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20f0: 20 41 54 4d 5f 52 6f 74 61 74 65 28 32 35 2c 0d ATM_Rotate(25,.
2100: 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 .
2110: 20 20 20 41 54 4d 5f 43 72 65 61 74 65 54 72 61 ATM_CreateTra
2120: 6e 73 6c 61 74 65 28 2d 63 78 2c 20 2d 63 79 29 nslate(-cx, -cy)
2130: 29 29 29 29 29 20 41 53 20 67 65 6f 6d 0d 0a 46 ))))) AS geom..F
2140: 52 4f 4d 20 28 53 45 4c 45 43 54 20 63 6f 64 5f ROM (SELECT cod_
2150: 72 65 67 2c 20 53 54 5f 58 28 63 65 6e 74 72 6f reg, ST_X(centro
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2170: 63 65 6e 74 72 6f 69 64 29 20 41 53 20 63 79 2c centroid) AS cy,
2180: 20 67 65 6f 6d 65 74 72 79 0d 0a 20 20 20 20 20 geometry..
2190: 20 46 52 4f 4d 20 28 53 45 4c 45 43 54 20 63 6f FROM (SELECT co
21a0: 64 5f 72 65 67 2c 20 53 54 5f 43 65 6e 74 72 6f d_reg, ST_Centro
21b0: 69 64 28 67 65 6f 6d 65 74 72 79 29 20 41 53 20 id(geometry) AS
21c0: 63 65 6e 74 72 6f 69 64 2c 20 67 65 6f 6d 65 74 centroid, geomet
21d0: 72 79 20 0d 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 ry ..
21e0: 20 46 52 4f 4d 20 73 69 63 69 6c 69 61 5f 30 29 FROM sicilia_0)
21f0: 20 41 53 20 67 31 0d 0a 29 20 41 53 20 67 32 3b AS g1..) AS g2;
2200: 0d 0a 53 45 4c 45 43 54 20 52 65 63 6f 76 65 72 ..SELECT Recover
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2220: 73 69 63 69 6c 69 61 5f 33 27 2c 20 27 67 65 6f sicilia_3', 'geo
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2250: 3b 0d 0a 3c 2f 76 65 72 62 61 74 69 6d 3e 20 0d ;..</verbatim> .
2260: 0a 3c 62 3e 52 65 6d 61 72 6b 73 3c 2f 62 3e 3a .<b>Remarks</b>:
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2290: 6c 6c 79 20 6e 65 77 20 69 6e 20 74 68 69 73 3a lly new in this:
22a0: 20 77 65 27 6c 6c 20 73 69 6d 70 6c 79 20 63 68 we'll simply ch
22b0: 61 69 6e 20 79 65 74 20 61 6e 6f 74 68 65 72 20 ain yet another
22c0: 74 72 61 6e 73 66 6f 72 6d 61 74 69 6f 6e 20 69 transformation i
22d0: 6e 20 74 68 65 20 61 70 70 72 6f 70 72 69 61 74 n the appropriat
22e0: 65 20 73 65 71 75 65 6e 63 65 20 6f 72 64 65 72 e sequence order
22f0: 2e 3c 2f 6c 69 3e 0d 0a 3c 6c 69 3e 3c 62 3e 41 .</li>..<li><b>A
2300: 54 4d 5f 53 63 61 6c 65 28 73 78 2c 20 73 79 29 TM_Scale(sx, sy)
2310: 3c 2f 62 3e 20 69 73 20 69 6e 74 65 6e 64 65 64 </b> is intended
2320: 20 66 6f 72 20 74 68 65 20 73 69 6d 70 6c 65 72 for the simpler
2330: 20 3c 62 3e 32 44 3c 2f 62 3e 20 63 61 73 65 2e <b>2D</b> case.
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2350: 65 20 6d 6f 72 65 20 67 65 6e 65 72 61 6c 20 3c e more general <
2360: 62 3e 33 44 3c 2f 62 3e 20 63 61 73 65 20 79 6f b>3D</b> case yo
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2380: 41 54 4d 5f 53 63 61 6c 65 28 73 78 2c 20 73 79 ATM_Scale(sx, sy
2390: 2c 20 73 7a 29 3c 2f 62 3e 3c 2f 6c 69 3e 0d 0a , sz)</b></li>..
23a0: 3c 2f 75 6c 3e 0d 0a 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 3e </ul>..</td><td>
23b0: 0d 0a 3c 69 6d 67 20 73 72 63 3d 22 68 74 74 70 ..<img src="http
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23d0: 2e 69 74 2f 67 61 69 61 2d 73 69 6e 73 2f 61 66 .it/gaia-sins/af
23e0: 66 69 6e 65 2d 70 69 63 73 2f 73 69 63 69 6c 79 fine-pics/sicily
23f0: 5f 33 2e 70 6e 67 22 20 61 6c 74 3d 22 77 66 73 _3.png" alt="wfs
2400: 2d 31 22 20 62 6f 72 64 65 72 3d 22 31 22 3e 0d -1" border="1">.
