0a 3c 74 64 3e 2f 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 ..<td>/</td><td
5550: 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 3c align="center"><
5560: 62 3e 73 78 3c 2f 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 b>sx</b></td><td
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5580: 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 0</td><td align=
5590: 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c "center">0</td><
55a0: 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 td align="center
55b0: 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 3e 5c 3c 2f 74 ">0</td><td>\</t
55c0: 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 d></tr>..<tr><td
55d0: 3e 7c 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e >|</td><td align
55e0: 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e ="center">0</td>
55f0: 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 <td align="cente
5600: 72 22 3e 3c 62 3e 73 79 3c 2f 62 3e 3c 2f 74 64 r"><b>sy</b></td
5610: 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 ><td align="cent
5620: 65 72 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c er">0</td><td al
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5640: 74 64 3e 3c 74 64 3e 7c 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 td><td>|</td></t
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5670: 74 65 72 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 ter">0</td><td a
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56a0: 65 6e 74 65 72 22 3e 3c 62 3e 73 7a 3c 2f 62 3e enter"><b>sz</b>
56b0: 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 </td><td align="
56c0: 63 65 6e 74 65 72 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 center">0</td><t
56d0: 64 3e 7c 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c d>|</td></tr>..<
56e0: 74 72 3e 3c 74 64 3e 5c 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 tr><td>\</td><td
56f0: 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e align="center">
5700: 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 0</td><td align=
5710: 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c "center">0</td><
5720: 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 td align="center
5730: 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 ">0</td><td alig
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5750: 3e 3c 74 64 3e 2f 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e ><td>/</td></tr>
5760: 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 20 63 6f 6c 73 70 61 ..<tr><td colspa
5770: 6e 3d 22 35 22 3e 3c 68 72 3e 3c 2f 74 64 3e 3c n="5"><hr></td><
5780: 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 20 72 6f /tr>..<tr><td ro
5790: 77 73 70 61 6e 3d 22 35 22 20 76 61 6c 69 67 6e wspan="5" valign
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57d0: 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 ><td align="cent
57e0: 65 72 22 3e 31 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c er">1</td><td al
57f0: 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 30 3c 2f ign="center">0</
5800: 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 td><td align="ce
5810: 6e 74 65 72 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 nter">0</td><td
5820: 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 30 align="center">0
5830: 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 3e 5c 3c 2f 74 64 3e 3c </td><td>\</td><
5840: 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 3e 7c 3c /tr>..<tr><td>|<
5850: 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 /td><td align="c
5860: 65 6e 74 65 72 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 enter">0</td><td
5870: 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e align="center">
5880: 3c 62 3e 63 6f 73 28 26 74 68 65 74 61 3b 29 3c <b>cos(θ)<
5890: 2f 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 /b></td><td alig
58a0: 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 3c 62 3e 2d 73 n="center"><b>-s
58b0: 69 6e 28 26 74 68 65 74 61 3b 29 3c 2f 62 3e 3c in(θ)</b><
58c0: 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 /td><td align="c
58d0: 65 6e 74 65 72 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 enter">0</td><td
58e0: 3e 7c 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 >|</td></tr>..<t
58f0: 72 3e 3c 74 64 3e 7c 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 r><td>|</td><td
5900: 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 30 align="center">0
5910: 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 </td><td align="
5920: 63 65 6e 74 65 72 22 3e 3c 62 3e 73 69 6e 28 26 center"><b>sin(&
5930: 74 68 65 74 61 3b 29 3c 2f 62 3e 3c 2f 74 64 3e theta;)</b></td>
5940: 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 <td align="cente
5950: 72 22 3e 3c 62 3e 63 6f 73 28 26 74 68 65 74 61 r"><b>cos(&theta
5960: 3b 29 3c 2f 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 ;)</b></td><td a
5970: 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 30 3c lign="center">0<
5980: 2f 74 64 3e 3c 74 64 3e 7c 3c 2f 74 64 3e 3c 2f /td><td>|</td></
5990: 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 3e 5c 3c 2f tr>..<tr><td>\</
59a0: 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 td><td align="ce
59b0: 6e 74 65 72 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 nter">0</td><td
59c0: 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 30 align="center">0
59d0: 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 </td><td align="
59e0: 63 65 6e 74 65 72 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 center">0</td><t
59f0: 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 d align="center"
5a00: 3e 31 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 3e 2f 3c 2f 74 64 >1</td><td>/</td
5a10: 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 20 ></tr>..<tr><td
5a20: 63 6f 6c 73 70 61 6e 3d 22 35 22 3e 3c 68 72 3e colspan="5"><hr>
5a30: 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 3e </td></tr>..<tr>
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5a70: 3b 3c 2f 62 3e 29 3c 2f 74 64 3e 0d 0a 3c 74 64 ;</b>)</td>..<td
5a80: 3e 2f 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e >/</td><td align
5a90: 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 3c 62 3e 63 6f 73 ="center"><b>cos
5aa0: 28 26 74 68 65 74 61 3b 29 3c 2f 62 3e 3c 2f 74 (θ)</b></t
5ab0: 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e d><td align="cen
5ac0: 74 65 72 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 ter">0</td><td a
5ad0: 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 3c 62 lign="center"><b
5ae0: 3e 73 69 6e 28 26 74 68 65 74 61 3b 29 3c 2f 62 >sin(θ)</b
5af0: 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d ></td><td align=
5b00: 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c "center">0</td><
5b10: 74 64 3e 5c 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a td>\</td></tr>..
5b20: 3c 74 72 3e 3c 74 64 3e 7c 3c 2f 74 64 3e 3c 74 <tr><td>|</td><t
5b30: 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 d align="center"
5b40: 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e >0</td><td align
5b50: 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 31 3c 2f 74 64 3e ="center">1</td>
5b60: 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 <td align="cente
5b70: 72 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 r">0</td><td ali
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5ba0: 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 3e 7c 3c 2f 74 64 >..<tr><td>|</td
5bb0: 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 ><td align="cent
5bc0: 65 72 22 3e 3c 62 3e 2d 73 69 6e 28 26 74 68 65 er"><b>-sin(&the
5bd0: 74 61 3b 29 3c 2f 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 ta;)</b></td><td
5be0: 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e align="center">
5bf0: 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 0</td><td align=
5c00: 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 3c 62 3e 63 6f 73 28 "center"><b>cos(
5c10: 26 74 68 65 74 61 3b 29 3c 2f 62 3e 3c 2f 74 64 θ)</b></td
5c20: 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 ><td align="cent
5c30: 65 72 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 3e 7c 3c er">0</td><td>|<
5c40: 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c /td></tr>..<tr><
5c50: 74 64 3e 5c 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 td>\</td><td ali
5c60: 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 30 3c 2f 74 gn="center">0</t
5c70: 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e d><td align="cen
5c80: 74 65 72 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 ter">0</td><td a
5c90: 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 30 3c lign="center">0<
5ca0: 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 /td><td align="c
5cb0: 65 6e 74 65 72 22 3e 31 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 enter">1</td><td
5cc0: 3e 2f 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 >/</td></tr>..<t
5cd0: 72 3e 3c 74 64 20 63 6f 6c 73 70 61 6e 3d 22 35 r><td colspan="5
5ce0: 22 3e 3c 68 72 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e "><hr></td></tr>
5cf0: 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 20 72 6f 77 73 70 61 ..<tr><td rowspa
5d00: 6e 3d 22 35 22 20 76 61 6c 69 67 6e 3d 22 6d 69 n="5" valign="mi
5d10: 64 64 6c 65 22 3e 5a 20 52 6f 6c 6c 28 3c 62 3e ddle">Z Roll(<b>
5d20: 26 74 68 65 74 61 3b 3c 2f 62 3e 29 3c 2f 74 64 θ</b>)</td
5d30: 3e 0d 0a 3c 74 64 3e 2f 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 >..<td>/</td><td
5d40: 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e align="center">
5d50: 3c 62 3e 63 6f 73 28 26 74 68 65 74 61 3b 29 3c <b>cos(θ)<
5d60: 2f 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 /b></td><td alig
5d70: 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 3c 62 3e 2d 73 n="center"><b>-s
5d80: 69 6e 28 26 74 68 65 74 61 3b 29 3c 2f 62 3e 3c in(θ)</b><
5d90: 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 /td><td align="c
5da0: 65 6e 74 65 72 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 enter">0</td><td
5db0: 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e align="center">
5dc0: 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 3e 5c 3c 2f 74 64 3e 0</td><td>\</td>
5dd0: 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 3e 7c </tr>..<tr><td>|
5de0: 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 </td><td align="
5df0: 63 65 6e 74 65 72 22 3e 3c 62 3e 73 69 6e 28 26 center"><b>sin(&
5e00: 74 68 65 74 61 3b 29 3c 2f 62 3e 3c 2f 74 64 3e theta;)</b></td>
5e10: 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 <td align="cente
5e20: 72 22 3e 3c 62 3e 63 6f 73 28 26 74 68 65 74 61 r"><b>cos(&theta
5e30: 3b 29 3c 2f 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 ;)</b></td><td a
5e40: 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 30 3c lign="center">0<
5e50: 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 /td><td align="c
5e60: 65 6e 74 65 72 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 enter">0</td><td
5e70: 3e 7c 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 >|</td></tr>..<t
5e80: 72 3e 3c 74 64 3e 7c 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 r><td>|</td><td
5e90: 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 30 align="center">0
5ea0: 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 </td><td align="
5eb0: 63 65 6e 74 65 72 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 center">0</td><t
5ec0: 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 d align="center"
5ed0: 3e 31 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e >1</td><td align
5ee0: 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e ="center">0</td>
5ef0: 3c 74 64 3e 7c 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d <td>|</td></tr>.
