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44c0: 29 3c 2f 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c )</b></td><td al
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44e0: 2d 73 69 6e 28 26 74 68 65 74 61 3b 29 3c 2f 62 -sin(θ)</b
44f0: 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d ></td><td align=
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4510: 74 64 3e 5c 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a td>\</td></tr>..
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45d0: 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 </td><td align="
45e0: 63 65 6e 74 65 72 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 center">0</td><t
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4690: 6c 79 20 6e 6f 74 69 63 65 20 74 68 65 72 65 20 ly notice there
46a0: 69 73 20 61 6e 20 6f 62 76 69 6f 75 73 20 64 69 is an obvious di
46b0: 72 65 63 74 20 72 65 6c 61 74 69 6f 6e 20 62 65 rect relation be
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4800: 66 66 3c 2f 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 3e 5c ff</b></td><td>\
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5240: 26 74 68 65 74 61 3b 3c 2f 62 3e 29 3c 2f 74 64 θ</b>)</td
5250: 3e 0d 0a 3c 74 64 3e 2f 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 >..<td>/</td><td
5260: 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e align="center">
5270: 31 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 1</td><td align=
5280: 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c "center">0</td><
5290: 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 td align="center
52a0: 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 ">0</td><td alig
52b0: 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 30 3c 2f 74 64 n="center">0</td
52c0: 3e 3c 74 64 3e 5c 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e ><td>\</td></tr>
52d0: 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 3e 7c 3c 2f 74 64 3e ..<tr><td>|</td>
52e0: 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 <td align="cente
52f0: 72 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 r">0</td><td ali
5300: 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 3c 62 3e 63 gn="center"><b>c
5310: 6f 73 28 26 74 68 65 74 61 3b 29 3c 2f 62 3e 3c os(θ)</b><
5320: 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 /td><td align="c
5330: 65 6e 74 65 72 22 3e 3c 62 3e 2d 73 69 6e 28 26 enter"><b>-sin(&
5340: 74 68 65 74 61 3b 29 3c 2f 62 3e 3c 2f 74 64 3e theta;)</b></td>
5350: 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 <td align="cente
5360: 72 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 3e 7c 3c 2f r">0</td><td>|</
5370: 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 td></tr>..<tr><t
5380: 64 3e 7c 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 d>|</td><td alig
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53a0: 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 ><td align="cent
53b0: 65 72 22 3e 3c 62 3e 73 69 6e 28 26 74 68 65 74 er"><b>sin(&thet
53c0: 61 3b 29 3c 2f 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 a;)</b></td><td
53d0: 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 3c align="center"><
53e0: 62 3e 63 6f 73 28 26 74 68 65 74 61 3b 29 3c 2f b>cos(θ)</
53f0: 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e b></td><td align
5400: 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e ="center">0</td>
5410: 3c 74 64 3e 7c 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d <td>|</td></tr>.
5420: 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 3e 5c 3c 2f 74 64 3e 3c .<tr><td>\</td><
5430: 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 td align="center
5440: 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 ">0</td><td alig
5450: 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 30 3c 2f 74 64 n="center">0</td
5460: 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 ><td align="cent
5470: 65 72 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c er">0</td><td al
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5490: 74 64 3e 3c 74 64 3e 2f 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 td><td>/</td></t
54a0: 72 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 20 63 6f 6c 73 r>..<tr><td cols
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54c0: 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 20 ></tr>..<tr><td
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54e0: 67 6e 3d 22 6d 69 64 64 6c 65 22 3e 59 20 52 6f gn="middle">Y Ro
54f0: 6c 6c 28 3c 62 3e 26 74 68 65 74 61 3b 3c 2f 62 ll(<b>θ</b
5500: 3e 29 3c 2f 74 64 3e 0d 0a 3c 74 64 3e 2f 3c 2f >)</td>..<td>/</
5510: 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 td><td align="ce
5520: 6e 74 65 72 22 3e 3c 62 3e 63 6f 73 28 26 74 68 nter"><b>cos(&th
5530: 65 74 61 3b 29 3c 2f 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 eta;)</b></td><t
5540: 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 d align="center"
5550: 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e >0</td><td align
5560: 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 3c 62 3e 73 69 6e ="center"><b>sin
5570: 28 26 74 68 65 74 61 3b 29 3c 2f 62 3e 3c 2f 74 (θ)</b></t
5580: 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e d><td align="cen
5590: 74 65 72 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 3e 5c ter">0</td><td>\
55a0: 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 3e </td></tr>..<tr>
55b0: 3c 74 64 3e 7c 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c <td>|</td><td al
55c0: 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 30 3c 2f ign="center">0</
55d0: 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 td><td align="ce
55e0: 6e 74 65 72 22 3e 31 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 nter">1</td><td
55f0: 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 30 align="center">0
5600: 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 </td><td align="
5610: 63 65 6e 74 65 72 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 center">0</td><t
5620: 64 3e 7c 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c d>|</td></tr>..<
5630: 74 72 3e 3c 74 64 3e 7c 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 tr><td>|</td><td
5640: 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e align="center">
5650: 3c 62 3e 2d 73 69 6e 28 26 74 68 65 74 61 3b 29 <b>-sin(θ)
5660: 3c 2f 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 </b></td><td ali
5670: 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 30 3c 2f 74 gn="center">0</t
5680: 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e d><td align="cen
5690: 74 65 72 22 3e 3c 62 3e 63 6f 73 28 26 74 68 65 ter"><b>cos(&the
56a0: 74 61 3b 29 3c 2f 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 ta;)</b></td><td
56b0: 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e align="center">
56c0: 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 3e 7c 3c 2f 74 64 3e 0</td><td>|</td>
56d0: 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 3e 5c </tr>..<tr><td>\
56e0: 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 </td><td align="
56f0: 63 65 6e 74 65 72 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 center">0</td><t
5700: 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 d align="center"
5710: 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e >0</td><td align
5720: 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e ="center">0</td>
5730: 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 <td align="cente
5740: 72 22 3e 31 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 3e 2f 3c 2f r">1</td><td>/</
5750: 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 td></tr>..<tr><t
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5770: 72 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 r></td></tr>..<t
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57b0: 74 61 3b 3c 2f 62 3e 29 3c 2f 74 64 3e 0d 0a 3c ta;</b>)</td>..<
57c0: 74 64 3e 2f 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 td>/</td><td ali
57d0: 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 3c 62 3e 63 gn="center"><b>c
57e0: 6f 73 28 26 74 68 65 74 61 3b 29 3c 2f 62 3e 3c os(θ)</b><
57f0: 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 /td><td align="c
5800: 65 6e 74 65 72 22 3e 3c 62 3e 2d 73 69 6e 28 26 enter"><b>-sin(&
5810: 74 68 65 74 61 3b 29 3c 2f 62 3e 3c 2f 74 64 3e theta;)</b></td>
5820: 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 <td align="cente
5830: 72 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 r">0</td><td ali
5840: 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 30 3c 2f 74 gn="center">0</t
5850: 64 3e 3c 74 64 3e 5c 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 d><td>\</td></tr
5860: 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 3e 7c 3c 2f 74 64 >..<tr><td>|</td
5870: 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 ><td align="cent
5880: 65 72 22 3e 3c 62 3e 73 69 6e 28 26 74 68 65 74 er"><b>sin(&thet
5890: 61 3b 29 3c 2f 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 a;)</b></td><td
58a0: 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 3c align="center"><
58b0: 62 3e 63 6f 73 28 26 74 68 65 74 61 3b 29 3c 2f b>cos(θ)</
58c0: 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e b></td><td align
58d0: 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e ="center">0</td>
58e0: 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 <td align="cente
58f0: 72 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 3e 7c 3c 2f r">0</td><td>|</
5900: 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 td></tr>..<tr><t
5910: 64 3e 7c 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 d>|</td><td alig
5920: 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 30 3c 2f 74 64 n="center">0</td
5930: 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 ><td align="cent
5940: 65 72 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c er">0</td><td al
5950: 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 31 3c 2f ign="center">1</
5960: 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 td><td align="ce
5970: 6e 74 65 72 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 3e nter">0</td><td>
5980: 7c 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 |</td></tr>..<tr
5990: 3e 3c 74 64 3e 5c 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 ><td>\</td><td a
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59c0: 65 6e 74 65 72 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 enter">0</td><td
59d0: 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e align="center">
59e0: 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 0</td><td align=
59f0: 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 31 3c 2f 74 64 3e 3c "center">1</td><
5a00: 74 64 3e 2f 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a td>/</td></tr>..