2410: 0a 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 .</td></tr>..<tr
2420: 3e 3c 74 64 3e 0d 0a 3c 68 33 3e 53 74 65 70 20 ><td>..<h3>Step
2430: 23 34 3a 20 66 69 6e 61 6c 20 74 6f 75 63 68 3a #4: final touch:
2440: 20 72 65 66 6c 65 63 74 69 6e 67 20 53 69 63 69 reflecting Sici
2450: 6c 79 3c 2f 68 33 3e 0d 0a 41 20 72 65 66 6c 65 ly</h3>..A refle
2460: 63 74 65 64 20 53 69 63 69 6c 79 20 70 72 65 73 cted Sicily pres
2470: 65 6e 74 73 20 6d 61 6e 79 20 69 6e 74 65 72 65 ents many intere
2480: 73 74 69 6e 67 20 61 64 76 61 6e 74 61 67 65 73 sting advantages
2490: 3a 20 77 65 27 6c 6c 20 65 78 61 6d 69 6e 65 20 : we'll examine
24a0: 61 6c 6c 20 74 68 65 6d 20 69 6e 20 66 75 6c 6c all them in full
24b0: 20 64 65 74 61 69 6c 20 69 6e 20 6f 75 72 20 73 detail in our s
24c0: 74 75 64 79 20 63 6f 6e 63 6c 75 73 69 6f 6e 73 tudy conclusions
24d0: 2e 3c 62 72 3e 0d 0a 53 6f 20 77 65 27 6c 6c 20 .<br>..So we'll
24e0: 6e 6f 77 20 61 70 70 6c 79 20 61 20 66 69 6e 61 now apply a fina
24f0: 6c 20 3c 61 20 68 72 65 66 3d 68 74 74 70 3a 2f l <a href=http:/
2500: 2f 65 6e 2e 77 69 6b 69 70 65 64 69 61 2e 6f 72 /en.wikipedia.or
2510: 67 2f 77 69 6b 69 2f 52 65 66 6c 65 63 74 69 6f g/wiki/Reflectio
2520: 6e 5f 25 32 38 6d 61 74 68 65 6d 61 74 69 63 73 n_%28mathematics
2530: 25 32 39 22 3e 72 65 66 6c 65 63 74 69 6f 6e 3c %29">reflection<
2540: 2f 61 3e 20 74 72 61 6e 73 66 6f 72 6d 61 74 69 /a> transformati
2550: 6f 6e 3b 20 74 68 69 73 20 73 69 6d 70 6c 79 20 on; this simply
2560: 63 6f 72 72 65 73 70 6f 6e 64 73 20 74 6f 20 61 corresponds to a
2570: 20 3c 62 3e 31 38 30 20 64 65 67 72 65 65 73 3c <b>180 degrees<
2580: 2f 62 3e 20 72 6f 74 61 74 69 6f 6e 20 61 72 6f /b> rotation aro
2590: 75 6e 64 20 74 68 65 20 3c 62 3e 59 20 61 78 69 und the <b>Y axi
25a0: 73 3c 2f 62 3e 2e 3c 62 72 3e 0d 0a 41 6e 64 20 s</b>.<br>..And
25b0: 74 68 65 20 66 6f 6c 6c 6f 77 69 6e 67 20 69 73 the following is
25c0: 20 74 68 65 20 66 69 6e 61 6c 20 53 51 4c 20 73 the final SQL s
25d0: 74 61 74 65 6d 65 6e 74 20 61 70 70 6c 79 69 6e tatement applyin
25e0: 67 20 61 6c 6c 20 74 68 65 20 61 62 6f 76 65 20 g all the above
25f0: 74 72 61 6e 73 66 6f 72 6d 61 74 69 6f 6e 73 20 transformations
2600: 69 6e 20 61 20 73 69 6e 67 6c 65 20 73 68 6f 74 in a single shot
2610: 3a 0d 0a 3c 76 65 72 62 61 74 69 6d 3e 43 52 45 :..<verbatim>CRE
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26a0: 30 30 30 30 2c 0d 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 20 0000,..
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26e0: 2c 0d 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 ,..
26f0: 20 20 41 54 4d 5f 53 63 61 6c 65 28 30 2e 39 2c ATM_Scale(0.9,
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2730: 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 41 54 AT
2740: 4d 5f 43 72 65 61 74 65 54 72 61 6e 73 6c 61 74 M_CreateTranslat
2750: 65 28 2d 63 78 2c 20 2d 63 79 29 29 29 29 29 29 e(-cx, -cy))))))
2760: 29 20 41 53 20 67 65 6f 6d 0d 0a 46 52 4f 4d 20 ) AS geom..FROM
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27a0: 72 6f 69 64 29 20 41 53 20 63 79 2c 20 67 65 6f roid) AS cy, geo
27b0: 6d 65 74 72 79 0d 0a 20 20 20 20 20 20 46 52 4f metry.. FRO
27c0: 4d 20 28 53 45 4c 45 43 54 20 63 6f 64 5f 72 65 M (SELECT cod_re
27d0: 67 2c 20 53 54 5f 43 65 6e 74 72 6f 69 64 28 67 g, ST_Centroid(g
27e0: 65 6f 6d 65 74 72 79 29 20 41 53 20 63 65 6e 74 eometry) AS cent
27f0: 72 6f 69 64 2c 20 67 65 6f 6d 65 74 72 79 20 0d roid, geometry .