5f00: 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 3e 5c 3c 2f 74 64 3e 3c .<tr><td>\</td><
5f10: 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 td align="center
5f20: 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 ">0</td><td alig
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5f40: 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 ><td align="cent
5f50: 65 72 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c er">0</td><td al
5f60: 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 31 3c 2f ign="center">1</
5f70: 74 64 3e 3c 74 64 3e 2f 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 td><td>/</td></t
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5ff0: 61 6e 20 61 66 66 69 6e 65 20 74 72 61 6e 73 66 an affine transf
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6030: 7a 27 29 3c 2f 62 3e 20 63 6f 6f 72 64 69 6e 61 z')</b> coordina
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60e0: 2a 7a 20 2b 20 78 6f 66 66 3c 2f 62 3e 3c 2f 6c *z + xoff</b></l
60f0: 69 3e 0d 0a 3c 6c 69 3e 3c 62 3e 79 27 20 3d 20 i>..<li><b>y' =
6100: 64 2a 78 20 2b 20 65 2a 79 20 2b 20 66 2a 7a 20 d*x + e*y + f*z
6110: 2b 20 79 6f 66 66 3c 2f 62 3e 3c 2f 6c 69 3e 0d + yoff</b></li>.
6120: 0a 3c 6c 69 3e 3c 62 3e 7a 27 20 3d 20 67 2a 78 .<li><b>z' = g*x
6130: 20 2b 20 68 2a 79 20 2b 20 69 2a 7a 20 2b 20 7a + h*y + i*z + z
6140: 6f 66 66 3c 2f 62 3e 3c 2f 6c 69 3e 0d 0a 3c 2f off</b></li>..</
6150: 75 6c 3e 3c 62 72 3e 0d 0a 69 6e 20 74 68 65 20 ul><br>..in the
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61b0: 20 2b 20 62 2a 79 20 2b 20 78 6f 66 66 3c 2f 62 + b*y + xoff</b
61c0: 3e 3c 2f 6c 69 3e 0d 0a 3c 6c 69 3e 3c 62 3e 79 ></li>..<li><b>y
61d0: 27 20 3d 20 64 2a 78 20 2b 20 65 2a 79 20 2b 20 ' = d*x + e*y +
61e0: 79 6f 66 66 3c 2f 62 3e 3c 2f 6c 69 3e 0d 0a 3c yoff</b></li>..<
61f0: 2f 75 6c 3e 3c 62 72 3e 0d 0a 41 73 20 79 6f 75 /ul><br>..As you
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6260: 63 74 69 6f 6e 2e 3c 62 72 3e 0d 0a 54 72 69 67 ction.<br>..Trig
6270: 6f 6e 6f 6d 65 74 72 69 63 20 66 75 6e 63 74 69 onometric functi
6280: 6f 6e 73 20 61 72 65 20 76 65 72 79 20 63 6f 73 ons are very cos
6290: 74 6c 79 20 69 6e 20 63 6f 6d 70 75 74 61 74 69 tly in computati
62a0: 6f 6e 61 6c 20 74 65 72 6d 73 2c 20 73 6f 20 61 onal terms, so a
62b0: 70 70 6c 79 69 6e 67 20 61 6e 20 41 66 66 69 6e pplying an Affin
62c0: 65 20 54 72 61 6e 73 66 6f 72 6d 61 74 69 6f 6e e Transformation
62d0: 20 69 73 20 61 6e 20 69 6e 74 72 69 6e 73 69 63 is an intrinsic
62e0: 61 6c 6c 79 20 65 66 66 69 63 69 65 6e 74 20 6d ally efficient m
62f0: 65 63 68 61 6e 69 73 6d 20 62 65 63 61 75 73 65 echanism because
6300: 20 73 69 6d 70 6c 79 20 64 65 70 65 6e 64 73 20 simply depends
6310: 6f 6e 20 6d 75 6c 74 69 70 6c 69 63 61 74 69 6f on multiplicatio
6320: 6e 73 20 61 6e 64 20 61 64 64 69 74 69 6f 6e 73 ns and additions
6330: 2e 3c 62 72 3e 0d 0a 3c 62 72 3e 3c 68 72 3e 0d .<br>..<br><hr>.
6340: 0a 3c 68 33 3e 63 68 61 69 6e 69 6e 67 20 74 77 .<h3>chaining tw
6350: 6f 20 28 6f 72 20 65 76 65 6e 20 6d 6f 72 65 29 o (or even more)
6360: 20 41 66 66 69 6e 65 20 54 72 61 6e 73 66 6f 72 Affine Transfor
6370: 6d 61 74 69 6f 6e 73 20 69 6e 20 61 20 73 69 6e mations in a sin
6380: 67 6c 65 20 6f 70 65 72 61 74 69 6f 6e 3c 2f 68 gle operation</h
6390: 33 3e 0d 0a 41 66 66 69 6e 65 20 74 72 61 6e 73 3>..Affine trans
63a0: 66 6f 72 6d 61 74 69 6f 6e 20 6d 61 74 72 69 63 formation matric
63b0: 65 73 20 68 61 76 65 20 61 6e 6f 74 68 65 72 20 es have another
63c0: 61 73 74 6f 6e 69 73 68 69 6e 67 20 70 72 6f 70 astonishing prop
63d0: 65 72 74 79 2e 3c 62 72 3e 0d 0a 57 65 20 63 61 erty.<br>..We ca
63e0: 6e 20 3c 61 20 68 72 65 66 3d 22 68 74 74 70 3a n <a href="http:
63f0: 2f 2f 65 6e 2e 77 69 6b 69 70 65 64 69 61 2e 6f //en.wikipedia.o
6400: 72 67 2f 77 69 6b 69 2f 4d 61 74 72 69 78 5f 6d rg/wiki/Matrix_m
6410: 75 6c 74 69 70 6c 69 63 61 74 69 6f 6e 22 3e 6d ultiplication">m
6420: 75 6c 74 69 70 6c 79 3c 2f 61 3e 20 74 77 6f 20 ultiply</a> two
6430: 64 69 66 66 65 72 65 6e 74 20 61 66 66 69 6e 65 different affine
6440: 20 74 72 61 6e 73 66 6f 72 6d 61 74 69 6f 6e 20 transformation
6450: 6d 61 74 72 69 63 65 73 20 74 68 75 73 20 6f 62 matrices thus ob
6460: 74 61 69 6e 69 6e 67 20 61 20 74 68 69 72 64 20 taining a third
6470: 6d 61 74 72 69 78 2c 20 61 6e 64 20 74 68 69 73 matrix, and this
6480: 20 6c 61 74 65 73 74 20 6f 6e 63 65 20 61 70 70 latest once app
6490: 6c 69 65 64 20 77 69 6c 6c 20 63 6f 6e 74 61 69 lied will contai
64a0: 6e 20 62 6f 74 68 20 74 72 61 6e 73 66 6f 72 6d n both transform
64b0: 61 74 69 6f 6e 73 20 61 6e 64 20 69 6e 20 74 68 ations and in th
64c0: 65 20 72 69 67 68 74 20 73 65 71 75 65 6e 63 65 e right sequence
64d0: 2e 3c 62 72 3e 0d 0a 54 68 65 72 65 20 69 73 20 .<br>..There is
64e0: 6e 6f 20 6c 69 6d 69 74 3b 20 77 65 20 63 61 6e no limit; we can
64f0: 20 69 6e 66 69 6e 69 74 69 76 65 6c 79 20 63 68 infinitively ch
6500: 61 69 6e 20 61 73 20 6d 61 6e 79 20 74 72 61 6e ain as many tran
6510: 73 66 6f 72 6d 61 74 69 6f 6e 73 20 61 73 20 72 sformations as r
6520: 65 71 75 69 72 65 64 2c 20 77 65 27 6c 6c 20 73 equired, we'll s
6530: 69 6d 70 6c 79 20 68 61 76 65 20 74 6f 20 63 6f imply have to co
6540: 6e 74 69 6e 75 65 20 6d 75 6c 74 69 70 6c 79 69 ntinue multiplyi
6550: 6e 67 20 61 6c 6c 20 6d 61 74 72 69 63 65 73 20 ng all matrices
6560: 6f 6e 65 20 61 66 74 65 72 20 74 68 65 20 6f 74 one after the ot
6570: 68 65 72 20 63 61 72 65 66 75 6c 6c 79 20 72 65 her carefully re
6580: 73 70 65 63 74 69 6e 67 20 74 68 65 20 61 70 70 specting the app
6590: 72 6f 70 72 69 61 74 65 20 73 65 71 75 65 6e 63 ropriate sequenc
65a0: 65 2e 3c 62 72 3e 0d 0a 41 74 20 74 68 65 20 65 e.<br>..At the e
65b0: 6e 64 20 6f 66 20 74 68 65 20 70 72 6f 63 65 73 nd of the proces
65c0: 73 20 77 65 27 6c 6c 20 61 6c 77 61 79 73 20 67 s we'll always g
65d0: 65 74 20 6a 75 73 74 20 61 20 73 69 6e 67 6c 65 et just a single
65e0: 20 61 66 66 69 6e 65 20 74 72 61 6e 73 66 6f 72 affine transfor
65f0: 6d 61 74 69 6f 6e 20 6d 61 74 72 69 78 20 66 61 mation matrix fa
6600: 69 74 68 66 75 6c 6c 79 20 72 65 70 72 65 73 65 ithfully represe
6610: 6e 74 69 6e 67 20 61 6e 79 20 69 6e 64 69 76 69 nting any indivi
6620: 64 75 61 6c 20 74 72 61 6e 73 66 6f 72 6d 61 74 dual transformat
6630: 69 6f 6e 20 69 6e 20 74 68 65 20 63 68 61 69 6e ion in the chain
6640: 2e 0d 0a 3c 74 61 62 6c 65 20 62 67 63 6f 6c 6f ...<table bgcolo
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6670: 3e 3c 74 64 3e 0d 0a 54 68 65 20 6d 75 6c 74 69 ><td>..The multi
6680: 70 6c 69 63 61 74 69 6f 6e 20 62 65 74 77 65 65 plication betwee
6690: 6e 20 74 77 6f 20 6d 61 74 72 69 63 65 73 20 3c n two matrices <
66a0: 75 3e 69 73 20 6e 6f 74 20 61 20 63 6f 6d 6d 75 u>is not a commu
66b0: 74 61 74 69 76 65 20 6f 70 65 72 61 74 69 6f 6e tative operation
66c0: 3c 2f 75 3e 3a 20 74 68 65 20 72 65 6c 61 74 69 </u>: the relati
66d0: 76 65 20 6f 72 64 65 72 20 6f 66 20 6f 70 65 72 ve order of oper
66e0: 61 6e 64 73 20 69 73 20 61 62 73 6f 6c 75 74 65 ands is absolute
66f0: 6c 79 20 72 65 6c 65 76 61 6e 74 2e 3c 2f 74 64 ly relevant.</td
6700: 3e 3c 2f 74 72 3e 3c 2f 74 61 62 6c 65 3e 0d 0a ></tr></table>..