5a10: 3c 74 72 3e 3c 74 64 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 <tr><td></td></t
5a20: 72 3e 0d 0a 3c 2f 74 61 62 6c 65 3e 0d 0a 3c 62 r>..</table>..<b
5a30: 72 3e 3c 68 72 3e 0d 0a 3c 68 33 3e 61 70 70 6c r><hr>..<h3>appl
5a40: 79 69 6e 67 20 61 6e 20 41 66 66 69 6e 65 20 54 ying an Affine T
5a50: 72 61 6e 73 66 6f 72 6d 61 74 69 6f 6e 3c 2f 68 ransformation</h
5a60: 33 3e 0d 0a 49 6e 20 6f 72 64 65 72 20 74 6f 20 3>..In order to
5a70: 6d 61 74 65 72 69 61 6c 69 7a 65 20 61 6e 20 61 materialize an a
5a80: 66 66 69 6e 65 20 74 72 61 6e 73 66 6f 72 6d 61 ffine transforma
5a90: 74 69 6f 6e 20 77 65 20 73 69 6d 70 6c 79 20 68 tion we simply h
5aa0: 61 76 65 20 74 6f 20 63 6f 6d 70 75 74 65 20 20 ave to compute
5ab0: 3c 62 3e 28 78 27 2c 20 79 27 2c 20 7a 27 29 3c <b>(x', y', z')<
5ac0: 2f 62 3e 20 63 6f 6f 72 64 69 6e 61 74 65 73 20 /b> coordinates
5ad0: 73 74 61 72 74 69 6e 67 20 66 72 6f 6d 20 3c 62 starting from <b
5ae0: 3e 28 78 2c 20 79 2c 20 7a 29 3c 2f 62 3e 20 66 >(x, y, z)</b> f
5af0: 6f 72 20 65 76 65 72 79 20 70 6f 69 6e 74 20 6f or every point o
5b00: 72 20 76 65 72 74 65 78 20 66 6f 75 6e 64 20 69 r vertex found i
5b10: 6e 20 74 68 65 20 69 6e 70 75 74 20 47 65 6f 6d n the input Geom
5b20: 65 74 72 79 20 61 63 63 6f 72 64 69 6e 67 6c 79 etry accordingly
5b30: 20 74 6f 20 74 68 65 20 66 6f 6c 6c 6f 77 69 6e to the followin
5b40: 67 20 66 6f 72 6d 75 6c 61 65 3a 0d 0a 3c 75 6c g formulae:..<ul
5b50: 3e 0d 0a 3c 6c 69 3e 3c 62 3e 78 27 20 3d 20 61 >..<li><b>x' = a
5b60: 2a 78 20 2b 20 62 2a 79 20 2b 20 63 2a 7a 20 2b *x + b*y + c*z +
5b70: 20 78 6f 66 66 3c 2f 62 3e 3c 2f 6c 69 3e 0d 0a xoff</b></li>..
5b80: 3c 6c 69 3e 3c 62 3e 79 27 20 3d 20 64 2a 78 20 <li><b>y' = d*x
5b90: 2b 20 65 2a 79 20 2b 20 66 2a 7a 20 2b 20 79 6f + e*y + f*z + yo
5ba0: 66 66 3c 2f 62 3e 3c 2f 6c 69 3e 0d 0a 3c 6c 69 ff</b></li>..<li
5bb0: 3e 3c 62 3e 7a 27 20 3d 20 67 2a 78 20 2b 20 68 ><b>z' = g*x + h
5bc0: 2a 79 20 2b 20 69 2a 7a 20 2b 20 7a 6f 66 66 3c *y + i*z + zoff<
5bd0: 2f 62 3e 3c 2f 6c 69 3e 0d 0a 3c 2f 75 6c 3e 3c /b></li>..</ul><
5be0: 62 72 3e 0d 0a 69 6e 20 74 68 65 20 73 69 6d 70 br>..in the simp
5bf0: 6c 65 72 20 3c 62 3e 32 44 3c 2f 62 3e 20 63 61 ler <b>2D</b> ca
5c00: 73 65 20 74 68 69 73 20 77 69 6c 6c 20 61 73 73 se this will ass
5c10: 75 6d 65 20 74 68 65 20 72 65 64 75 63 65 64 20 ume the reduced
5c20: 66 6f 72 6d 3a 0d 0a 3c 75 6c 3e 0d 0a 3c 6c 69 form:..<ul>..<li
5c30: 3e 3c 62 3e 78 27 20 3d 20 61 2a 78 20 2b 20 62 ><b>x' = a*x + b
5c40: 2a 79 20 2b 20 78 6f 66 66 3c 2f 62 3e 3c 2f 6c *y + xoff</b></l
5c50: 69 3e 0d 0a 3c 6c 69 3e 3c 62 3e 79 27 20 3d 20 i>..<li><b>y' =
5c60: 64 2a 78 20 2b 20 65 2a 79 20 2b 20 79 6f 66 66 d*x + e*y + yoff
5c70: 3c 2f 62 3e 3c 2f 6c 69 3e 0d 0a 3c 2f 75 6c 3e </b></li>..</ul>
5c80: 3c 62 72 3e 0d 0a 41 73 20 79 6f 75 20 63 61 6e <br>..As you can
5c90: 20 6e 6f 74 69 63 65 2c 20 61 70 70 6c 79 69 6e notice, applyin
5ca0: 67 20 61 6e 20 41 66 66 69 6e 65 20 54 72 61 6e g an Affine Tran
5cb0: 73 66 6f 72 6d 61 74 69 6f 6e 20 64 6f 65 73 20 sformation does
5cc0: 6e 6f 74 20 72 65 71 75 69 72 65 73 20 63 6f 6d not requires com
5cd0: 70 75 74 69 6e 67 20 61 6e 79 20 74 72 69 67 6f puting any trigo
5ce0: 6e 6f 6d 65 74 72 69 63 20 66 75 6e 63 74 69 6f nometric functio
5cf0: 6e 2e 3c 62 72 3e 0d 0a 54 72 69 67 6f 6e 6f 6d n.<br>..Trigonom
5d00: 65 74 72 69 63 20 66 75 6e 63 74 69 6f 6e 73 20 etric functions
5d10: 61 72 65 20 76 65 72 79 20 63 6f 73 74 6c 79 20 are very costly
5d20: 69 6e 20 63 6f 6d 70 75 74 61 74 69 6f 6e 61 6c in computational
5d30: 20 74 65 72 6d 73 2c 20 73 6f 20 61 70 70 6c 79 terms, so apply
5d40: 69 6e 67 20 61 6e 20 41 66 66 69 6e 65 20 54 72 ing an Affine Tr
5d50: 61 6e 73 66 6f 72 6d 61 74 69 6f 6e 20 69 73 20 ansformation is
5d60: 61 6e 20 69 6e 74 72 69 6e 73 69 63 61 6c 6c 79 an intrinsically
5d70: 20 65 66 66 69 63 69 65 6e 74 20 6d 65 63 68 61 efficient mecha
5d80: 6e 69 73 6d 20 62 65 63 61 75 73 65 20 73 69 6d nism because sim
5d90: 70 6c 79 20 64 65 70 65 6e 64 73 20 6f 6e 20 6d ply depends on m
5da0: 75 6c 74 69 70 6c 69 63 61 74 69 6f 6e 73 20 61 ultiplications a
5db0: 6e 64 20 61 64 64 69 74 69 6f 6e 73 2e 3c 62 72 nd additions.<br
5dc0: 3e 0d 0a 3c 62 72 3e 3c 68 72 3e 0d 0a 3c 68 33 >..<br><hr>..<h3
5dd0: 3e 63 68 61 69 6e 69 6e 67 20 74 77 6f 20 28 6f >chaining two (o
5de0: 72 20 65 76 65 6e 20 6d 6f 72 65 29 20 41 66 66 r even more) Aff
5df0: 69 6e 65 20 54 72 61 6e 73 66 6f 72 6d 61 74 69 ine Transformati
5e00: 6f 6e 73 20 69 6e 20 61 20 73 69 6e 67 6c 65 20 ons in a single
5e10: 6f 70 65 72 61 74 69 6f 6e 3c 2f 68 33 3e 0d 0a operation</h3>..