2800: 0a 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 46 52 4f . FRO
2810: 4d 20 73 69 63 69 6c 69 61 5f 30 29 20 41 53 20 M sicilia_0) AS
2820: 67 31 0d 0a 29 20 41 53 20 67 32 3b 0d 0a 53 45 g1..) AS g2;..SE
2830: 4c 45 43 54 20 52 65 63 6f 76 65 72 47 65 6f 6d LECT RecoverGeom
2840: 65 74 72 79 43 6f 6c 75 6d 6e 28 27 73 69 63 69 etryColumn('sici
2850: 6c 69 61 5f 34 27 2c 20 27 67 65 6f 6d 27 2c 20 lia_4', 'geom',
2860: 33 32 36 33 32 2c 20 27 4d 55 4c 54 49 50 4f 4c 32632, 'MULTIPOL
2870: 59 47 4f 4e 27 2c 20 27 58 59 27 29 3b 0d 0a 3c YGON', 'XY');..<
2880: 2f 76 65 72 62 61 74 69 6d 3e 20 0d 0a 3c 62 3e /verbatim> ..<b>
2890: 52 65 6d 61 72 6b 73 3c 2f 62 3e 3a 0d 0a 3c 75 Remarks</b>:..<u
28a0: 6c 3e 0d 0a 3c 6c 69 3e 74 68 65 72 65 20 61 72 l>..<li>there ar
28b0: 65 20 73 65 76 65 72 61 6c 20 70 6f 73 73 69 62 e several possib
28c0: 6c 65 20 72 6f 74 61 74 69 6f 6e 73 20 73 75 70 le rotations sup
28d0: 70 6f 72 74 65 64 20 62 79 20 41 66 66 69 6e 65 ported by Affine
28e0: 20 54 72 61 6e 73 66 6f 72 6d 61 74 69 6f 6e 3a Transformation:
28f0: 0d 0a 3c 6f 6c 3e 0d 0a 3c 6c 69 3e 3c 62 3e 41 ..<ol>..<li><b>A
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4490: 72 65 20 69 73 20 64 69 72 65 63 74 20 72 65 6c re is direct rel
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4ca0: 62 3e 74 7a 3c 2f 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 b>tz</b></td><td
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4ce0: 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 </td><td align="
4cf0: 63 65 6e 74 65 72 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 center">0</td><t
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4d10: 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e >0</td><td align
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4d30: 3c 74 64 3e 2f 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d <td>/</td></tr>.
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4da0: 2f 62 3e 2c 20 3c 62 3e 73 7a 3c 2f 62 3e 29 3c /b>, <b>sz</b>)<
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4e30: 5c 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 \</td></tr>..<tr
4e40: 3e 3c 74 64 3e 7c 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 ><td>|</td><td a
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4e90: 63 65 6e 74 65 72 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 center">0</td><t
4ea0: 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 d align="center"
4eb0: 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 3e 7c 3c 2f 74 64 >0</td><td>|</td
4ec0: 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 3e ></tr>..<tr><td>
4ed0: 7c 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d |</td><td align=
4ee0: 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c "center">0</td><
4ef0: 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 td align="center
4f00: 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 ">0</td><td alig
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4f20: 3c 2f 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 </b></td><td ali
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4f50: 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 3e 5c 3c 2f 74 64 >..<tr><td>\</td
4f60: 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 ><td align="cent
4f70: 65 72 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c er">0</td><td al
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4f90: 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 td><td align="ce
4fa0: 6e 74 65 72 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 nter">0</td><td
4fb0: 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 31 align="center">1
4fc0: 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 3e 2f 3c 2f 74 64 3e 3c </td><td>/</td><
4fd0: 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 20 63 6f /tr>..<tr><td co
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4ff0: 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 td></tr>..<tr><t
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5030: 2f 62 3e 29 3c 2f 74 64 3e 0d 0a 3c 74 64 3e 2f /b>)</td>..<td>/
5040: 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 </td><td align="
5050: 63 65 6e 74 65 72 22 3e 31 3c 2f 74 64 3e 3c 74 center">1</td><t
5060: 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 d align="center"
5070: 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e >0</td><td align
5080: 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e ="center">0</td>
5090: 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 <td align="cente
50a0: 72 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 3e 5c 3c 2f r">0</td><td>\</
50b0: 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 td></tr>..<tr><t
50c0: 64 3e 7c 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 d>|</td><td alig
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50e0: 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 ><td align="cent
50f0: 65 72 22 3e 3c 62 3e 63 6f 73 28 26 74 68 65 74 er"><b>cos(&thet
5100: 61 3b 29 3c 2f 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 a;)</b></td><td