6710: 3c 68 33 3e 6d 75 6c 74 69 70 6c 79 69 6e 67 20 <h3>multiplying
6720: 74 77 6f 20 6d 61 74 72 69 63 65 73 3c 2f 68 33 two matrices</h3
6730: 3e 0d 0a 4d 75 6c 74 69 70 6c 69 63 61 74 69 6f >..Multiplicatio
6740: 6e 20 69 73 20 6e 6f 74 20 72 65 61 6c 6c 79 20 n is not really
6750: 61 20 73 69 6d 70 6c 65 20 6f 70 65 72 61 74 69 a simple operati
6760: 6f 6e 20 77 68 65 6e 20 6d 61 74 72 69 63 65 73 on when matrices
6770: 20 61 72 65 20 69 6e 76 6f 6c 76 65 64 20 61 6e are involved an
6780: 64 20 72 65 71 75 69 72 65 73 20 61 20 72 61 74 d requires a rat
6790: 68 65 72 20 63 6f 6d 70 6c 65 78 20 70 72 6f 63 her complex proc
67a0: 65 64 75 72 65 3b 20 74 68 65 20 66 6f 6c 6c 6f edure; the follo
67b0: 77 69 6e 67 20 65 78 61 6d 70 6c 65 20 73 68 6f wing example sho
67c0: 77 73 20 68 6f 77 20 74 6f 20 6d 75 6c 74 69 70 ws how to multip
67d0: 6c 79 20 74 77 6f 20 3c 62 3e 34 20 78 20 34 3c ly two <b>4 x 4<
67e0: 2f 62 3e 20 6d 61 74 72 69 63 65 73 2e 3c 62 72 /b> matrices.<br
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6820: 3c 74 64 3e 0d 0a 3c 74 61 62 6c 65 3e 0d 0a 3c <td>..<table>..<
6830: 74 72 3e 3c 74 64 3e 2f 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 tr><td>/</td><td
6840: 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e align="center">
6850: 61 3c 73 75 62 3e 31 31 3c 2f 73 75 62 3e 3c 2f a<sub>11</sub></
6860: 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 td><td align="ce
6870: 6e 74 65 72 22 3e 61 3c 73 75 62 3e 31 32 3c 2f nter">a<sub>12</
6880: 73 75 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 sub></td><td ali
6890: 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 61 3c 73 75 gn="center">a<su
68a0: 62 3e 31 33 3c 2f 73 75 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c b>13</sub></td><
68b0: 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 td align="center
68c0: 22 3e 61 3c 73 75 62 3e 31 34 3c 2f 73 75 62 3e ">a<sub>14</sub>
68d0: 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 3e 5c 3c 2f 74 64 3e 3c </td><td>\</td><
68e0: 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 3e 7c 3c /tr>..<tr><td>|<
68f0: 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 /td><td align="c
6900: 65 6e 74 65 72 22 3e 61 3c 73 75 62 3e 32 31 3c enter">a<sub>21<
6910: 2f 73 75 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c /sub></td><td al
6920: 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 61 3c 73 ign="center">a<s
6930: 75 62 3e 32 32 3c 2f 73 75 62 3e 3c 2f 74 64 3e ub>22</sub></td>
6940: 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 <td align="cente
6950: 72 22 3e 61 3c 73 75 62 3e 32 33 3c 2f 73 75 62 r">a<sub>23</sub
6960: 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d ></td><td align=
6970: 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 61 3c 73 75 62 3e 32 "center">a<sub>2
6980: 34 3c 2f 73 75 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 3e 4</sub></td><td>
6990: 7c 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 |</td></tr>..<tr
69a0: 3e 3c 74 64 3e 7c 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 ><td>|</td><td a
69b0: 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 61 3c lign="center">a<
69c0: 73 75 62 3e 33 31 3c 2f 73 75 62 3e 3c 2f 74 64 sub>31</sub></td
69d0: 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 ><td align="cent
69e0: 65 72 22 3e 61 3c 73 75 62 3e 33 32 3c 2f 73 75 er">a<sub>32</su
69f0: 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e b></td><td align
6a00: 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 61 3c 73 75 62 3e ="center">a<sub>
6a10: 33 33 3c 2f 73 75 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 33</sub></td><td
6a20: 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e align="center">
6a30: 61 3c 73 75 62 3e 33 34 3c 2f 73 75 62 3e 3c 2f a<sub>34</sub></
6a40: 74 64 3e 3c 74 64 3e 7c 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 td><td>|</td></t
6a50: 72 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 3e 5c 3c 2f 74 r>..<tr><td>\</t
6a60: 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e d><td align="cen
6a70: 74 65 72 22 3e 61 3c 73 75 62 3e 34 31 3c 2f 73 ter">a<sub>41</s
6a80: 75 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 ub></td><td alig
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6aa0: 3e 34 32 3c 2f 73 75 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 >42</sub></td><t
6ab0: 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 d align="center"
6ac0: 3e 61 3c 73 75 62 3e 34 33 3c 2f 73 75 62 3e 3c >a<sub>43</sub><
6ad0: 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 /td><td align="c
6ae0: 65 6e 74 65 72 22 3e 61 3c 73 75 62 3e 34 34 3c enter">a<sub>44<
6af0: 2f 73 75 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 3e 2f 3c /sub></td><td>/<
6b00: 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 2f 74 61 62 /td></tr>..</tab
6b10: 6c 65 3e 0d 0a 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 76 61 le>..</td><td va
6b20: 6c 69 67 6e 3d 22 6d 69 64 64 6c 65 22 3e 2a 3c lign="middle">*<
6b30: 2f 74 64 3e 0d 0a 3c 74 64 3e 0d 0a 3c 74 61 62 /td>..<td>..<tab
6b40: 6c 65 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 3e 2f 3c 2f le>..<tr><td>/</
6b50: 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 td><td align="ce
6b60: 6e 74 65 72 22 3e 62 3c 73 75 62 3e 31 31 3c 2f nter">b<sub>11</
6b70: 73 75 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 sub></td><td ali
6b80: 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 62 3c 73 75 gn="center">b<su
6b90: 62 3e 31 32 3c 2f 73 75 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c b>12</sub></td><
6ba0: 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 td align="center
6bb0: 22 3e 62 3c 73 75 62 3e 31 33 3c 2f 73 75 62 3e ">b<sub>13</sub>
6bc0: 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 </td><td align="
6bd0: 63 65 6e 74 65 72 22 3e 62 3c 73 75 62 3e 31 34 center">b<sub>14
6be0: 3c 2f 73 75 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 3e 5c </sub></td><td>\
6bf0: 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 3e </td></tr>..<tr>
6c00: 3c 74 64 3e 7c 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c <td>|</td><td al
6c10: 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 62 3c 73 ign="center">b<s
6c20: 75 62 3e 32 31 3c 2f 73 75 62 3e 3c 2f 74 64 3e ub>21</sub></td>
6c30: 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 <td align="cente
6c40: 72 22 3e 62 3c 73 75 62 3e 32 32 3c 2f 73 75 62 r">b<sub>22</sub
6c50: 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d ></td><td align=
6c60: 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 62 3c 73 75 62 3e 32 "center">b<sub>2
6c70: 33 3c 2f 73 75 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 3</sub></td><td
6c80: 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 62 align="center">b
6c90: 3c 73 75 62 3e 32 34 3c 2f 73 75 62 3e 3c 2f 74 <sub>24</sub></t
6ca0: 64 3e 3c 74 64 3e 7c 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 d><td>|</td></tr
6cb0: 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 3e 7c 3c 2f 74 64 >..<tr><td>|</td
6cc0: 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 ><td align="cent
6cd0: 65 72 22 3e 62 3c 73 75 62 3e 33 31 3c 2f 73 75 er">b<sub>31</su
6ce0: 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e b></td><td align
6cf0: 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 62 3c 73 75 62 3e ="center">b<sub>
6d00: 33 32 3c 2f 73 75 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 32</sub></td><td
6d10: 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e align="center">
6d20: 62 3c 73 75 62 3e 33 33 3c 2f 73 75 62 3e 3c 2f b<sub>33</sub></
6d30: 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 td><td align="ce
6d40: 6e 74 65 72 22 3e 62 3c 73 75 62 3e 33 34 3c 2f nter">b<sub>34</
6d50: 73 75 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 3e 7c 3c 2f sub></td><td>|</
6d60: 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 td></tr>..<tr><t
6d70: 64 3e 5c 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 d>\</td><td alig
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6d90: 3e 34 31 3c 2f 73 75 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 >41</sub></td><t
6da0: 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 d align="center"
6db0: 3e 62 3c 73 75 62 3e 34 32 3c 2f 73 75 62 3e 3c >b<sub>42</sub><
6dc0: 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 /td><td align="c
6dd0: 65 6e 74 65 72 22 3e 62 3c 73 75 62 3e 34 33 3c enter">b<sub>43<
6de0: 2f 73 75 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c /sub></td><td al
6df0: 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 62 3c 73 ign="center">b<s
6e00: 75 62 3e 34 34 3c 2f 73 75 62 3e 3c 2f 74 64 3e ub>44</sub></td>
6e10: 3c 74 64 3e 2f 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d <td>/</td></tr>.