5e20: 41 66 66 69 6e 65 20 74 72 61 6e 73 66 6f 72 6d Affine transform
5e30: 61 74 69 6f 6e 20 6d 61 74 72 69 63 65 73 20 68 ation matrices h
5e40: 61 76 65 20 61 6e 6f 74 68 65 72 20 61 73 74 6f ave another asto
5e50: 6e 69 73 68 69 6e 67 20 70 72 6f 70 65 72 74 79 nishing property
5e60: 2e 3c 62 72 3e 0d 0a 57 65 20 63 61 6e 20 3c 61 .<br>..We can <a
5e70: 20 68 72 65 66 3d 22 68 74 74 70 3a 2f 2f 65 6e href="http://en
5e80: 2e 77 69 6b 69 70 65 64 69 61 2e 6f 72 67 2f 77 .wikipedia.org/w
5e90: 69 6b 69 2f 4d 61 74 72 69 78 5f 6d 75 6c 74 69 iki/Matrix_multi
5ea0: 70 6c 69 63 61 74 69 6f 6e 22 3e 6d 75 6c 74 69 plication">multi
5eb0: 70 6c 79 3c 2f 61 3e 20 74 77 6f 20 64 69 66 66 ply</a> two diff
5ec0: 65 72 65 6e 74 20 61 66 66 69 6e 65 20 74 72 61 erent affine tra
5ed0: 6e 73 66 6f 72 6d 61 74 69 6f 6e 20 6d 61 74 72 nsformation matr
5ee0: 69 63 65 73 20 74 68 75 73 20 6f 62 74 61 69 6e ices thus obtain
5ef0: 69 6e 67 20 61 20 74 68 69 72 64 20 6d 61 74 72 ing a third matr
5f00: 69 78 2c 20 61 6e 64 20 74 68 69 73 20 6c 61 74 ix, and this lat
5f10: 65 73 74 20 6f 6e 63 65 20 61 70 70 6c 69 65 64 est once applied
5f20: 20 77 69 6c 6c 20 63 6f 6e 74 61 69 6e 20 62 6f will contain bo
5f30: 74 68 20 74 72 61 6e 73 66 6f 72 6d 61 74 69 6f th transformatio
5f40: 6e 73 20 61 6e 64 20 69 6e 20 74 68 65 20 72 69 ns and in the ri
5f50: 67 68 74 20 73 65 71 75 65 6e 63 65 2e 3c 62 72 ght sequence.<br
5f60: 3e 0d 0a 54 68 65 72 65 20 69 73 20 6e 6f 20 6c >..There is no l
5f70: 69 6d 69 74 3b 20 77 65 20 63 61 6e 20 69 6e 66 imit; we can inf
5f80: 69 6e 69 74 69 76 65 6c 79 20 63 68 61 69 6e 20 initively chain
5f90: 61 73 20 6d 61 6e 79 20 74 72 61 6e 73 66 6f 72 as many transfor
5fa0: 6d 61 74 69 6f 6e 73 20 61 73 20 72 65 71 75 69 mations as requi
5fb0: 72 65 64 2c 20 77 65 27 6c 6c 20 73 69 6d 70 6c red, we'll simpl
5fc0: 79 20 68 61 76 65 20 74 6f 20 63 6f 6e 74 69 6e y have to contin
5fd0: 75 65 20 6d 75 6c 74 69 70 6c 79 69 6e 67 20 61 ue multiplying a
5fe0: 6c 6c 20 6d 61 74 72 69 63 65 73 20 6f 6e 65 20 ll matrices one
5ff0: 61 66 74 65 72 20 74 68 65 20 6f 74 68 65 72 20 after the other
6000: 63 61 72 65 66 75 6c 6c 79 20 72 65 73 70 65 63 carefully respec
6010: 74 69 6e 67 20 74 68 65 20 61 70 70 72 6f 70 72 ting the appropr
6020: 69 61 74 65 20 73 65 71 75 65 6e 63 65 2e 3c 62 iate sequence.<b
6030: 72 3e 0d 0a 41 74 20 74 68 65 20 65 6e 64 20 6f r>..At the end o
6040: 66 20 74 68 65 20 70 72 6f 63 65 73 73 20 77 65 f the process we
6050: 27 6c 6c 20 61 6c 77 61 79 73 20 67 65 74 20 6a 'll always get j
6060: 75 73 74 20 61 20 73 69 6e 67 6c 65 20 61 66 66 ust a single aff
6070: 69 6e 65 20 74 72 61 6e 73 66 6f 72 6d 61 74 69 ine transformati
6080: 6f 6e 20 6d 61 74 72 69 78 20 66 61 69 74 68 66 on matrix faithf
6090: 75 6c 6c 79 20 72 65 70 72 65 73 65 6e 74 69 6e ully representin
60a0: 67 20 61 6e 79 20 69 6e 64 69 76 69 64 75 61 6c g any individual
60b0: 20 74 72 61 6e 73 66 6f 72 6d 61 74 69 6f 6e 20 transformation
60c0: 69 6e 20 74 68 65 20 63 68 61 69 6e 2e 0d 0a 3c in the chain...<
60d0: 74 61 62 6c 65 20 62 67 63 6f 6c 6f 72 3d 22 23 table bgcolor="#
60e0: 66 66 63 30 30 30 22 20 63 65 6c 6c 70 61 64 64 ffc000" cellpadd
60f0: 69 6e 67 3d 22 31 30 22 3e 3c 74 72 3e 3c 74 64 ing="10"><tr><td
6100: 3e 0d 0a 54 68 65 20 6d 75 6c 74 69 70 6c 69 63 >..The multiplic
6110: 61 74 69 6f 6e 20 62 65 74 77 65 65 6e 20 74 77 ation between tw
6120: 6f 20 6d 61 74 72 69 63 65 73 20 3c 75 3e 69 73 o matrices <u>is
6130: 20 6e 6f 74 20 61 20 63 6f 6d 6d 75 74 61 74 69 not a commutati
6140: 76 65 20 6f 70 65 72 61 74 69 6f 6e 3c 2f 75 3e ve operation</u>
6150: 3a 20 74 68 65 20 72 65 6c 61 74 69 76 65 20 6f : the relative o
6160: 72 64 65 72 20 6f 66 20 6f 70 65 72 61 6e 64 73 rder of operands
6170: 20 69 73 20 61 62 73 6f 6c 75 74 65 6c 79 20 72 is absolutely r
6180: 65 6c 65 76 61 6e 74 2e 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 elevant.</td></t
6190: 72 3e 3c 2f 74 61 62 6c 65 3e 0d 0a 3c 68 33 3e r></table>..<h3>
61a0: 6d 75 6c 74 69 70 6c 79 69 6e 67 20 74 77 6f 20 multiplying two
61b0: 6d 61 74 72 69 63 65 73 3c 2f 68 33 3e 0d 0a 4d matrices</h3>..M
61c0: 75 6c 74 69 70 6c 69 63 61 74 69 6f 6e 20 69 73 ultiplication is
61d0: 20 6e 6f 74 20 72 65 61 6c 6c 79 20 61 20 73 69 not really a si
61e0: 6d 70 6c 65 20 6f 70 65 72 61 74 69 6f 6e 20 77 mple operation w
61f0: 68 65 6e 20 6d 61 74 72 69 63 65 73 20 61 72 65 hen matrices are
6200: 20 69 6e 76 6f 6c 76 65 64 20 61 6e 64 20 72 65 involved and re
6210: 71 75 69 72 65 73 20 61 20 72 61 74 68 65 72 20 quires a rather
6220: 63 6f 6d 70 6c 65 78 20 70 72 6f 63 65 64 75 72 complex procedur
6230: 65 3b 20 74 68 65 20 66 6f 6c 6c 6f 77 69 6e 67 e; the following
6240: 20 65 78 61 6d 70 6c 65 20 73 68 6f 77 73 20 68 example shows h
6250: 6f 77 20 74 6f 20 6d 75 6c 74 69 70 6c 79 20 74 ow to multiply t
6260: 77 6f 20 3c 62 3e 34 20 78 20 34 3c 2f 62 3e 20 wo <b>4 x 4</b>
6270: 6d 61 74 72 69 63 65 73 2e 3c 62 72 3e 0d 0a 3c matrices.<br>..<
6280: 74 61 62 6c 65 20 63 65 6c 6c 73 70 61 63 69 6e table cellspacin
6290: 67 3d 22 34 22 20 63 65 6c 6c 70 61 64 64 69 6e g="4" cellpaddin
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62b0: 0d 0a 3c 74 61 62 6c 65 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c ..<table>..<tr><
62c0: 74 64 3e 2f 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 td>/</td><td ali
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62f0: 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 td align="center
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6310: 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 </td><td align="
6320: 63 65 6e 74 65 72 22 3e 61 3c 73 75 62 3e 31 33 center">a<sub>13
6330: 3c 2f 73 75 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 </sub></td><td a
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6350: 73 75 62 3e 31 34 3c 2f 73 75 62 3e 3c 2f 74 64 sub>14</sub></td
6360: 3e 3c 74 64 3e 5c 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e ><td>\</td></tr>
6370: 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 3e 7c 3c 2f 74 64 3e ..<tr><td>|</td>
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63a0: 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d ></td><td align=
63b0: 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 61 3c 73 75 62 3e 32 "center">a<sub>2
63c0: 32 3c 2f 73 75 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 2</sub></td><td
63d0: 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 61 align="center">a
63e0: 3c 73 75 62 3e 32 33 3c 2f 73 75 62 3e 3c 2f 74 <sub>23</sub></t
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6420: 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 d></tr>..<tr><td
6430: 3e 7c 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e >|</td><td align
6440: 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 61 3c 73 75 62 3e ="center">a<sub>
6450: 33 31 3c 2f 73 75 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 31</sub></td><td
6460: 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e align="center">
6470: 61 3c 73 75 62 3e 33 32 3c 2f 73 75 62 3e 3c 2f a<sub>32</sub></
6480: 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 td><td align="ce
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64a0: 73 75 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 sub></td><td ali
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64c0: 62 3e 33 34 3c 2f 73 75 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c b>34</sub></td><
64d0: 74 64 3e 7c 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a td>|</td></tr>..