5110: 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 3c align="center"><
5120: 62 3e 2d 73 69 6e 28 26 74 68 65 74 61 3b 29 3c b>-sin(θ)<
5130: 2f 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 /b></td><td alig
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5150: 3e 3c 74 64 3e 7c 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e ><td>|</td></tr>
5160: 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 3e 7c 3c 2f 74 64 3e ..<tr><td>|</td>
5170: 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 <td align="cente
5180: 72 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 r">0</td><td ali
5190: 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 3c 62 3e 73 gn="center"><b>s
51a0: 69 6e 28 26 74 68 65 74 61 3b 29 3c 2f 62 3e 3c in(θ)</b><
51b0: 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 /td><td align="c
51c0: 65 6e 74 65 72 22 3e 3c 62 3e 63 6f 73 28 26 74 enter"><b>cos(&t
51d0: 68 65 74 61 3b 29 3c 2f 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c heta;)</b></td><
51e0: 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 td align="center
51f0: 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 3e 7c 3c 2f 74 ">0</td><td>|</t
5200: 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 d></tr>..<tr><td
5210: 3e 5c 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e >\</td><td align
5220: 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e ="center">0</td>
5230: 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 <td align="cente
5240: 72 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 r">0</td><td ali
5250: 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 30 3c 2f 74 gn="center">0</t
5260: 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e d><td align="cen
5270: 74 65 72 22 3e 31 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 3e 2f ter">1</td><td>/
5280: 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 3e </td></tr>..<tr>
5290: 3c 74 64 20 63 6f 6c 73 70 61 6e 3d 22 35 22 3e <td colspan="5">
52a0: 3c 68 72 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a <hr></td></tr>..
52b0: 3c 74 72 3e 3c 74 64 20 72 6f 77 73 70 61 6e 3d <tr><td rowspan=
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52d0: 6c 65 22 3e 59 20 52 6f 6c 6c 28 3c 62 3e 26 74 le">Y Roll(<b>&t
52e0: 68 65 74 61 3b 3c 2f 62 3e 29 3c 2f 74 64 3e 0d heta;</b>)</td>.
52f0: 0a 3c 74 64 3e 2f 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 .<td>/</td><td a
5300: 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 3c 62 lign="center"><b
5310: 3e 63 6f 73 28 26 74 68 65 74 61 3b 29 3c 2f 62 >cos(θ)</b
5320: 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d ></td><td align=
5330: 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c "center">0</td><
5340: 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 td align="center
5350: 22 3e 3c 62 3e 73 69 6e 28 26 74 68 65 74 61 3b "><b>sin(θ
5360: 29 3c 2f 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c )</b></td><td al
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5380: 74 64 3e 3c 74 64 3e 5c 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 td><td>\</td></t
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53a0: 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e d><td align="cen
53b0: 74 65 72 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 ter">0</td><td a
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53e0: 65 6e 74 65 72 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 enter">0</td><td
53f0: 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e align="center">
5400: 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 3e 7c 3c 2f 74 64 3e 0</td><td>|</td>
5410: 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 3e 7c </tr>..<tr><td>|
5420: 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 </td><td align="
5430: 63 65 6e 74 65 72 22 3e 3c 62 3e 2d 73 69 6e 28 center"><b>-sin(
5440: 26 74 68 65 74 61 3b 29 3c 2f 62 3e 3c 2f 74 64 θ)</b></td
5450: 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 ><td align="cent
5460: 65 72 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c er">0</td><td al
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5480: 63 6f 73 28 26 74 68 65 74 61 3b 29 3c 2f 62 3e cos(θ)</b>
5490: 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 </td><td align="
54a0: 63 65 6e 74 65 72 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 center">0</td><t
54b0: 64 3e 7c 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c d>|</td></tr>..<
54c0: 74 72 3e 3c 74 64 3e 5c 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 tr><td>\</td><td
54d0: 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e align="center">
54e0: 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 0</td><td align=
54f0: 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c "center">0</td><
5500: 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 td align="center
5510: 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 ">0</td><td alig
5520: 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 31 3c 2f 74 64 n="center">1</td
5530: 3e 3c 74 64 3e 2f 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e ><td>/</td></tr>