6e20: 0a 3c 2f 74 61 62 6c 65 3e 0d 0a 3c 2f 74 64 3e .</table>..</td>
6e30: 0d 0a 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 76 61 6c 69 67 ..</td><td valig
6e40: 6e 3d 22 6d 69 64 64 6c 65 22 3e 3d 3c 2f 74 64 n="middle">=</td
6e50: 3e 0d 0a 3c 74 64 3e 0d 0a 3c 74 61 62 6c 65 3e >..<td>..<table>
6e60: 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 3e 2f 3c 2f 74 64 3e ..<tr><td>/</td>
6e70: 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 <td align="cente
6e80: 72 22 3e 0d 0a 28 61 3c 73 75 62 3e 31 31 3c 2f r">..(a<sub>11</
6e90: 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e 31 31 3c 2f 73 sub>*b<sub>11</s
6ea0: 75 62 3e 20 2b 20 0d 0a 61 3c 73 75 62 3e 31 32 ub> + ..a<sub>12
6eb0: 3c 2f 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e 32 31 3c </sub>*b<sub>21<
6ec0: 2f 73 75 62 3e 20 2b 20 0d 0a 61 3c 73 75 62 3e /sub> + ..a<sub>
6ed0: 31 33 3c 2f 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e 33 13</sub>*b<sub>3
6ee0: 31 3c 2f 73 75 62 3e 20 2b 20 0d 0a 61 3c 73 75 1</sub> + ..a<su
6ef0: 62 3e 31 34 3c 2f 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 b>14</sub>*b<sub
6f00: 3e 34 31 3c 2f 73 75 62 3e 29 3c 2f 74 64 3e 0d >41</sub>)</td>.
6f10: 0a 3c 74 64 3e 28 61 3c 73 75 62 3e 31 31 3c 2f .<td>(a<sub>11</
6f20: 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e 31 32 3c 2f 73 sub>*b<sub>12</s
6f30: 75 62 3e 20 2b 20 0d 0a 61 3c 73 75 62 3e 31 32 ub> + ..a<sub>12
6f40: 3c 2f 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e 32 32 3c </sub>*b<sub>22<
6f50: 2f 73 75 62 3e 20 2b 20 0d 0a 61 3c 73 75 62 3e /sub> + ..a<sub>
6f60: 31 33 3c 2f 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e 33 13</sub>*b<sub>3
6f70: 32 3c 2f 73 75 62 3e 20 2b 0d 0a 61 3c 73 75 62 2</sub> +..a<sub
6f80: 3e 31 34 3c 2f 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e >14</sub>*b<sub>
6f90: 34 32 3c 2f 73 75 62 3e 29 3c 2f 74 64 3e 0d 0a 42</sub>)</td>..
6fa0: 3c 74 64 3e 28 61 3c 73 75 62 3e 31 31 3c 2f 73 <td>(a<sub>11</s
6fb0: 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e 31 33 3c 2f 73 75 ub>*b<sub>13</su
6fc0: 62 3e 20 2b 20 0d 0a 61 3c 73 75 62 3e 31 32 3c b> + ..a<sub>12<
6fd0: 2f 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e 32 33 3c 2f /sub>*b<sub>23</
6fe0: 73 75 62 3e 20 2b 20 0d 0a 61 3c 73 75 62 3e 31 sub> + ..a<sub>1
6ff0: 33 3c 2f 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e 33 33 3</sub>*b<sub>33
7000: 3c 2f 73 75 62 3e 20 2b 0d 0a 61 3c 73 75 62 3e </sub> +..a<sub>
7010: 31 34 3c 2f 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e 34 14</sub>*b<sub>4
7020: 33 3c 2f 73 75 62 3e 29 3c 2f 74 64 3e 0d 0a 3c 3</sub>)</td>..<
7030: 74 64 3e 28 61 3c 73 75 62 3e 31 31 3c 2f 73 75 td>(a<sub>11</su
7040: 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e 31 34 3c 2f 73 75 62 b>*b<sub>14</sub
7050: 3e 20 2b 20 0d 0a 61 3c 73 75 62 3e 31 32 3c 2f > + ..a<sub>12</
7060: 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e 32 34 3c 2f 73 sub>*b<sub>24</s
7070: 75 62 3e 20 2b 20 0d 0a 61 3c 73 75 62 3e 31 33 ub> + ..a<sub>13
7080: 3c 2f 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e 33 34 3c </sub>*b<sub>34<
7090: 2f 73 75 62 3e 20 2b 0d 0a 61 3c 73 75 62 3e 31 /sub> +..a<sub>1
70a0: 34 3c 2f 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e 34 34 4</sub>*b<sub>44
70b0: 3c 2f 73 75 62 3e 29 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 3e </sub>)</td><td>
70c0: 5c 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 \</td></tr>..<tr
70d0: 3e 3c 74 64 3e 7c 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 ><td>|</td><td a
70e0: 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 0d 0a lign="center">..
70f0: 28 61 3c 73 75 62 3e 32 31 3c 2f 73 75 62 3e 2a (a<sub>21</sub>*
7100: 62 3c 73 75 62 3e 31 31 3c 2f 73 75 62 3e 20 2b b<sub>11</sub> +
7110: 20 0d 0a 61 3c 73 75 62 3e 32 32 3c 2f 73 75 62 ..a<sub>22</sub
7120: 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e 32 31 3c 2f 73 75 62 3e >*b<sub>21</sub>
7130: 20 2b 20 0d 0a 61 3c 73 75 62 3e 32 33 3c 2f 73 + ..a<sub>23</s
7140: 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e 33 31 3c 2f 73 75 ub>*b<sub>31</su
7150: 62 3e 20 2b 20 0d 0a 61 3c 73 75 62 3e 32 34 3c b> + ..a<sub>24<
7160: 2f 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e 34 31 3c 2f /sub>*b<sub>41</
7170: 73 75 62 3e 29 3c 2f 74 64 3e 0d 0a 3c 74 64 3e sub>)</td>..<td>
7180: 28 61 3c 73 75 62 3e 32 31 3c 2f 73 75 62 3e 2a (a<sub>21</sub>*
7190: 62 3c 73 75 62 3e 31 32 3c 2f 73 75 62 3e 20 2b b<sub>12</sub> +
71a0: 20 0d 0a 61 3c 73 75 62 3e 32 32 3c 2f 73 75 62 ..a<sub>22</sub
71b0: 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e 32 32 3c 2f 73 75 62 3e >*b<sub>22</sub>
71c0: 20 2b 20 0d 0a 61 3c 73 75 62 3e 32 33 3c 2f 73 + ..a<sub>23</s
71d0: 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e 33 32 3c 2f 73 75 ub>*b<sub>32</su
71e0: 62 3e 20 2b 0d 0a 61 3c 73 75 62 3e 32 34 3c 2f b> +..a<sub>24</
71f0: 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e 34 32 3c 2f 73 sub>*b<sub>42</s
7200: 75 62 3e 29 3c 2f 74 64 3e 0d 0a 3c 74 64 3e 28 ub>)</td>..<td>(
7210: 61 3c 73 75 62 3e 32 31 3c 2f 73 75 62 3e 2a 62 a<sub>21</sub>*b
7220: 3c 73 75 62 3e 31 33 3c 2f 73 75 62 3e 20 2b 20 <sub>13</sub> +
7230: 0d 0a 61 3c 73 75 62 3e 32 32 3c 2f 73 75 62 3e ..a<sub>22</sub>
7240: 2a 62 3c 73 75 62 3e 32 33 3c 2f 73 75 62 3e 20 *b<sub>23</sub>
7250: 2b 20 0d 0a 61 3c 73 75 62 3e 32 33 3c 2f 73 75 + ..a<sub>23</su
7260: 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e 33 33 3c 2f 73 75 62 b>*b<sub>33</sub
7270: 3e 20 2b 0d 0a 61 3c 73 75 62 3e 32 34 3c 2f 73 > +..a<sub>24</s
7280: 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e 34 33 3c 2f 73 75 ub>*b<sub>43</su
7290: 62 3e 29 3c 2f 74 64 3e 0d 0a 3c 74 64 3e 28 61 b>)</td>..<td>(a
72a0: 3c 73 75 62 3e 32 31 3c 2f 73 75 62 3e 2a 62 3c <sub>21</sub>*b<
72b0: 73 75 62 3e 31 34 3c 2f 73 75 62 3e 20 2b 20 0d sub>14</sub> + .