64e0: 3c 74 72 3e 3c 74 64 3e 5c 3c 2f 74 64 3e 3c 74 <tr><td>\</td><t
64f0: 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 d align="center"
6500: 3e 61 3c 73 75 62 3e 34 31 3c 2f 73 75 62 3e 3c >a<sub>41</sub><
6510: 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 /td><td align="c
6520: 65 6e 74 65 72 22 3e 61 3c 73 75 62 3e 34 32 3c enter">a<sub>42<
6530: 2f 73 75 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c /sub></td><td al
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6550: 75 62 3e 34 33 3c 2f 73 75 62 3e 3c 2f 74 64 3e ub>43</sub></td>
6560: 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 <td align="cente
6570: 72 22 3e 61 3c 73 75 62 3e 34 34 3c 2f 73 75 62 r">a<sub>44</sub
6580: 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 3e 2f 3c 2f 74 64 3e ></td><td>/</td>
6590: 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 2f 74 61 62 6c 65 3e 0d </tr>..</table>.
65a0: 0a 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 76 61 6c 69 67 6e .</td><td valign
65b0: 3d 22 6d 69 64 64 6c 65 22 3e 2a 3c 2f 74 64 3e ="middle">*</td>
65c0: 0d 0a 3c 74 64 3e 0d 0a 3c 74 61 62 6c 65 3e 0d ..<td>..<table>.
65d0: 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 3e 2f 3c 2f 74 64 3e 3c .<tr><td>/</td><
65e0: 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 td align="center
65f0: 22 3e 62 3c 73 75 62 3e 31 31 3c 2f 73 75 62 3e ">b<sub>11</sub>
6600: 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 </td><td align="
6610: 63 65 6e 74 65 72 22 3e 62 3c 73 75 62 3e 31 32 center">b<sub>12
6620: 3c 2f 73 75 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 </sub></td><td a
6630: 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 62 3c lign="center">b<
6640: 73 75 62 3e 31 33 3c 2f 73 75 62 3e 3c 2f 74 64 sub>13</sub></td
6650: 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 ><td align="cent
6660: 65 72 22 3e 62 3c 73 75 62 3e 31 34 3c 2f 73 75 er">b<sub>14</su
6670: 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 3e 5c 3c 2f 74 64 b></td><td>\</td
6680: 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 3e ></tr>..<tr><td>
6690: 7c 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d |</td><td align=
66a0: 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 62 3c 73 75 62 3e 32 "center">b<sub>2
66b0: 31 3c 2f 73 75 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 1</sub></td><td
66c0: 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 62 align="center">b
66d0: 3c 73 75 62 3e 32 32 3c 2f 73 75 62 3e 3c 2f 74 <sub>22</sub></t
66e0: 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e d><td align="cen
66f0: 74 65 72 22 3e 62 3c 73 75 62 3e 32 33 3c 2f 73 ter">b<sub>23</s
6700: 75 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 ub></td><td alig
6710: 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 62 3c 73 75 62 n="center">b<sub
6720: 3e 32 34 3c 2f 73 75 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 >24</sub></td><t
6730: 64 3e 7c 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c d>|</td></tr>..<
6740: 74 72 3e 3c 74 64 3e 7c 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 tr><td>|</td><td
6750: 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e align="center">
6760: 62 3c 73 75 62 3e 33 31 3c 2f 73 75 62 3e 3c 2f b<sub>31</sub></
6770: 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 td><td align="ce
6780: 6e 74 65 72 22 3e 62 3c 73 75 62 3e 33 32 3c 2f nter">b<sub>32</
6790: 73 75 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 sub></td><td ali
67a0: 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 62 3c 73 75 gn="center">b<su
67b0: 62 3e 33 33 3c 2f 73 75 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c b>33</sub></td><
67c0: 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 td align="center
67d0: 22 3e 62 3c 73 75 62 3e 33 34 3c 2f 73 75 62 3e ">b<sub>34</sub>
67e0: 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 3e 7c 3c 2f 74 64 3e 3c </td><td>|</td><
67f0: 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 3e 5c 3c /tr>..<tr><td>\<
6800: 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 /td><td align="c
6810: 65 6e 74 65 72 22 3e 62 3c 73 75 62 3e 34 31 3c enter">b<sub>41<
6820: 2f 73 75 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c /sub></td><td al
6830: 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 62 3c 73 ign="center">b<s
6840: 75 62 3e 34 32 3c 2f 73 75 62 3e 3c 2f 74 64 3e ub>42</sub></td>
6850: 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 <td align="cente
6860: 72 22 3e 62 3c 73 75 62 3e 34 33 3c 2f 73 75 62 r">b<sub>43</sub
6870: 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d ></td><td align=
6880: 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 62 3c 73 75 62 3e 34 "center">b<sub>4
6890: 34 3c 2f 73 75 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 3e 4</sub></td><td>
68a0: 2f 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 2f 74 /</td></tr>..</t
68b0: 61 62 6c 65 3e 0d 0a 3c 2f 74 64 3e 0d 0a 3c 2f able>..</td>..</
68c0: 74 64 3e 3c 74 64 20 76 61 6c 69 67 6e 3d 22 6d td><td valign="m
68d0: 69 64 64 6c 65 22 3e 3d 3c 2f 74 64 3e 0d 0a 3c iddle">=</td>..<
68e0: 74 64 3e 0d 0a 3c 74 61 62 6c 65 3e 0d 0a 3c 74 td>..<table>..<t
68f0: 72 3e 3c 74 64 3e 2f 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 r><td>/</td><td
6900: 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 0d align="center">.
6910: 0a 28 61 3c 73 75 62 3e 31 31 3c 2f 73 75 62 3e .(a<sub>11</sub>
6920: 2a 62 3c 73 75 62 3e 31 31 3c 2f 73 75 62 3e 20 *b<sub>11</sub>
6930: 2b 20 0d 0a 61 3c 73 75 62 3e 31 32 3c 2f 73 75 + ..a<sub>12</su
6940: 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e 32 31 3c 2f 73 75 62 b>*b<sub>21</sub
6950: 3e 20 2b 20 0d 0a 61 3c 73 75 62 3e 31 33 3c 2f > + ..a<sub>13</
6960: 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e 33 31 3c 2f 73 sub>*b<sub>31</s
6970: 75 62 3e 20 2b 20 0d 0a 61 3c 73 75 62 3e 31 34 ub> + ..a<sub>14
6980: 3c 2f 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e 34 31 3c </sub>*b<sub>41<
6990: 2f 73 75 62 3e 29 3c 2f 74 64 3e 0d 0a 3c 74 64 /sub>)</td>..<td
69a0: 3e 28 61 3c 73 75 62 3e 31 31 3c 2f 73 75 62 3e >(a<sub>11</sub>
69b0: 2a 62 3c 73 75 62 3e 31 32 3c 2f 73 75 62 3e 20 *b<sub>12</sub>
69c0: 2b 20 0d 0a 61 3c 73 75 62 3e 31 32 3c 2f 73 75 + ..a<sub>12</su
69d0: 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e 32 32 3c 2f 73 75 62 b>*b<sub>22</sub
69e0: 3e 20 2b 20 0d 0a 61 3c 73 75 62 3e 31 33 3c 2f > + ..a<sub>13</
69f0: 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e 33 32 3c 2f 73 sub>*b<sub>32</s
6a00: 75 62 3e 20 2b 0d 0a 61 3c 73 75 62 3e 31 34 3c ub> +..a<sub>14<
6a10: 2f 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e 34 32 3c 2f /sub>*b<sub>42</
6a20: 73 75 62 3e 29 3c 2f 74 64 3e 0d 0a 3c 74 64 3e sub>)</td>..<td>
6a30: 28 61 3c 73 75 62 3e 31 31 3c 2f 73 75 62 3e 2a (a<sub>11</sub>*
6a40: 62 3c 73 75 62 3e 31 33 3c 2f 73 75 62 3e 20 2b b<sub>13</sub> +
6a50: 20 0d 0a 61 3c 73 75 62 3e 31 32 3c 2f 73 75 62 ..a<sub>12</sub
6a60: 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e 32 33 3c 2f 73 75 62 3e >*b<sub>23</sub>
6a70: 20 2b 20 0d 0a 61 3c 73 75 62 3e 31 33 3c 2f 73 + ..a<sub>13</s
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6a90: 62 3e 20 2b 0d 0a 61 3c 73 75 62 3e 31 34 3c 2f b> +..a<sub>14</
6aa0: 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e 34 33 3c 2f 73 sub>*b<sub>43</s
6ab0: 75 62 3e 29 3c 2f 74 64 3e 0d 0a 3c 74 64 3e 28 ub>)</td>..<td>(
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6b10: 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e 33 34 3c 2f 73 75 62 b>*b<sub>34</sub
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6bc0: 0a 61 3c 73 75 62 3e 32 33 3c 2f 73 75 62 3e 2a .a<sub>23</sub>*
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6ce0: 61 3c 73 75 62 3e 32 33 3c 2f 73 75 62 3e 2a 62 a<sub>23</sub>*b
6cf0: 3c 73 75 62 3e 33 33 3c 2f 73 75 62 3e 20 2b 0d <sub>33</sub> +.