5540: 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 20 63 6f 6c 73 70 61 ..<tr><td colspa
5550: 6e 3d 22 35 22 3e 3c 68 72 3e 3c 2f 74 64 3e 3c n="5"><hr></td><
5560: 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 20 72 6f /tr>..<tr><td ro
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55c0: 65 72 22 3e 3c 62 3e 63 6f 73 28 26 74 68 65 74 er"><b>cos(&thet
55d0: 61 3b 29 3c 2f 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 a;)</b></td><td
55e0: 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 3c align="center"><
55f0: 62 3e 2d 73 69 6e 28 26 74 68 65 74 61 3b 29 3c b>-sin(θ)<
5600: 2f 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 /b></td><td alig
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5620: 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 ><td align="cent
5630: 65 72 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 3e 5c 3c er">0</td><td>\<
5640: 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c /td></tr>..<tr><
5650: 74 64 3e 7c 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 td>|</td><td ali
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5670: 69 6e 28 26 74 68 65 74 61 3b 29 3c 2f 62 3e 3c in(θ)</b><
5680: 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 /td><td align="c
5690: 65 6e 74 65 72 22 3e 3c 62 3e 63 6f 73 28 26 74 enter"><b>cos(&t
56a0: 68 65 74 61 3b 29 3c 2f 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c heta;)</b></td><
56b0: 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 td align="center
56c0: 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 ">0</td><td alig
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56e0: 3e 3c 74 64 3e 7c 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e ><td>|</td></tr>
56f0: 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 3e 7c 3c 2f 74 64 3e ..<tr><td>|</td>
5700: 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 <td align="cente
5710: 72 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 r">0</td><td ali
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5730: 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e d><td align="cen
5740: 74 65 72 22 3e 31 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 ter">1</td><td a
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5760: 2f 74 64 3e 3c 74 64 3e 7c 3c 2f 74 64 3e 3c 2f /td><td>|</td></
5770: 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 3e 5c 3c 2f tr>..<tr><td>\</
5780: 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 td><td align="ce
5790: 6e 74 65 72 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 nter">0</td><td
57a0: 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 30 align="center">0
57b0: 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 </td><td align="
57c0: 63 65 6e 74 65 72 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 center">0</td><t
57d0: 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 d align="center"
57e0: 3e 31 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 3e 2f 3c 2f 74 64 >1</td><td>/</td
57f0: 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 3e ></tr>..<tr><td>
5800: 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 2f 74 61 </td></tr>..</ta
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5830: 41 66 66 69 6e 65 20 54 72 61 6e 73 66 6f 72 6d Affine Transform
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5900: 70 75 74 20 47 65 6f 6d 65 74 72 79 20 61 63 63 put Geometry acc
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5950: 20 2b 20 63 2a 7a 20 2b 20 78 6f 66 66 3c 2f 62 + c*z + xoff</b
5960: 3e 3c 2f 6c 69 3e 0d 0a 3c 6c 69 3e 3c 62 3e 79 ></li>..<li><b>y
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5980: 66 2a 7a 20 2b 20 79 6f 66 66 3c 2f 62 3e 3c 2f f*z + yoff</b></
5990: 6c 69 3e 0d 0a 3c 6c 69 3e 3c 62 3e 7a 27 20 3d li>..<li><b>z' =
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59b0: 20 2b 20 7a 6f 66 66 3c 2f 62 3e 3c 2f 6c 69 3e + zoff</b></li>
59c0: 0d 0a 3c 2f 75 6c 3e 3c 62 72 3e 0d 0a 69 6e 20 ..</ul><br>..in
59d0: 74 68 65 20 73 69 6d 70 6c 65 72 20 3c 62 3e 32 the simpler <b>2
59e0: 44 3c 2f 62 3e 20 63 61 73 65 20 74 68 69 73 20 D</b> case this
59f0: 77 69 6c 6c 20 61 73 73 75 6d 65 20 74 68 65 20 will assume the
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5a10: 75 6c 3e 0d 0a 3c 6c 69 3e 3c 62 3e 78 27 20 3d ul>..<li><b>x' =
5a20: 20 61 2a 78 20 2b 20 62 2a 79 20 2b 20 78 6f 66 a*x + b*y + xof
5a30: 66 3c 2f 62 3e 3c 2f 6c 69 3e 0d 0a 3c 6c 69 3e f</b></li>..<li>
5a40: 3c 62 3e 79 27 20 3d 20 64 2a 78 20 2b 20 65 2a <b>y' = d*x + e*
5a50: 79 20 2b 20 79 6f 66 66 3c 2f 62 3e 3c 2f 6c 69 y + yoff</b></li
5a60: 3e 0d 0a 3c 2f 75 6c 3e 3c 62 72 3e 0d 0a 41 73 >..</ul><br>..As
5a70: 20 79 6f 75 20 63 61 6e 20 6e 6f 74 69 63 65 2c you can notice,
5a80: 20 61 70 70 6c 79 69 6e 67 20 61 6e 20 41 66 66 applying an Aff
5a90: 69 6e 65 20 54 72 61 6e 73 66 6f 72 6d 61 74 69 ine Transformati
5aa0: 6f 6e 20 64 6f 65 73 20 6e 6f 74 20 72 65 71 75 on does not requ
5ab0: 69 72 65 73 20 63 6f 6d 70 75 74 69 6e 67 20 61 ires computing a
5ac0: 6e 79 20 74 72 69 67 6f 6e 6f 6d 65 74 72 69 63 ny trigonometric
5ad0: 20 66 75 6e 63 74 69 6f 6e 2e 3c 62 72 3e 0d 0a function.<br>..