72c0: 0a 61 3c 73 75 62 3e 32 32 3c 2f 73 75 62 3e 2a .a<sub>22</sub>*
72d0: 62 3c 73 75 62 3e 32 34 3c 2f 73 75 62 3e 20 2b b<sub>24</sub> +
72e0: 20 0d 0a 61 3c 73 75 62 3e 32 33 3c 2f 73 75 62 ..a<sub>23</sub
72f0: 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e 33 34 3c 2f 73 75 62 3e >*b<sub>34</sub>
7300: 20 2b 0d 0a 61 3c 73 75 62 3e 32 34 3c 2f 73 75 +..a<sub>24</su
7310: 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e 34 34 3c 2f 73 75 62 b>*b<sub>44</sub
7320: 3e 29 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 3e 7c 3c 2f 74 64 >)</td><td>|</td
7330: 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 3e ></tr>..<tr><td>
7340: 7c 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d |</td><td align=
7350: 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 0d 0a 28 61 3c 73 75 "center">..(a<su
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73a0: 61 3c 73 75 62 3e 33 33 3c 2f 73 75 62 3e 2a 62 a<sub>33</sub>*b
73b0: 3c 73 75 62 3e 33 31 3c 2f 73 75 62 3e 20 2b 20 <sub>31</sub> +
73c0: 0d 0a 61 3c 73 75 62 3e 33 34 3c 2f 73 75 62 3e ..a<sub>34</sub>
73d0: 2a 62 3c 73 75 62 3e 34 31 3c 2f 73 75 62 3e 29 *b<sub>41</sub>)
73e0: 3c 2f 74 64 3e 0d 0a 3c 74 64 3e 28 61 3c 73 75 </td>..<td>(a<su
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7410: 73 75 62 3e 33 32 3c 2f 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 sub>32</sub>*b<s
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7430: 61 3c 73 75 62 3e 33 33 3c 2f 73 75 62 3e 2a 62 a<sub>33</sub>*b
7440: 3c 73 75 62 3e 33 32 3c 2f 73 75 62 3e 20 2b 0d <sub>32</sub> +.
7450: 0a 61 3c 73 75 62 3e 33 34 3c 2f 73 75 62 3e 2a .a<sub>34</sub>*
7460: 62 3c 73 75 62 3e 34 32 3c 2f 73 75 62 3e 29 3c b<sub>42</sub>)<
7470: 2f 74 64 3e 0d 0a 3c 74 64 3e 28 61 3c 73 75 62 /td>..<td>(a<sub
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7490: 31 33 3c 2f 73 75 62 3e 20 2b 20 0d 0a 61 3c 73 13</sub> + ..a<s
74a0: 75 62 3e 33 32 3c 2f 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 ub>32</sub>*b<su
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74c0: 3c 73 75 62 3e 33 33 3c 2f 73 75 62 3e 2a 62 3c <sub>33</sub>*b<
74d0: 73 75 62 3e 33 33 3c 2f 73 75 62 3e 20 2b 0d 0a sub>33</sub> +..
74e0: 61 3c 73 75 62 3e 33 34 3c 2f 73 75 62 3e 2a 62 a<sub>34</sub>*b
74f0: 3c 73 75 62 3e 34 33 3c 2f 73 75 62 3e 29 3c 2f <sub>43</sub>)</
7500: 74 64 3e 0d 0a 3c 74 64 3e 28 61 3c 73 75 62 3e td>..<td>(a<sub>
7510: 33 31 3c 2f 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e 31 31</sub>*b<sub>1
7520: 34 3c 2f 73 75 62 3e 20 2b 20 0d 0a 61 3c 73 75 4</sub> + ..a<su
7530: 62 3e 33 32 3c 2f 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 b>32</sub>*b<sub
7540: 3e 32 34 3c 2f 73 75 62 3e 20 2b 20 0d 0a 61 3c >24</sub> + ..a<
7550: 73 75 62 3e 33 33 3c 2f 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 sub>33</sub>*b<s
7560: 75 62 3e 33 34 3c 2f 73 75 62 3e 20 2b 0d 0a 61 ub>34</sub> +..a
7570: 3c 73 75 62 3e 33 34 3c 2f 73 75 62 3e 2a 62 3c <sub>34</sub>*b<
7580: 73 75 62 3e 34 34 3c 2f 73 75 62 3e 29 3c 2f 74 sub>44</sub>)</t
7590: 64 3e 3c 74 64 3e 7c 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 d><td>|</td></tr
75a0: 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 3e 5c 3c 2f 74 64 >..<tr><td>\</td
75b0: 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 ><td align="cent
75c0: 65 72 22 3e 0d 0a 28 61 3c 73 75 62 3e 34 31 3c er">..(a<sub>41<
75d0: 2f 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e 31 31 3c 2f /sub>*b<sub>11</
75e0: 73 75 62 3e 20 2b 20 0d 0a 61 3c 73 75 62 3e 34 sub> + ..a<sub>4
75f0: 32 3c 2f 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e 32 31 2</sub>*b<sub>21
7600: 3c 2f 73 75 62 3e 20 2b 20 0d 0a 61 3c 73 75 62 </sub> + ..a<sub
7610: 3e 34 33 3c 2f 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e >43</sub>*b<sub>
7620: 33 31 3c 2f 73 75 62 3e 20 2b 20 0d 0a 61 3c 73 31</sub> + ..a<s
7630: 75 62 3e 34 34 3c 2f 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 ub>44</sub>*b<su
7640: 62 3e 34 31 3c 2f 73 75 62 3e 29 3c 2f 74 64 3e b>41</sub>)</td>
7650: 0d 0a 3c 74 64 3e 28 61 3c 73 75 62 3e 34 31 3c ..<td>(a<sub>41<
7660: 2f 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e 31 32 3c 2f /sub>*b<sub>12</
7670: 73 75 62 3e 20 2b 20 0d 0a 61 3c 73 75 62 3e 34 sub> + ..a<sub>4
7680: 32 3c 2f 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e 32 32 2</sub>*b<sub>22
7690: 3c 2f 73 75 62 3e 20 2b 20 0d 0a 61 3c 73 75 62 </sub> + ..a<sub
76a0: 3e 34 33 3c 2f 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e >43</sub>*b<sub>
76b0: 33 32 3c 2f 73 75 62 3e 20 2b 0d 0a 61 3c 73 75 32</sub> +..a<su
76c0: 62 3e 34 34 3c 2f 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 b>44</sub>*b<sub
76d0: 3e 34 32 3c 2f 73 75 62 3e 29 3c 2f 74 64 3e 0d >42</sub>)</td>.
76e0: 0a 3c 74 64 3e 28 61 3c 73 75 62 3e 34 31 3c 2f .<td>(a<sub>41</
76f0: 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e 31 33 3c 2f 73 sub>*b<sub>13</s
7700: 75 62 3e 20 2b 20 0d 0a 61 3c 73 75 62 3e 34 32 ub> + ..a<sub>42
7710: 3c 2f 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e 32 33 3c </sub>*b<sub>23<
7720: 2f 73 75 62 3e 20 2b 20 0d 0a 61 3c 73 75 62 3e /sub> + ..a<sub>
7730: 34 33 3c 2f 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e 33 43</sub>*b<sub>3
7740: 33 3c 2f 73 75 62 3e 20 2b 0d 0a 61 3c 73 75 62 3</sub> +..a<sub
7750: 3e 34 34 3c 2f 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e >44</sub>*b<sub>
7760: 34 33 3c 2f 73 75 62 3e 29 3c 2f 74 64 3e 0d 0a 43</sub>)</td>..