6d00: 0a 61 3c 73 75 62 3e 32 34 3c 2f 73 75 62 3e 2a .a<sub>24</sub>*
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6d90: 61 3c 73 75 62 3e 32 34 3c 2f 73 75 62 3e 2a 62 a<sub>24</sub>*b
6da0: 3c 73 75 62 3e 34 34 3c 2f 73 75 62 3e 29 3c 2f <sub>44</sub>)</
6db0: 74 64 3e 3c 74 64 3e 7c 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 td><td>|</td></t
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6ef0: 62 3e 34 32 3c 2f 73 75 62 3e 29 3c 2f 74 64 3e b>42</sub>)</td>
6f00: 0d 0a 3c 74 64 3e 28 61 3c 73 75 62 3e 33 31 3c ..<td>(a<sub>31<
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6f20: 73 75 62 3e 20 2b 20 0d 0a 61 3c 73 75 62 3e 33 sub> + ..a<sub>3
6f30: 32 3c 2f 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e 32 33 2</sub>*b<sub>23
6f40: 3c 2f 73 75 62 3e 20 2b 20 0d 0a 61 3c 73 75 62 </sub> + ..a<sub
6f50: 3e 33 33 3c 2f 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e >33</sub>*b<sub>
6f60: 33 33 3c 2f 73 75 62 3e 20 2b 0d 0a 61 3c 73 75 33</sub> +..a<su
6f70: 62 3e 33 34 3c 2f 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 b>34</sub>*b<sub
6f80: 3e 34 33 3c 2f 73 75 62 3e 29 3c 2f 74 64 3e 0d >43</sub>)</td>.
6f90: 0a 3c 74 64 3e 28 61 3c 73 75 62 3e 33 31 3c 2f .<td>(a<sub>31</
6fa0: 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e 31 34 3c 2f 73 sub>*b<sub>14</s
6fb0: 75 62 3e 20 2b 20 0d 0a 61 3c 73 75 62 3e 33 32 ub> + ..a<sub>32
6fc0: 3c 2f 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e 32 34 3c </sub>*b<sub>24<
6fd0: 2f 73 75 62 3e 20 2b 20 0d 0a 61 3c 73 75 62 3e /sub> + ..a<sub>
6fe0: 33 33 3c 2f 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e 33 33</sub>*b<sub>3
6ff0: 34 3c 2f 73 75 62 3e 20 2b 0d 0a 61 3c 73 75 62 4</sub> +..a<sub
7000: 3e 33 34 3c 2f 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e >34</sub>*b<sub>
7010: 34 34 3c 2f 73 75 62 3e 29 3c 2f 74 64 3e 3c 74 44</sub>)</td><t
7020: 64 3e 7c 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c d>|</td></tr>..<
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70b0: 73 75 62 3e 20 2b 20 0d 0a 61 3c 73 75 62 3e 34 sub> + ..a<sub>4
70c0: 34 3c 2f 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e 34 31 4</sub>*b<sub>41
70d0: 3c 2f 73 75 62 3e 29 3c 2f 74 64 3e 0d 0a 3c 74 </sub>)</td>..<t
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7140: 73 75 62 3e 20 2b 0d 0a 61 3c 73 75 62 3e 34 34 sub> +..a<sub>44
7150: 3c 2f 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e 34 32 3c </sub>*b<sub>42<
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71a0: 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e 32 33 3c 2f 73 75 62 b>*b<sub>23</sub
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71c0: 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e 33 33 3c 2f 73 sub>*b<sub>33</s
71d0: 75 62 3e 20 2b 0d 0a 61 3c 73 75 62 3e 34 34 3c ub> +..a<sub>44<
71e0: 2f 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e 34 33 3c 2f /sub>*b<sub>43</
71f0: 73 75 62 3e 29 3c 2f 74 64 3e 0d 0a 3c 74 64 3e sub>)</td>..<td>
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7220: 20 0d 0a 61 3c 73 75 62 3e 34 32 3c 2f 73 75 62 ..a<sub>42</sub
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7ac0: 72 61 6e 73 66 6f 72 6d 61 74 69 6f 6e 20 4d 61 ransformation Ma
7ad0: 74 72 69 78 2e 3c 62 72 3e 0d 0a 4e 55 4c 4c 20 trix.<br>..NULL
7ae0: 69 66 20 61 6e 79 20 65 72 72 6f 72 20 6f 63 63 if any error occ
7af0: 75 72 73 2e 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a urs.</td></tr>..