5ae0: 54 72 69 67 6f 6e 6f 6d 65 74 72 69 63 20 66 75 Trigonometric fu
5af0: 6e 63 74 69 6f 6e 73 20 61 72 65 20 76 65 72 79 nctions are very
5b00: 20 63 6f 73 74 6c 79 20 69 6e 20 63 6f 6d 70 75 costly in compu
5b10: 74 61 74 69 6f 6e 61 6c 20 74 65 72 6d 73 2c 20 tational terms,
5b20: 73 6f 20 61 70 70 6c 79 69 6e 67 20 61 6e 20 41 so applying an A
5b30: 66 66 69 6e 65 20 54 72 61 6e 73 66 6f 72 6d 61 ffine Transforma
5b40: 74 69 6f 6e 20 69 73 20 61 6e 20 69 6e 74 72 69 tion is an intri
5b50: 6e 73 69 63 61 6c 6c 79 20 65 66 66 69 63 69 65 nsically efficie
5b60: 6e 74 20 6d 65 63 68 61 6e 69 73 6d 20 62 65 63 nt mechanism bec
5b70: 61 75 73 65 20 73 69 6d 70 6c 79 20 64 65 70 65 ause simply depe
5b80: 6e 64 73 20 6f 6e 20 6d 75 6c 74 69 70 6c 69 63 nds on multiplic
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5ba0: 69 6f 6e 73 2e 3c 62 72 3e 0d 0a 3c 62 72 3e 3c ions.<br>..<br><
5bb0: 68 72 3e 0d 0a 3c 68 33 3e 63 68 61 69 6e 69 6e hr>..<h3>chainin
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5be0: 73 66 6f 72 6d 61 74 69 6f 6e 73 20 69 6e 20 61 sformations in a
5bf0: 20 73 69 67 6c 65 20 6f 70 65 72 61 74 69 6f 6e sigle operation
5c00: 3c 2f 68 33 3e 0d 0a 41 66 66 69 6e 65 20 74 72 </h3>..Affine tr
5c10: 61 6e 73 66 6f 72 6d 61 74 69 6f 6e 20 6d 61 74 ansformation mat
5c20: 72 69 63 65 73 20 68 61 76 65 20 61 6e 6f 74 68 rices have anoth
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5c40: 72 74 79 2e 3c 62 72 3e 0d 0a 57 65 20 63 61 6e rty.<br>..We can
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5c60: 2f 65 6e 2e 77 69 6b 69 70 65 64 69 61 2e 6f 72 /en.wikipedia.or
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5cc0: 61 74 72 69 63 65 73 20 74 68 75 73 20 6f 62 74 atrices thus obt
5cd0: 61 69 6e 69 6e 67 20 61 20 74 68 69 72 64 20 61 aining a third a
5ce0: 66 66 69 6e 65 20 74 72 61 6e 73 66 6f 72 6d 61 ffine transforma
5cf0: 74 69 6f 6e 20 6d 61 74 72 69 78 2c 20 61 6e 64 tion matrix, and
5d00: 20 74 68 69 73 20 6c 61 74 65 73 74 20 6f 6e 63 this latest onc
5d10: 65 20 61 70 70 6c 69 65 64 20 77 69 6c 6c 20 63 e applied will c
5d20: 6f 6e 74 61 69 6e 20 62 6f 74 68 20 74 72 61 6e ontain both tran
5d30: 73 66 6f 72 6d 61 74 69 6f 6e 73 20 61 6e 64 20 sformations and
5d40: 69 6e 20 74 68 65 20 72 69 67 68 74 20 73 65 71 in the right seq
5d50: 75 65 6e 63 65 2e 3c 62 72 3e 0d 0a 54 68 65 72 uence.<br>..Ther
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5db0: 27 6c 6c 20 73 69 6d 70 6c 79 20 68 61 76 65 20 'll simply have
5dc0: 74 6f 20 63 6f 6e 74 69 6e 75 65 20 6d 75 6c 74 to continue mult
5dd0: 69 70 6c 79 69 6e 67 20 61 6c 6c 20 6d 61 74 72 iplying all matr
5de0: 69 63 65 73 20 6f 6e 65 20 61 66 74 65 72 20 74 ices one after t
5df0: 68 65 20 6f 74 68 65 72 20 63 61 72 65 66 75 6c he other careful
5e00: 6c 79 20 72 65 73 70 65 63 74 69 6e 67 20 74 68 ly respecting th
5e10: 65 20 61 70 70 72 6f 70 72 69 61 74 65 20 73 65 e appropriate se
5e20: 71 75 65 6e 63 65 2e 3c 62 72 3e 0d 0a 41 74 20 quence.<br>..At
5e30: 74 68 65 20 65 6e 64 20 6f 66 20 74 68 65 20 70 the end of the p
5e40: 72 6f 63 65 73 73 20 77 65 27 6c 6c 20 61 6c 77 rocess we'll alw
5e50: 61 79 73 20 67 65 74 20 6a 75 73 74 20 61 20 73 ays get just a s
5e60: 69 6e 67 6c 65 20 61 66 66 69 6e 65 20 74 72 61 ingle affine tra
5e70: 6e 73 66 6f 72 6d 61 74 69 6f 6e 20 6d 61 74 72 nsformation matr
5e80: 69 78 20 66 61 69 74 68 66 75 6c 6c 79 20 72 65 ix faithfully re
5e90: 70 72 65 73 65 6e 74 69 6e 67 20 61 6e 79 20 69 presenting any i
5ea0: 6e 64 69 76 69 64 75 61 6c 20 74 72 61 6e 73 66 ndividual transf
5eb0: 6f 72 6d 61 74 69 6f 6e 20 69 6e 20 74 68 65 20 ormation in the
5ec0: 63 68 61 69 6e 2e 0d 0a 3c 74 61 62 6c 65 20 62 chain...<table b
5ed0: 67 63 6f 6c 6f 72 3d 22 23 66 66 63 30 30 30 22 gcolor="#ffc000"
5ee0: 20 63 65 6c 6c 70 61 64 64 69 6e 67 3d 22 31 30 cellpadding="10