7770: 3c 74 64 3e 28 61 3c 73 75 62 3e 34 31 3c 2f 73 <td>(a<sub>41</s
7780: 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e 31 34 3c 2f 73 75 ub>*b<sub>14</su
7790: 62 3e 20 2b 20 0d 0a 61 3c 73 75 62 3e 34 32 3c b> + ..a<sub>42<
77a0: 2f 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e 32 34 3c 2f /sub>*b<sub>24</
77b0: 73 75 62 3e 20 2b 20 0d 0a 61 3c 73 75 62 3e 34 sub> + ..a<sub>4
77c0: 33 3c 2f 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e 33 34 3</sub>*b<sub>34
77d0: 3c 2f 73 75 62 3e 20 2b 0d 0a 61 3c 73 75 62 3e </sub> +..a<sub>
77e0: 34 34 3c 2f 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e 34 44</sub>*b<sub>4
77f0: 34 3c 2f 73 75 62 3e 29 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 4</sub>)</td><td
7800: 3e 2f 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 2f >/</td></tr>..</
7810: 74 61 62 6c 65 3e 0d 0a 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 table>..</td></t
7820: 72 3e 3c 2f 74 61 62 6c 65 3e 0d 0a 3c 68 33 3e r></table>..<h3>
7830: 69 64 65 6e 74 69 74 79 20 6d 61 74 72 69 78 3c identity matrix<
7840: 2f 68 33 3e 0d 0a 41 6e 20 69 64 65 6e 74 69 74 /h3>..An identit
7850: 79 20 6d 61 74 72 69 78 20 73 69 6d 70 6c 79 20 y matrix simply
7860: 63 6f 72 72 65 73 70 6f 6e 64 73 20 74 6f 20 61 corresponds to a
7870: 6e 20 61 66 66 69 6e 65 20 74 72 61 6e 73 66 6f n affine transfo
7880: 72 6d 61 74 69 6f 6e 20 6c 61 63 6b 69 6e 67 20 rmation lacking
7890: 61 6e 79 20 61 63 74 75 61 6c 20 65 66 66 65 63 any actual effec
78a0: 74 3a 20 61 74 20 74 68 65 20 65 6e 64 20 6f 66 t: at the end of
78b0: 20 74 68 65 20 70 72 6f 63 65 73 73 20 74 68 65 the process the
78c0: 20 74 72 61 6e 73 66 6f 72 6d 65 64 20 67 65 6f transformed geo
78d0: 6d 65 74 72 79 20 77 69 6c 6c 20 62 65 20 65 78 metry will be ex
78e0: 61 63 74 6c 79 20 74 68 65 20 73 61 6d 65 20 61 actly the same a
78f0: 73 20 62 65 66 6f 72 65 2e 3c 62 72 3e 0d 0a 4d s before.<br>..M
7900: 6f 72 65 6f 76 65 72 20 61 6e 20 69 64 65 6e 74 oreover an ident
7910: 69 74 79 20 6d 61 74 72 69 78 20 70 6c 61 79 73 ity matrix plays
7920: 20 61 20 73 70 65 63 69 61 6c 20 72 6f 6c 65 20 a special role
7930: 69 6e 20 6d 75 6c 74 69 70 6c 69 63 61 74 69 6f in multiplicatio
7940: 6e 3a 20 74 68 65 20 72 65 73 75 6c 74 69 6e 67 n: the resulting
7950: 20 6d 61 74 72 69 78 20 77 69 6c 6c 20 61 6c 77 matrix will alw
7960: 61 79 73 20 62 65 20 65 78 61 63 74 6c 79 20 74 ays be exactly t
7970: 68 65 20 73 61 6d 65 20 6f 66 20 74 68 65 20 6f he same of the o
7980: 74 68 65 72 20 6d 61 74 72 69 78 2e 3c 62 72 3e ther matrix.<br>
7990: 0d 0a 28 3c 69 3e 69 74 27 73 20 6d 6f 72 65 20 ..(<i>it's more
79a0: 6f 72 20 6c 65 73 73 20 74 68 65 20 65 71 75 69 or less the equi
79b0: 76 61 6c 65 6e 74 20 6f 66 20 6d 75 6c 74 69 70 valent of multip
79c0: 6c 79 69 6e 67 20 65 2e 67 2e 20 3c 62 3e 38 2a lying e.g. <b>8*
79d0: 31 3d 38 3c 2f 62 3e 20 69 6e 20 61 6e 20 6f 72 1=8</b> in an or
79e0: 64 69 6e 61 72 79 20 73 63 61 6c 61 72 20 6d 75 dinary scalar mu
79f0: 6c 74 69 70 6c 69 63 61 74 69 6f 6e 3c 2f 69 3e ltiplication</i>
7a00: 29 2e 0d 0a 3c 68 33 3e 69 6e 76 65 72 73 65 20 )...<h3>inverse
7a10: 6d 61 74 72 69 78 3c 2f 68 33 3e 0d 0a 49 66 20 matrix</h3>..If
7a20: 74 77 6f 20 28 6e 6f 6e 2d 69 64 65 6e 74 69 74 two (non-identit
7a30: 79 29 20 6d 61 74 72 69 63 65 73 20 61 72 65 20 y) matrices are
7a40: 73 75 63 68 20 74 68 61 74 20 74 68 65 69 72 20 such that their
7a50: 6d 75 6c 74 69 70 6c 69 63 61 74 69 6f 6e 20 70 multiplication p
7a60: 72 6f 64 75 63 65 73 20 61 6e 20 69 64 65 6e 74 roduces an ident
7a70: 69 74 79 20 6d 61 74 72 69 78 20 74 68 65 79 20 ity matrix they
7a80: 61 72 65 20 73 61 69 64 20 74 6f 20 62 65 20 6f are said to be o
7a90: 6e 65 20 74 68 65 20 69 6e 76 65 72 73 65 20 6f ne the inverse o
7aa0: 66 20 74 68 65 20 6f 74 68 65 72 2e 3c 62 72 3e f the other.<br>
7ab0: 0d 0a 49 6e 20 73 69 6d 70 6c 65 72 20 77 6f 72 ..In simpler wor
7ac0: 64 73 20 62 6f 74 68 20 74 68 65 6d 20 63 61 75 ds both them cau
7ad0: 73 65 20 74 68 65 20 73 61 6d 65 20 69 64 65 6e se the same iden
7ae0: 74 69 63 61 6c 20 74 72 61 73 66 6f 72 6d 61 74 tical trasformat
7af0: 69 6f 6e 73 20 62 75 74 20 69 6e 20 65 78 61 63 ions but in exac
7b00: 74 6c 79 20 6f 70 70 6f 73 69 74 65 20 77 61 79 tly opposite way
7b10: 73 2c 20 73 6f 20 74 68 61 74 20 74 68 65 20 66 s, so that the f
7b20: 69 6e 61 6c 20 63 6f 6d 62 69 6e 61 74 69 6f 6e inal combination
7b30: 20 73 69 6d 70 6c 79 20 69 73 20 61 20 6e 6f 2d simply is a no-
7b40: 6f 70 2e 3c 62 72 3e 0d 0a 3c 75 3e 50 6c 65 61 op.<br>..<u>Plea
7b50: 73 65 20 6e 6f 74 65 3c 2f 75 3e 3a 20 6e 6f 74 se note</u>: not
7b60: 20 61 6c 6c 20 41 66 66 69 6e 65 20 54 72 61 73 all Affine Tras
7b70: 66 6f 72 6d 61 74 69 6f 6e 20 6d 61 74 72 69 63 formation matric
7b80: 65 73 20 6e 65 63 65 73 73 61 72 69 6c 79 20 68 es necessarily h
7b90: 61 76 65 20 61 20 63 6f 72 72 65 73 70 6f 6e 64 ave a correspond
7ba0: 69 6e 67 20 69 6e 76 65 72 73 65 20 6d 61 74 72 ing inverse matr
7bb0: 69 78 2e 3c 62 72 3e 3c 62 72 3e 0d 0a 3c 68 72 ix.<br><br>..<hr
7bc0: 3e 0d 0a 3c 68 33 3e 42 6f 72 69 6e 67 20 53 51 >..<h3>Boring SQ
7bd0: 4c 20 66 75 6e 63 74 69 6f 6e 73 3a 20 61 20 66 L functions: a f
7be0: 6f 72 6d 61 6c 20 65 78 70 6c 61 6e 61 74 69 6f ormal explanatio
7bf0: 6e 3c 2f 68 33 3e 0d 0a 3c 74 61 62 6c 65 20 62 n</h3>..<table b
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7c50: 43 33 42 30 39 31 22 3e 53 51 4c 20 46 75 6e 63 C3B091">SQL Func
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7c80: 65 73 63 72 69 70 74 69 6f 6e 3c 2f 74 68 3e 3c escription</th><
7c90: 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 3e 3c 62 /tr>..<tr><td><b
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7cc0: 20 42 4c 4f 42 20 41 54 2d 6d 61 74 72 69 78 20 BLOB AT-matrix
7cd0: 29 20 3a 20 42 4c 4f 42 20 47 65 6f 6d 65 74 72 ) : BLOB Geometr
7ce0: 79 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 3e 57 69 6c 6c 20 72 y</td><td>Will r
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7d00: 65 74 72 79 20 62 79 20 61 70 70 6c 79 69 6e 67 etry by applying
7d10: 20 61 6e 20 41 66 66 69 6e 65 20 54 72 61 6e 73 an Affine Trans
7d20: 66 6f 72 6d 61 74 69 6f 6e 20 74 6f 20 74 68 65 formation to the
7d30: 20 69 6e 70 75 74 20 47 65 6f 6d 65 74 72 79 2e input Geometry.
7d40: 3c 62 72 3e 0d 0a 54 68 65 20 6f 75 74 70 75 74 <br>..The output
7d50: 20 47 65 6f 6d 65 74 72 79 20 77 69 6c 6c 20 70 Geometry will p
7d60: 72 65 73 65 72 76 65 20 74 68 65 20 6f 72 69 67 reserve the orig
7d70: 69 6e 61 6c 20 53 52 49 44 2c 20 64 69 6d 65 6e inal SRID, dimen
7d80: 73 69 6f 6e 73 20 61 6e 64 20 74 79 70 65 2e 3c sions and type.<
7d90: 62 72 3e 0d 0a 4e 55 4c 4c 20 77 69 6c 6c 20 62 br>..NULL will b
7da0: 65 20 72 65 74 75 72 6e 65 64 20 6f 6e 20 69 6e e returned on in
7db0: 76 61 6c 69 64 20 61 72 67 75 6d 65 6e 74 73 2e valid arguments.