7b00: 3c 74 72 3e 3c 74 64 3e 3c 62 3e 41 54 4d 5f 43 <tr><td><b>ATM_C
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7b20: 20 2c 20 64 6f 75 62 6c 65 20 62 20 2c 20 64 6f , double b , do
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7b40: 65 20 2c 20 64 6f 75 62 6c 65 20 78 6f 66 66 20 e , double xoff
7b50: 2c 20 64 6f 75 62 6c 65 20 79 6f 66 66 20 29 20 , double yoff )
7b60: 3a 20 42 4c 4f 42 20 41 54 2d 6d 61 74 72 69 78 : BLOB AT-matrix
7b70: 3c 2f 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 3e 57 69 6c </b></td><td>Wil
7b80: 6c 20 72 65 74 75 72 6e 20 61 20 32 44 20 41 66 l return a 2D Af
7b90: 66 69 6e 65 20 54 72 61 6e 73 66 6f 72 6d 61 74 fine Transformat
7ba0: 69 6f 6e 20 4d 61 74 72 69 78 20 69 6e 69 74 69 ion Matrix initi
7bb0: 61 6c 69 7a 65 64 20 77 69 74 68 20 65 78 70 6c alized with expl
7bc0: 69 63 69 74 20 76 61 6c 75 65 73 2e 3c 62 72 3e icit values.<br>
7bd0: 0d 0a 4e 55 4c 4c 20 69 66 20 61 6e 79 20 65 72 ..NULL if any er
7be0: 72 6f 72 20 6f 63 63 75 72 73 20 6f 72 20 6f 6e ror occurs or on
7bf0: 20 69 6e 76 61 6c 69 64 20 61 72 67 75 6d 65 6e invalid argumen
7c00: 74 73 2e 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c ts.</td></tr>..<
7c10: 74 72 3e 3c 74 64 3e 3c 62 3e 41 54 4d 5f 43 72 tr><td><b>ATM_Cr
7c20: 65 61 74 65 20 28 20 64 6f 75 62 6c 65 20 61 20 eate ( double a
7c30: 2c 20 64 6f 75 62 6c 65 20 62 20 2c 20 64 6f 75 , double b , dou
7c40: 62 6c 65 20 63 20 2c 20 64 6f 75 62 6c 65 20 64 ble c , double d
7c50: 20 2c 20 64 6f 75 62 6c 65 20 65 20 2c 20 64 6f , double e , do
7c60: 75 62 6c 65 20 66 20 2c 20 64 6f 75 62 6c 65 20 uble f , double
7c70: 67 20 2c 20 64 6f 75 62 6c 65 20 68 20 2c 20 64 g , double h , d
7c80: 6f 75 62 6c 65 20 69 20 2c 20 64 6f 75 62 6c 65 ouble i , double
7c90: 20 78 6f 66 66 20 2c 20 64 6f 75 62 6c 65 20 79 xoff , double y
7ca0: 6f 66 66 20 2c 20 64 6f 75 62 6c 65 20 64 6f 75 off , double dou
7cb0: 62 6c 65 20 7a 6f 66 66 20 29 20 3a 20 42 4c 4f ble zoff ) : BLO
7cc0: 42 20 41 54 2d 6d 61 74 72 69 78 3c 2f 62 3e 3c B AT-matrix</b><
7cd0: 2f 74 64 3e 3c 74 64 3e 57 69 6c 6c 20 72 65 74 /td><td>Will ret
7ce0: 75 72 6e 20 61 20 33 44 20 41 66 66 69 6e 65 20 urn a 3D Affine
7cf0: 54 72 61 6e 73 66 6f 72 6d 61 74 69 6f 6e 20 4d Transformation M
7d00: 61 74 72 69 78 20 69 6e 69 74 69 61 6c 69 7a 65 atrix initialize
7d10: 64 20 77 69 74 68 20 65 78 70 6c 69 63 69 74 20 d with explicit
7d20: 76 61 6c 75 65 73 2e 3c 62 72 3e 0d 0a 4e 55 4c values.<br>..NUL
7d30: 4c 20 69 66 20 61 6e 79 20 65 72 72 6f 72 20 6f L if any error o
7d40: 63 63 75 72 73 20 6f 72 20 6f 6e 20 69 6e 76 61 ccurs or on inva
7d50: 6c 69 64 20 61 72 67 75 6d 65 6e 74 73 2e 3c 2f lid arguments.</
7d60: 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 td></tr>..<tr><t
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7d90: 65 20 74 78 20 2c 20 64 6f 75 62 6c 65 20 74 79 e tx , double ty
7da0: 20 29 20 3a 20 42 4c 4f 42 20 41 54 2d 6d 61 74 ) : BLOB AT-mat
7db0: 72 69 78 3c 2f 62 3e 3c 62 72 3e 0d 0a 3c 62 3e rix</b><br>..<b>
7dc0: 41 54 4d 5f 43 72 65 61 74 65 54 72 61 6e 73 6c ATM_CreateTransl
7dd0: 61 74 65 20 28 20 64 6f 75 62 6c 65 20 74 78 20 ate ( double tx
7de0: 2c 20 64 6f 75 62 6c 65 20 74 79 20 2c 20 64 6f , double ty , do
7df0: 75 62 6c 65 20 74 7a 20 29 20 3a 20 42 4c 4f 42 uble tz ) : BLOB
7e00: 20 41 54 2d 6d 61 74 72 69 78 3c 2f 62 3e 3c 2f AT-matrix</b></
7e10: 74 64 3e 3c 74 64 3e 57 69 6c 6c 20 72 65 74 75 td><td>Will retu
7e20: 72 6e 20 61 6e 20 41 66 66 69 6e 65 20 54 72 61 rn an Affine Tra
7e30: 6e 73 66 6f 72 6d 61 74 69 6f 6e 20 4d 61 74 72 nsformation Matr
7e40: 69 78 20 69 6e 69 74 69 61 6c 69 7a 65 64 20 72 ix initialized r
7e50: 65 73 70 65 63 74 69 76 65 6c 79 20 61 73 20 61 espectively as a
7e60: 20 32 44 20 6f 72 20 33 44 20 54 72 61 6e 73 6c 2D or 3D Transl
7e70: 61 74 65 2e 3c 62 72 3e 0d 0a 4e 55 4c 4c 20 69 ate.<br>..NULL i
7e80: 66 20 61 6e 79 20 65 72 72 6f 72 20 6f 63 63 75 f any error occu
7e90: 72 73 20 6f 72 20 6f 6e 20 69 6e 76 61 6c 69 64 rs or on invalid
7ea0: 20 61 72 67 75 6d 65 6e 74 73 2e 3c 2f 74 64 3e arguments.</td>
7eb0: 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 3e 3c </tr>..<tr><td><
7ec0: 62 3e 41 54 4d 5f 43 72 65 61 74 65 53 63 61 6c b>ATM_CreateScal
7ed0: 65 20 28 20 64 6f 75 62 6c 65 20 73 78 20 2c 20 e ( double sx ,
7ee0: 64 6f 75 62 6c 65 20 73 79 20 29 20 3a 20 42 4c double sy ) : BL
7ef0: 4f 42 20 41 54 2d 6d 61 74 72 69 78 3c 2f 62 3e OB AT-matrix</b>
7f00: 3c 62 72 3e 0d 0a 3c 62 3e 41 54 4d 5f 43 72 65 <br>..<b>ATM_Cre
7f10: 61 74 65 53 63 61 6c 65 20 28 20 64 6f 75 62 6c ateScale ( doubl
7f20: 65 20 73 78 20 2c 20 64 6f 75 62 6c 65 20 73 79 e sx , double sy
7f30: 20 2c 20 64 6f 75 62 6c 65 20 73 7a 20 29 20 3a , double sz ) :
7f40: 20 42 4c 4f 42 20 41 54 2d 6d 61 74 72 69 78 3c BLOB AT-matrix<
7f50: 2f 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 3e 57 69 6c 6c /b></td><td>Will
7f60: 20 72 65 74 75 72 6e 20 61 6e 20 41 66 66 69 6e return an Affin
7f70: 65 20 54 72 61 6e 73 66 6f 72 6d 61 74 69 6f 6e e Transformation
7f80: 20 4d 61 74 72 69 78 20 69 6e 69 74 69 61 6c 69 Matrix initiali
7f90: 7a 65 64 20 72 65 73 70 65 63 74 69 76 65 6c 79 zed respectively
7fa0: 20 61 73 20 61 20 32 44 20 6f 72 20 33 44 20 53 as a 2D or 3D S
7fb0: 63 61 6c 65 2e 3c 62 72 3e 0d 0a 4e 55 4c 4c 20 cale.<br>..NULL
7fc0: 69 66 20 61 6e 79 20 65 72 72 6f 72 20 6f 63 63 if any error occ
7fd0: 75 72 73 20 6f 72 20 6f 6e 20 69 6e 76 61 6c 69 urs or on invali
7fe0: 64 20 61 72 67 75 6d 65 6e 74 73 2e 2e 3c 2f 74 d arguments..</t
7ff0: 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 d></tr>..<tr><td
8000: 3e 3c 62 3e 41 54 4d 5f 43 72 65 61 74 65 52 6f ><b>ATM_CreateRo
8010: 74 61 74 65 20 28 20 64 6f 75 62 6c 65 20 61 6e tate ( double an
8020: 67 6c 65 20 29 20 3a 20 42 4c 4f 42 20 41 54 2d gle ) : BLOB AT-
8030: 6d 61 74 72 69 78 3c 2f 62 3e 3c 62 72 3e 0d 0a matrix</b><br>..