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5f00: 6d 75 6c 74 69 70 6c 69 63 61 74 69 6f 6e 20 62 multiplication b
5f10: 65 74 77 65 65 6e 20 74 77 6f 20 6d 61 74 72 69 etween two matri
5f20: 63 65 73 20 3c 75 3e 69 73 20 6e 6f 74 20 61 20 ces <u>is not a
5f30: 63 6f 6d 6d 75 74 61 74 69 76 65 20 6f 70 65 72 commutative oper
5f40: 61 74 69 6f 6e 3c 2f 75 3e 3a 20 74 68 65 20 72 ation</u>: the r
5f50: 65 6c 61 74 69 76 65 20 6f 72 64 65 72 20 6f 66 elative order of
5f60: 20 6f 70 65 72 61 6e 64 73 20 69 73 20 61 62 73 operands is abs
5f70: 6f 6c 75 74 65 6c 79 20 72 65 6c 65 76 61 6e 74 olutely relevant
5f80: 2e 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 3c 2f 74 61 62 .</td></tr></tab
5f90: 6c 65 3e 0d 0a 3c 68 33 3e 6d 75 6c 74 69 70 6c le>..<h3>multipl
5fa0: 79 69 6e 67 20 74 77 6f 20 6d 61 74 72 69 63 65 ying two matrice
5fb0: 73 3c 2f 68 33 3e 0d 0a 4d 75 6c 74 69 70 6c 69 s</h3>..Multipli
5fc0: 63 61 74 69 6f 6e 20 69 73 20 6e 6f 74 20 72 65 cation is not re
5fd0: 61 6c 6c 79 20 61 20 73 69 6d 70 6c 65 20 6f 70 ally a simple op
5fe0: 65 72 61 74 69 6f 6e 20 77 68 65 6e 20 6d 61 74 eration when mat
5ff0: 72 69 63 65 73 20 61 72 65 20 69 6e 76 6f 6c 76 rices are involv
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6010: 61 20 72 61 74 68 65 72 20 63 6f 6d 70 6c 65 78 a rather complex
6020: 20 70 72 6f 63 65 64 75 72 65 3b 20 74 68 65 20 procedure; the
6030: 66 6f 6c 6c 6f 77 69 6e 67 20 65 78 61 6d 70 6c following exampl
6040: 65 20 73 68 6f 77 20 68 6f 77 20 74 6f 20 6d 75 e show how to mu
6050: 6c 74 69 70 6c 79 20 74 77 6f 20 3c 62 3e 34 20 ltiply two <b>4
6060: 78 20 34 3c 2f 62 3e 20 6d 61 74 72 69 63 65 73 x 4</b> matrices
6070: 2e 3c 62 72 3e 0d 0a 3c 74 61 62 6c 65 20 63 65 .<br>..<table ce
6080: 6c 6c 73 70 61 63 69 6e 67 3d 22 34 22 20 63 65 llspacing="4" ce
6090: 6c 6c 70 61 64 64 69 6e 67 3d 22 34 22 3e 0d 0a llpadding="4">..
60a0: 3c 74 72 3e 3c 74 64 3e 0d 0a 3c 74 61 62 6c 65 <tr><td>..<table
60b0: 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 3e 2f 3c 2f 74 64 >..<tr><td>/</td
60c0: 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 ><td align="cent
60d0: 65 72 22 3e 61 3c 73 75 62 3e 31 31 3c 2f 73 75 er">a<sub>11</su
60e0: 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e b></td><td align
60f0: 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 61 3c 73 75 62 3e ="center">a<sub>
6100: 31 32 3c 2f 73 75 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 12</sub></td><td
6110: 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e align="center">
6120: 61 3c 73 75 62 3e 31 33 3c 2f 73 75 62 3e 3c 2f a<sub>13</sub></
6130: 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 td><td align="ce
6140: 6e 74 65 72 22 3e 61 3c 73 75 62 3e 31 34 3c 2f nter">a<sub>14</
6150: 73 75 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 3e 5c 3c 2f sub></td><td>\</
6160: 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 td></tr>..<tr><t
6170: 64 3e 7c 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 d>|</td><td alig
6180: 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 61 3c 73 75 62 n="center">a<sub
6190: 3e 32 31 3c 2f 73 75 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 >21</sub></td><t
61a0: 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 d align="center"
61b0: 3e 61 3c 73 75 62 3e 32 32 3c 2f 73 75 62 3e 3c >a<sub>22</sub><
61c0: 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 /td><td align="c
61d0: 65 6e 74 65 72 22 3e 61 3c 73 75 62 3e 32 33 3c enter">a<sub>23<
61e0: 2f 73 75 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c /sub></td><td al
61f0: 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 61 3c 73 ign="center">a<s
6200: 75 62 3e 32 34 3c 2f 73 75 62 3e 3c 2f 74 64 3e ub>24</sub></td>
6210: 3c 74 64 3e 7c 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d <td>|</td></tr>.