7dc0: 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 3e </td></tr>..<tr>
7dd0: 3c 74 64 3e 3c 62 3e 41 54 4d 5f 54 72 61 6e 73 <td><b>ATM_Trans
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7df0: 65 74 72 79 20 2c 20 42 4c 4f 42 20 41 54 2d 6d etry , BLOB AT-m
7e00: 61 74 72 69 78 20 2c 20 69 6e 74 20 73 72 69 64 atrix , int srid
7e10: 20 29 20 3a 20 42 4c 4f 42 20 47 65 6f 6d 65 74 ) : BLOB Geomet
7e20: 72 79 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 3e 53 61 6d 65 20 ry</td><td>Same
7e30: 61 73 20 61 62 6f 76 65 2c 20 62 75 74 20 74 68 as above, but th
7e40: 65 20 6f 75 74 70 75 74 20 47 65 6f 6d 65 74 72 e output Geometr
7e50: 79 20 77 69 6c 6c 20 61 73 73 75 6d 65 20 74 68 y will assume th
7e60: 65 20 65 78 70 6c 69 63 69 74 6c 79 20 73 65 74 e explicitly set
7e70: 20 53 52 49 44 2e 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e SRID.</td></tr>
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7ec0: 6c 6c 20 63 68 65 63 6b 20 69 66 20 61 20 42 4c ll check if a BL
7ed0: 4f 42 20 64 6f 20 72 65 61 6c 6c 79 20 63 6f 72 OB do really cor
7ee0: 72 65 73 70 6f 6e 64 20 74 6f 20 61 6e 20 65 6e respond to an en
7ef0: 63 6f 64 65 64 20 41 66 66 69 6e 65 20 54 72 61 coded Affine Tra
7f00: 6e 73 66 6f 72 6d 61 74 69 6f 6e 20 4d 61 74 72 nsformation Matr
7f10: 69 78 20 74 68 65 6e 20 72 65 74 75 72 6e 69 6e ix then returnin
7f20: 67 20 54 52 55 45 20 6f 72 20 46 41 4c 53 45 2e g TRUE or FALSE.
7f30: 3c 62 72 3e 0d 0a 2d 31 20 77 69 6c 6c 20 62 65 <br>..-1 will be
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7f50: 20 61 72 67 75 6d 65 6e 74 20 69 73 6e 27 74 20 argument isn't
7f60: 6f 66 20 74 68 65 20 42 4c 4f 42 20 74 79 70 65 of the BLOB type
7f70: 2e 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 .</td></tr>..<tr
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7fa0: 72 69 78 20 29 20 3a 20 54 45 58 54 3c 2f 74 64 rix ) : TEXT</td
7fb0: 3e 3c 74 64 3e 57 69 6c 6c 20 72 65 74 75 72 6e ><td>Will return
7fc0: 20 61 20 74 65 78 74 20 73 65 72 69 61 6c 69 7a a text serializ
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7fe0: 6e 20 6f 66 20 74 68 65 20 4d 61 74 72 69 78 2e n of the Matrix.
7ff0: 3c 62 72 3e 0d 0a 4e 55 4c 4c 20 77 69 6c 6c 20 <br>..NULL will
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8010: 6e 76 61 6c 69 64 20 61 72 67 75 6d 65 6e 74 73 nvalid arguments
8020: 2e 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 .</td></tr>..<tr
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8070: 74 69 6f 6e 73 20 6f 6e 20 41 66 66 69 6e 65 20 tions on Affine
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8090: 61 74 72 69 78 3c 2f 74 68 3e 3c 2f 74 72 3e 0d atrix</th></tr>.
80a0: 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 3e 3c 62 3e 41 54 4d 5f .<tr><td><b>ATM_
80b0: 4d 75 6c 74 69 70 6c 79 20 28 20 42 4c 4f 42 20 Multiply ( BLOB
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8130: 72 65 73 75 6c 74 69 6e 67 20 4d 61 74 72 69 78 resulting Matrix
8140: 2e 3c 62 72 3e 0d 0a 4e 55 4c 4c 20 77 69 6c 6c .<br>..NULL will
8150: 20 62 65 20 72 65 74 75 72 6e 65 64 20 6f 6e 20 be returned on
8160: 69 6e 76 61 6c 69 64 20 61 72 67 75 6d 65 6e 74 invalid argument
8170: 73 2e 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 s.</td></tr>..<t
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81b0: 75 62 6c 65 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 3e 57 69 6c uble</td><td>Wil
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81d0: 68 72 65 66 3d 22 68 74 74 70 3a 2f 2f 65 6e 2e href="http://en.
81e0: 77 69 6b 69 70 65 64 69 61 2e 6f 72 67 2f 77 69 wikipedia.org/wi
81f0: 6b 69 2f 44 65 74 65 72 6d 69 6e 61 6e 74 22 3e ki/Determinant">
8200: 64 65 74 65 72 6d 69 6e 61 6e 74 3c 2f 61 3e 20 determinant</a>
8210: 6f 66 20 74 68 65 20 4d 61 74 72 69 78 2e 3c 62 of the Matrix.<b
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8230: 20 72 65 74 75 72 6e 65 64 20 6f 6e 20 69 6e 76 returned on inv
8240: 61 6c 69 64 20 61 72 67 75 6d 65 6e 74 2e 3c 2f alid argument.</
8250: 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 td></tr>..<tr><t
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8280: 6d 61 74 72 69 78 20 29 20 3a 20 62 6f 6f 6c 65 matrix ) : boole
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82a0: 72 65 74 75 72 6e 20 31 20 3c 62 3e 54 52 55 45 return 1 <b>TRUE
82b0: 3c 2f 62 3e 20 69 66 20 74 68 65 20 41 66 66 69 </b> if the Affi
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82d0: 6e 20 6d 61 74 72 69 78 20 63 61 6e 20 62 65 20 n matrix can be
82e0: 69 6e 76 65 72 74 65 64 2c 20 30 20 3c 62 3e 46 inverted, 0 <b>F
82f0: 41 4c 53 45 3c 2f 62 3e 20 69 66 20 6e 6f 74 20 ALSE</b> if not
8300: 28 3c 69 3e 6f 6e 6c 79 20 6d 61 74 72 69 63 65 (<i>only matrice
8310: 73 20 70 72 65 73 65 6e 74 69 6e 67 20 61 20 64 s presenting a d
8320: 65 74 65 72 6d 69 6e 61 6e 74 20 64 69 66 66 65 eterminant diffe
8330: 72 65 6e 74 20 66 72 6f 6d 20 7a 65 72 6f 20 63 rent from zero c
8340: 61 6e 20 62 65 20 69 6e 76 65 72 74 65 64 3c 2f an be inverted</
8350: 69 3e 29 2e 3c 62 72 3e 0d 0a 4e 55 4c 4c 20 77 i>).<br>..NULL w
8360: 69 6c 6c 20 62 65 20 72 65 74 75 72 6e 65 64 20 ill be returned
8370: 6f 6e 20 69 6e 76 61 6c 69 64 20 61 72 67 75 6d on invalid argum
8380: 65 6e 74 2e 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a ent.</td></tr>..
8390: 3c 74 72 3e 3c 74 64 3e 3c 62 3e 41 54 4d 5f 49 <tr><td><b>ATM_I
83a0: 6e 76 65 72 74 20 28 20 42 4c 4f 42 20 41 54 2d nvert ( BLOB AT-
83b0: 6d 61 74 72 69 78 20 29 20 3a 20 42 4c 4f 42 20 matrix ) : BLOB
83c0: 41 54 2d 6d 61 74 72 69 78 3c 2f 74 64 3e 3c 74 AT-matrix</td><t
83d0: 64 3e 57 69 6c 6c 20 72 65 74 75 72 6e 20 74 68 d>Will return th
83e0: 65 20 3c 61 20 68 72 65 66 3d 22 68 74 74 70 3a e <a href="http:
83f0: 2f 2f 65 6e 2e 77 69 6b 69 70 65 64 69 61 2e 6f //en.wikipedia.o
8400: 72 67 2f 77 69 6b 69 2f 49 6e 76 65 72 74 69 62 rg/wiki/Invertib
8410: 6c 65 5f 6d 61 74 72 69 78 22 3e 69 6e 76 65 72 le_matrix">inver
8420: 73 65 3c 2f 61 3e 20 6d 61 74 72 69 78 2e 3c 62 se</a> matrix.<b
8430: 72 3e 0d 0a 4e 55 4c 4c 20 77 69 6c 6c 20 62 65 r>..NULL will be
8440: 20 72 65 74 75 72 6e 65 64 20 6f 6e 20 69 6e 76 returned on inv
8450: 61 6c 69 64 20 61 72 67 75 6d 65 6e 74 2e 3c 2f alid argument.</
8460: 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 td></tr>..<tr><t
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8490: 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 53 align="center">S
84a0: 51 4c 20 66 75 6e 63 74 69 6f 6e 73 20 63 72 65 QL functions cre
84b0: 61 74 69 6e 67 20 61 6e 64 20 69 6e 69 74 69 61 ating and initia
84c0: 6c 69 7a 69 6e 67 20 61 20 6e 65 77 20 41 66 66 lizing a new Aff
84d0: 69 6e 65 20 54 72 61 6e 73 66 6f 72 6d 61 74 69 ine Transformati
84e0: 6f 6e 20 4d 61 74 72 69 78 3c 2f 74 68 3e 3c 2f on Matrix</th></
84f0: 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 3e 3c 62 3e tr>..<tr><td><b>
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8520: 74 72 69 78 3c 2f 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 trix</b></td><td
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8580: 63 75 72 73 2e 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d curs.</td></tr>.