8040: 3c 62 3e 41 54 4d 5f 43 72 65 61 74 65 5a 52 6f <b>ATM_CreateZRo
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8060: 65 20 29 20 3a 20 42 4c 4f 42 20 41 54 2d 6d 61 e ) : BLOB AT-ma
8070: 74 72 69 78 3c 2f 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 trix</b></td><td
8080: 3e 57 69 6c 6c 20 72 65 74 75 72 6e 20 61 6e 20 >Will return an
8090: 41 66 66 69 6e 65 20 54 72 61 6e 73 66 6f 72 6d Affine Transform
80a0: 61 74 69 6f 6e 20 4d 61 74 72 69 78 20 69 6e 69 ation Matrix ini
80b0: 74 69 61 6c 69 7a 65 64 20 61 73 20 52 6f 74 61 tialized as Rota
80c0: 74 69 6f 6e 20 61 72 6f 75 6e 64 20 74 68 65 20 tion around the
80d0: 5a 20 61 78 69 73 2e 3c 62 72 3e 0d 0a 4e 55 4c Z axis.<br>..NUL
80e0: 4c 20 69 66 20 61 6e 79 20 65 72 72 6f 72 20 6f L if any error o
80f0: 63 63 75 72 73 20 6f 72 20 6f 6e 20 69 6e 76 61 ccurs or on inva
8100: 6c 69 64 20 61 72 67 75 6d 65 6e 74 73 2e 3c 68 lid arguments.<h
8110: 72 3e 0d 0a 54 68 65 20 61 6e 67 6c 65 20 69 73 r>..The angle is
8120: 20 61 6c 77 61 79 73 20 65 78 70 65 63 74 65 64 always expected
8130: 20 74 6f 20 62 65 20 6d 65 61 73 75 72 65 64 20 to be measured
8140: 69 6e 20 64 65 63 69 6d 61 6c 20 64 65 67 72 65 in decimal degre
8150: 65 73 2e 20 54 68 65 20 64 69 72 65 63 74 69 6f es. The directio
8160: 6e 20 6f 66 20 72 6f 74 61 74 69 6f 6e 20 69 73 n of rotation is
8170: 20 64 65 66 69 6e 65 64 20 73 75 63 68 20 74 68 defined such th
8180: 61 74 20 70 6f 73 69 74 69 76 65 20 61 6e 67 6c at positive angl
8190: 65 73 20 72 6f 74 61 74 65 20 69 6e 20 74 68 65 es rotate in the
81a0: 20 64 69 72 65 63 74 69 6f 6e 20 66 72 6f 6d 20 direction from
81b0: 74 68 65 20 70 6f 73 69 74 69 76 65 20 58 20 61 the positive X a
81c0: 78 69 73 20 74 6f 77 61 72 64 20 74 68 65 20 70 xis toward the p
81d0: 6f 73 69 74 69 76 65 20 59 20 61 78 69 73 2e 20 ositive Y axis.
81e0: 57 69 74 68 20 74 68 65 20 64 65 66 61 75 6c 74 With the default
81f0: 20 61 78 69 73 20 6f 72 69 65 6e 74 61 74 69 6f axis orientatio
8200: 6e 20 20 70 6f 73 69 74 69 76 65 20 61 6e 67 6c n positive angl
8210: 65 73 20 72 6f 74 61 74 65 20 69 6e 20 61 20 63 es rotate in a c
8220: 6f 75 6e 74 65 72 63 6c 6f 63 6b 77 69 73 65 20 ounterclockwise
8230: 64 69 72 65 63 74 69 6f 6e 2e 3c 68 72 3e 0d 0a direction.<hr>..
8240: 3c 75 3e 4e 6f 74 65 3c 2f 75 3e 3a 20 74 68 69 <u>Note</u>: thi
8250: 73 20 69 73 20 74 68 65 20 75 6e 69 71 75 65 20 s is the unique
8260: 72 6f 74 61 74 69 6f 6e 20 61 6c 6c 6f 77 65 64 rotation allowed
8270: 20 6f 6e 20 61 20 70 75 72 65 6c 79 20 32 44 20 on a purely 2D
8280: 70 6c 61 6e 65 2e 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e plane.</td></tr>
8290: 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 3e 3c 62 3e 41 54 4d ..<tr><td><b>ATM
82a0: 5f 43 72 65 61 74 65 58 52 6f 6c 6c 20 28 20 64 _CreateXRoll ( d
82b0: 6f 75 62 6c 65 20 61 6e 67 6c 65 20 29 20 3a 20 ouble angle ) :
82c0: 42 4c 4f 42 20 41 54 2d 6d 61 74 72 69 78 3c 2f BLOB AT-matrix</
82d0: 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 3e 57 69 6c 6c 20 b></td><td>Will
82e0: 72 65 74 75 72 6e 20 61 6e 20 41 66 66 69 6e 65 return an Affine
82f0: 20 54 72 61 6e 73 66 6f 72 6d 61 74 69 6f 6e 20 Transformation
8300: 4d 61 74 72 69 78 20 69 6e 69 74 69 61 6c 69 7a Matrix initializ
8310: 65 64 20 61 73 20 52 6f 74 61 74 69 6f 6e 20 61 ed as Rotation a
8320: 72 6f 75 6e 64 20 74 68 65 20 58 20 61 78 69 73 round the X axis
8330: 2e 3c 62 72 3e 0d 0a 4e 55 4c 4c 20 69 66 20 61 .<br>..NULL if a
8340: 6e 79 20 65 72 72 6f 72 20 6f 63 63 75 72 73 20 ny error occurs
8350: 6f 72 20 6f 6e 20 69 6e 76 61 6c 69 64 20 61 72 or on invalid ar
8360: 67 75 6d 65 6e 74 73 2e 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 guments.</td></t
8370: 72 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 3e 3c 62 3e 41 r>..<tr><td><b>A
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8390: 20 64 6f 75 62 6c 65 20 61 6e 67 6c 65 20 29 20 double angle )
83a0: 3a 20 42 4c 4f 42 20 41 54 2d 6d 61 74 72 69 78 : BLOB AT-matrix
83b0: 3c 2f 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 3e 57 69 6c </b></td><td>Wil
83c0: 6c 20 72 65 74 75 72 6e 20 61 6e 20 41 66 66 69 l return an Affi
83d0: 6e 65 20 54 72 61 6e 73 66 6f 72 6d 61 74 69 6f ne Transformatio
83e0: 6e 20 4d 61 74 72 69 78 20 69 6e 69 74 69 61 6c n Matrix initial
83f0: 69 7a 65 64 20 61 73 20 52 6f 74 61 74 69 6f 6e ized as Rotation
8400: 20 61 72 6f 75 6e 64 20 74 68 65 20 59 20 61 78 around the Y ax
8410: 69 73 2e 3c 62 72 3e 0d 0a 4e 55 4c 4c 20 69 66 is.<br>..NULL if
8420: 20 61 6e 79 20 65 72 72 6f 72 20 6f 63 63 75 72 any error occur
8430: 73 20 6f 72 20 6f 6e 20 69 6e 76 61 6c 69 64 20 s or on invalid
8440: 61 72 67 75 6d 65 6e 74 73 2e 3c 2f 74 64 3e 3c arguments.</td><
8450: 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 68 20 63 6f /tr>..<tr><th co
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84a0: 69 6e 67 20 63 68 61 69 6e 69 6e 67 20 74 77 6f ing chaining two
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84d0: 2f 74 68 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c /th></tr>..<tr><
84e0: 74 64 3e 3c 62 3e 41 54 4d 5f 54 72 61 6e 73 6c td><b>ATM_Transl
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8500: 2c 20 64 6f 75 62 6c 65 20 74 79 20 2c 20 42 4c , double ty , BL
8510: 4f 42 20 41 54 2d 6d 61 74 72 69 78 20 29 20 3a OB AT-matrix ) :
8520: 20 42 4c 4f 42 20 41 54 2d 6d 61 74 72 69 78 3c BLOB AT-matrix<
8530: 2f 62 3e 3c 62 72 3e 0d 0a 3c 62 3e 41 54 4d 5f /b><br>..<b>ATM_
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8560: 79 20 2c 20 64 6f 75 62 6c 65 20 74 7a 20 2c 20 y , double tz ,
8570: 42 4c 4f 42 20 41 54 2d 6d 61 74 72 69 78 20 29 BLOB AT-matrix )
8580: 20 3a 20 42 4c 4f 42 20 41 54 2d 6d 61 74 72 69 : BLOB AT-matri
8590: 78 3c 2f 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 3e 57 69 x</b></td><td>Wi
85a0: 6c 6c 20 72 65 74 75 72 6e 20 61 6e 20 41 66 66 ll return an Aff
85b0: 69 6e 65 20 54 72 61 6e 73 66 6f 72 6d 61 74 69 ine Transformati
85c0: 6f 6e 20 4d 61 74 72 69 78 20 62 79 20 63 68 61 on Matrix by cha
85d0: 69 6e 69 6e 67 20 72 65 73 70 65 63 74 69 76 65 ining respective
85e0: 6c 79 20 61 20 32 44 20 6f 72 20 33 44 20 54 72 ly a 2D or 3D Tr
85f0: 61 6e 73 6c 61 74 65 20 61 6e 64 20 61 6e 6f 74 anslate and anot
8600: 68 65 72 20 41 66 66 69 6e 65 20 54 72 61 6e 73 her Affine Trans
8610: 66 6f 72 6d 61 74 69 6f 6e 2e 3c 62 72 3e 0d 0a formation.<br>..