8590: 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 3e 3c 62 3e 41 54 4d 5f .<tr><td><b>ATM_
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85d0: 20 65 20 2c 20 64 6f 75 62 6c 65 20 78 6f 66 66 e , double xoff
85e0: 20 2c 20 64 6f 75 62 6c 65 20 79 6f 66 66 20 29 , double yoff )
85f0: 20 3a 20 42 4c 4f 42 20 41 54 2d 6d 61 74 72 69 : BLOB AT-matri
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8630: 74 69 6f 6e 20 4d 61 74 72 69 78 20 69 6e 69 74 tion Matrix init
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8670: 72 72 6f 72 20 6f 63 63 75 72 73 20 6f 72 20 6f rror occurs or o
8680: 6e 20 69 6e 76 61 6c 69 64 20 61 72 67 75 6d 65 n invalid argume
8690: 6e 74 73 2e 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a nts.</td></tr>..
86a0: 3c 74 72 3e 3c 74 64 3e 3c 62 3e 41 54 4d 5f 43 <tr><td><b>ATM_C
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86f0: 6f 75 62 6c 65 20 66 20 2c 20 64 6f 75 62 6c 65 ouble f , double
8700: 20 67 20 2c 20 64 6f 75 62 6c 65 20 68 20 2c 20 g , double h ,
8710: 64 6f 75 62 6c 65 20 69 20 2c 20 64 6f 75 62 6c double i , doubl
8720: 65 20 78 6f 66 66 20 2c 20 64 6f 75 62 6c 65 20 e xoff , double
8730: 79 6f 66 66 20 2c 20 64 6f 75 62 6c 65 20 64 6f yoff , double do
8740: 75 62 6c 65 20 7a 6f 66 66 20 29 20 3a 20 42 4c uble zoff ) : BL
8750: 4f 42 20 41 54 2d 6d 61 74 72 69 78 3c 2f 62 3e OB AT-matrix</b>
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8790: 4d 61 74 72 69 78 20 69 6e 69 74 69 61 6c 69 7a Matrix initializ
87a0: 65 64 20 77 69 74 68 20 65 78 70 6c 69 63 69 74 ed with explicit
87b0: 20 76 61 6c 75 65 73 2e 3c 62 72 3e 0d 0a 4e 55 values.<br>..NU
87c0: 4c 4c 20 69 66 20 61 6e 79 20 65 72 72 6f 72 20 LL if any error
87d0: 6f 63 63 75 72 73 20 6f 72 20 6f 6e 20 69 6e 76 occurs or on inv
87e0: 61 6c 69 64 20 61 72 67 75 6d 65 6e 74 73 2e 3c alid arguments.<
87f0: 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c /td></tr>..<tr><
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8820: 6c 65 20 74 78 20 2c 20 64 6f 75 62 6c 65 20 74 le tx , double t
8830: 79 20 29 20 3a 20 42 4c 4f 42 20 41 54 2d 6d 61 y ) : BLOB AT-ma
8840: 74 72 69 78 3c 2f 62 3e 3c 62 72 3e 0d 0a 3c 62 trix</b><br>..<b
8850: 3e 41 54 4d 5f 43 72 65 61 74 65 54 72 61 6e 73 >ATM_CreateTrans
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8870: 20 2c 20 64 6f 75 62 6c 65 20 74 79 20 2c 20 64 , double ty , d
8880: 6f 75 62 6c 65 20 74 7a 20 29 20 3a 20 42 4c 4f ouble tz ) : BLO
8890: 42 20 41 54 2d 6d 61 74 72 69 78 3c 2f 62 3e 3c B AT-matrix</b><
88a0: 2f 74 64 3e 3c 74 64 3e 57 69 6c 6c 20 72 65 74 /td><td>Will ret
88b0: 75 72 6e 20 61 6e 20 41 66 66 69 6e 65 20 54 72 urn an Affine Tr
88c0: 61 6e 73 66 6f 72 6d 61 74 69 6f 6e 20 4d 61 74 ansformation Mat
88d0: 72 69 78 20 69 6e 69 74 69 61 6c 69 7a 65 64 20 rix initialized
88e0: 72 65 73 70 65 63 74 69 76 65 6c 79 20 61 73 20 respectively as
88f0: 61 20 32 44 20 6f 72 20 33 44 20 54 72 61 6e 73 a 2D or 3D Trans
8900: 6c 61 74 65 2e 3c 62 72 3e 0d 0a 4e 55 4c 4c 20 late.<br>..NULL
8910: 69 66 20 61 6e 79 20 65 72 72 6f 72 20 6f 63 63 if any error occ
8920: 75 72 73 20 6f 72 20 6f 6e 20 69 6e 76 61 6c 69 urs or on invali
8930: 64 20 61 72 67 75 6d 65 6e 74 73 2e 3c 2f 74 64 d arguments.</td
8940: 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 3e ></tr>..<tr><td>
8950: 3c 62 3e 41 54 4d 5f 43 72 65 61 74 65 53 63 61 <b>ATM_CreateSca
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8970: 20 64 6f 75 62 6c 65 20 73 79 20 29 20 3a 20 42 double sy ) : B
8980: 4c 4f 42 20 41 54 2d 6d 61 74 72 69 78 3c 2f 62 LOB AT-matrix</b
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89b0: 6c 65 20 73 78 20 2c 20 64 6f 75 62 6c 65 20 73 le sx , double s
89c0: 79 20 2c 20 64 6f 75 62 6c 65 20 73 7a 20 29 20 y , double sz )
89d0: 3a 20 42 4c 4f 42 20 41 54 2d 6d 61 74 72 69 78 : BLOB AT-matrix
89e0: 3c 2f 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 3e 57 69 6c </b></td><td>Wil
89f0: 6c 20 72 65 74 75 72 6e 20 61 6e 20 41 66 66 69 l return an Affi
8a00: 6e 65 20 54 72 61 6e 73 66 6f 72 6d 61 74 69 6f ne Transformatio
8a10: 6e 20 4d 61 74 72 69 78 20 69 6e 69 74 69 61 6c n Matrix initial
8a20: 69 7a 65 64 20 72 65 73 70 65 63 74 69 76 65 6c ized respectivel
8a30: 79 20 61 73 20 61 20 32 44 20 6f 72 20 33 44 20 y as a 2D or 3D
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8a50: 20 69 66 20 61 6e 79 20 65 72 72 6f 72 20 6f 63 if any error oc
8a60: 63 75 72 73 20 6f 72 20 6f 6e 20 69 6e 76 61 6c curs or on inval
8a70: 69 64 20 61 72 67 75 6d 65 6e 74 73 2e 2e 3c 2f id arguments..</
8a80: 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 td></tr>..<tr><t
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8aa0: 6f 74 61 74 65 20 28 20 64 6f 75 62 6c 65 20 61 otate ( double a
8ab0: 6e 67 6c 65 49 6e 44 65 67 72 65 65 73 20 29 20 ngleInDegrees )
8ac0: 3a 20 42 4c 4f 42 20 41 54 2d 6d 61 74 72 69 78 : BLOB AT-matrix
8ad0: 3c 2f 62 3e 3c 62 72 3e 0d 0a 3c 62 3e 41 54 4d </b><br>..<b>ATM
8ae0: 5f 43 72 65 61 74 65 5a 52 6f 6c 6c 20 28 20 64 _CreateZRoll ( d
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8b00: 72 65 65 73 20 29 20 3a 20 42 4c 4f 42 20 41 54 rees ) : BLOB AT
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8ee0: 6f 63 63 75 72 73 20 6f 72 20 6f 6e 20 69 6e 76 occurs or on inv
8ef0: 61 6c 69 64 20 61 72 67 75 6d 65 6e 74 73 2e 3c alid arguments.<
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9040: 6d 61 74 72 69 78 3c 2f 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c matrix</b></td><
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90b0: 20 61 6e 6f 74 68 65 72 20 41 66 66 69 6e 65 20 another Affine
90c0: 54 72 61 6e 73 66 6f 72 6d 61 74 69 6f 6e 2e 3c Transformation.<
90d0: 62 72 3e 0d 0a 4e 55 4c 4c 20 69 66 20 61 6e 79 br>..NULL if any
90e0: 20 65 72 72 6f 72 20 6f 63 63 75 72 73 20 6f 72 error occurs or
90f0: 20 6f 6e 20 69 6e 76 61 6c 69 64 20 61 72 67 75 on invalid argu
9100: 6d 65 6e 74 73 2e 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e ments.</td></tr>
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91e0: 6e 65 20 54 72 61 6e 73 66 6f 72 6d 61 74 69 6f ne Transformatio
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9240: 74 69 6f 6e 2e 3c 62 72 3e 0d 0a 4e 55 4c 4c 20 tion.<br>..NULL
9250: 69 66 20 61 6e 79 20 65 72 72 6f 72 20 6f 63 63 if any error occ
9260: 75 72 73 20 6f 72 20 6f 6e 20 69 6e 76 61 6c 69 urs or on invali
9270: 64 20 61 72 67 75 6d 65 6e 74 73 2e 2e 3c 2f 74 d arguments..</t
9280: 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 d></tr>..<tr><td
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9300: 78 20 2c 20 64 6f 75 62 6c 65 20 61 6e 67 6c 65 x , double angle
9310: 49 6e 44 65 67 72 65 65 73 20 29 20 3a 20 42 4c InDegrees ) : BL
9320: 4f 42 20 41 54 2d 6d 61 74 72 69 78 3c 2f 62 3e OB AT-matrix</b>
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93d0: 72 20 6f 6e 20 69 6e 76 61 6c 69 64 20 61 72 67 r on invalid arg
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