8620: 4e 55 4c 4c 20 69 66 20 61 6e 79 20 65 72 72 6f NULL if any erro
8630: 72 20 6f 63 63 75 72 73 20 6f 72 20 6f 6e 20 69 r occurs or on i
8640: 6e 76 61 6c 69 64 20 61 72 67 75 6d 65 6e 74 73 nvalid arguments
8650: 2e 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 .</td></tr>..<tr
8660: 3e 3c 74 64 3e 3c 62 3e 41 54 4d 5f 53 63 61 6c ><td><b>ATM_Scal
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8680: 64 6f 75 62 6c 65 20 73 79 20 2c 20 42 4c 4f 42 double sy , BLOB
8690: 20 41 54 2d 6d 61 74 72 69 78 20 29 20 3a 20 42 AT-matrix ) : B
86a0: 4c 4f 42 20 41 54 2d 6d 61 74 72 69 78 3c 2f 62 LOB AT-matrix</b
86b0: 3e 3c 62 72 3e 0d 0a 3c 62 3e 41 54 4d 5f 53 63 ><br>..<b>ATM_Sc
86c0: 61 6c 65 20 28 20 64 6f 75 62 6c 65 20 73 78 20 ale ( double sx
86d0: 2c 20 64 6f 75 62 6c 65 20 73 79 20 2c 20 64 6f , double sy , do
86e0: 75 62 6c 65 20 73 7a 20 2c 20 42 4c 4f 42 20 41 uble sz , BLOB A
86f0: 54 2d 6d 61 74 72 69 78 20 29 20 3a 20 42 4c 4f T-matrix ) : BLO
8700: 42 20 41 54 2d 6d 61 74 72 69 78 3c 2f 62 3e 3c B AT-matrix</b><
8710: 2f 74 64 3e 3c 74 64 3e 57 69 6c 6c 20 72 65 74 /td><td>Will ret
8720: 75 72 6e 20 61 6e 20 41 66 66 69 6e 65 20 54 72 urn an Affine Tr
8730: 61 6e 73 66 6f 72 6d 61 74 69 6f 6e 20 4d 61 74 ansformation Mat
8740: 72 69 78 20 62 79 20 63 68 61 69 6e 69 6e 67 20 rix by chaining
8750: 72 65 73 70 65 63 74 69 76 65 6c 79 20 61 20 32 respectively a 2
8760: 44 20 6f 72 20 33 44 20 53 63 61 6c 65 20 61 6e D or 3D Scale an
8770: 64 20 61 6e 6f 74 68 65 72 20 41 66 66 69 6e 65 d another Affine
8780: 20 54 72 61 6e 73 66 6f 72 6d 61 74 69 6f 6e 2e Transformation.
8790: 3c 62 72 3e 0d 0a 4e 55 4c 4c 20 69 66 20 61 6e <br>..NULL if an
87a0: 79 20 65 72 72 6f 72 20 6f 63 63 75 72 73 20 6f y error occurs o
87b0: 72 20 6f 6e 20 69 6e 76 61 6c 69 64 20 61 72 67 r on invalid arg
87c0: 75 6d 65 6e 74 73 2e 2e 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 uments..</td></t
87d0: 72 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 3e 3c 62 3e 41 r>..<tr><td><b>A
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87f0: 6c 65 20 61 6e 67 6c 65 20 2c 20 42 4c 4f 42 20 le angle , BLOB
8800: 41 54 2d 6d 61 74 72 69 78 20 29 20 3a 20 42 4c AT-matrix ) : BL
8810: 4f 42 20 41 54 2d 6d 61 74 72 69 78 3c 2f 62 3e OB AT-matrix</b>
8820: 3c 62 72 3e 0d 0a 3c 62 3e 41 54 4d 5f 5a 52 6f <br>..<b>ATM_ZRo
8830: 6c 6c 20 28 20 64 6f 75 62 6c 65 20 61 6e 67 6c ll ( double angl
8840: 65 20 2c 20 42 4c 4f 42 20 41 54 2d 6d 61 74 72 e , BLOB AT-matr
8850: 69 78 20 29 20 3a 20 42 4c 4f 42 20 41 54 2d 6d ix ) : BLOB AT-m
8860: 61 74 72 69 78 3c 2f 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 atrix</b></td><t
8870: 64 3e 57 69 6c 6c 20 72 65 74 75 72 6e 20 61 6e d>Will return an
8880: 20 41 66 66 69 6e 65 20 54 72 61 6e 73 66 6f 72 Affine Transfor
8890: 6d 61 74 69 6f 6e 20 4d 61 74 72 69 78 20 62 79 mation Matrix by
88a0: 20 63 68 61 69 6e 69 6e 67 20 61 20 52 6f 74 61 chaining a Rota
88b0: 74 69 6f 6e 20 61 72 6f 75 6e 64 20 74 68 65 20 tion around the
88c0: 5a 20 61 78 69 73 20 61 6e 64 20 61 6e 6f 74 68 Z axis and anoth
88d0: 65 72 20 41 66 66 69 6e 65 20 54 72 61 6e 73 66 er Affine Transf
88e0: 6f 72 6d 61 74 69 6f 6e 2e 3c 62 72 3e 0d 0a 4e ormation.<br>..N
88f0: 55 4c 4c 20 69 66 20 61 6e 79 20 65 72 72 6f 72 ULL if any error
8900: 20 6f 63 63 75 72 73 20 6f 72 20 6f 6e 20 69 6e occurs or on in
8910: 76 61 6c 69 64 20 61 72 67 75 6d 65 6e 74 73 2e valid arguments.
8920: 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 3e </td></tr>..<tr>
8930: 3c 74 64 3e 3c 62 3e 41 54 4d 5f 58 52 6f 6c 6c <td><b>ATM_XRoll
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8960: 69 78 3c 2f 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 3e 57 ix</b></td><td>W
8970: 69 6c 6c 20 72 65 74 75 72 6e 20 61 6e 20 41 66 ill return an Af
8980: 66 69 6e 65 20 54 72 61 6e 73 66 6f 72 6d 61 74 fine Transformat
8990: 69 6f 6e 20 4d 61 74 72 69 78 20 62 79 20 63 68 ion Matrix by ch
89a0: 61 69 6e 69 6e 67 20 61 20 52 6f 74 61 74 69 6f aining a Rotatio
89b0: 6e 20 61 72 6f 75 6e 64 20 74 68 65 20 58 20 61 n around the X a
89c0: 78 69 73 20 61 6e 64 20 61 6e 6f 74 68 65 72 20 xis and another
89d0: 41 66 66 69 6e 65 20 54 72 61 6e 73 66 6f 72 6d Affine Transform
89e0: 61 74 69 6f 6e 2e 3c 62 72 3e 0d 0a 4e 55 4c 4c ation.<br>..NULL
89f0: 20 69 66 20 61 6e 79 20 65 72 72 6f 72 20 6f 63 if any error oc
8a00: 63 75 72 73 20 6f 72 20 6f 6e 20 69 6e 76 61 6c curs or on inval
8a10: 69 64 20 61 72 67 75 6d 65 6e 74 73 2e 3c 2f 74 id arguments.</t
8a20: 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 d></tr>..<tr><td
8a30: 3e 3c 62 3e 41 54 4d 5f 59 52 6f 6c 6c 20 28 20 ><b>ATM_YRoll (
8a40: 64 6f 75 62 6c 65 20 61 6e 67 6c 65 20 29 20 3a double angle ) :
8a50: 20 42 4c 4f 42 20 41 54 2d 6d 61 74 72 69 78 3c BLOB AT-matrix<
8a60: 2f 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 3e 57 69 6c 6c /b></td><td>Will
8a70: 20 72 65 74 75 72 6e 20 61 6e 20 41 66 66 69 6e return an Affin
8a80: 65 20 54 72 61 6e 73 66 6f 72 6d 61 74 69 6f 6e e Transformation
8a90: 20 4d 61 74 72 69 78 20 62 79 20 63 68 61 69 6e Matrix by chain
8aa0: 69 6e 67 20 61 20 52 6f 74 61 74 69 6f 6e 20 61 ing a Rotation a
8ab0: 72 6f 75 6e 64 20 74 68 65 20 59 20 61 78 69 73 round the Y axis
8ac0: 20 61 6e 64 20 61 6e 6f 74 68 65 72 20 41 66 66 and another Aff
8ad0: 69 6e 65 20 54 72 61 6e 73 66 6f 72 6d 61 74 69 ine Transformati
8ae0: 6f 6e 2e 3c 62 72 3e 0d 0a 4e 55 4c 4c 20 69 66 on.<br>..NULL if
8af0: 20 61 6e 79 20 65 72 72 6f 72 20 6f 63 63 75 72 any error occur
8b00: 73 20 6f 72 20 6f 6e 20 69 6e 76 61 6c 69 64 20 s or on invalid
8b10: 61 72 67 75 6d 65 6e 74 73 2e 3c 2f 74 64 3e 3c arguments.</td><
8b20: 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 3e 3c 2f /tr>..<tr><td></
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