6220: 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 3e 7c 3c 2f 74 64 3e 3c .<tr><td>|</td><
6230: 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 td align="center
6240: 22 3e 61 3c 73 75 62 3e 33 31 3c 2f 73 75 62 3e ">a<sub>31</sub>
6250: 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 </td><td align="
6260: 63 65 6e 74 65 72 22 3e 61 3c 73 75 62 3e 33 32 center">a<sub>32
6270: 3c 2f 73 75 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 </sub></td><td a
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6290: 73 75 62 3e 33 33 3c 2f 73 75 62 3e 3c 2f 74 64 sub>33</sub></td
62a0: 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 ><td align="cent
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62c0: 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 3e 7c 3c 2f 74 64 b></td><td>|</td
62d0: 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 3e ></tr>..<tr><td>
62e0: 5c 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d \</td><td align=
62f0: 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 61 3c 73 75 62 3e 34 "center">a<sub>4
6300: 31 3c 2f 73 75 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 1</sub></td><td
6310: 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 61 align="center">a
6320: 3c 73 75 62 3e 34 32 3c 2f 73 75 62 3e 3c 2f 74 <sub>42</sub></t
6330: 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e d><td align="cen
6340: 74 65 72 22 3e 61 3c 73 75 62 3e 34 33 3c 2f 73 ter">a<sub>43</s
6350: 75 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 ub></td><td alig
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6380: 64 3e 2f 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c d>/</td></tr>..<
6390: 2f 74 61 62 6c 65 3e 0d 0a 3c 2f 74 64 3e 3c 74 /table>..</td><t
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63b0: 22 3e 2a 3c 2f 74 64 3e 0d 0a 3c 74 64 3e 0d 0a ">*</td>..<td>..
63c0: 3c 74 61 62 6c 65 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 <table>..<tr><td
63d0: 3e 2f 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e >/</td><td align
63e0: 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 62 3c 73 75 62 3e ="center">b<sub>
63f0: 31 31 3c 2f 73 75 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 11</sub></td><td
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6410: 62 3c 73 75 62 3e 31 32 3c 2f 73 75 62 3e 3c 2f b<sub>12</sub></
6420: 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 td><td align="ce
6430: 6e 74 65 72 22 3e 62 3c 73 75 62 3e 31 33 3c 2f nter">b<sub>13</
6440: 73 75 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 sub></td><td ali
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6460: 62 3e 31 34 3c 2f 73 75 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c b>14</sub></td><
6470: 74 64 3e 5c 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a td>\</td></tr>..
6480: 3c 74 72 3e 3c 74 64 3e 7c 3c 2f 74 64 3e 3c 74 <tr><td>|</td><t
6490: 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 d align="center"
64a0: 3e 62 3c 73 75 62 3e 32 31 3c 2f 73 75 62 3e 3c >b<sub>21</sub><
64b0: 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 /td><td align="c
64c0: 65 6e 74 65 72 22 3e 62 3c 73 75 62 3e 32 32 3c enter">b<sub>22<
64d0: 2f 73 75 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c /sub></td><td al
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64f0: 75 62 3e 32 33 3c 2f 73 75 62 3e 3c 2f 74 64 3e ub>23</sub></td>
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6530: 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 3e 7c </tr>..<tr><td>|
6540: 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 </td><td align="
6550: 63 65 6e 74 65 72 22 3e 62 3c 73 75 62 3e 33 31 center">b<sub>31
6560: 3c 2f 73 75 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 </sub></td><td a
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65b0: 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e b></td><td align
65c0: 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 62 3c 73 75 62 3e ="center">b<sub>
65d0: 33 34 3c 2f 73 75 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 34</sub></td><td
65e0: 3e 7c 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 >|</td></tr>..<t
65f0: 72 3e 3c 74 64 3e 5c 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 r><td>\</td><td
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6610: 3c 73 75 62 3e 34 31 3c 2f 73 75 62 3e 3c 2f 74 <sub>41</sub></t
6620: 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e d><td align="cen
6630: 74 65 72 22 3e 62 3c 73 75 62 3e 34 32 3c 2f 73 ter">b<sub>42</s
6640: 75 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 ub></td><td alig
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6660: 3e 34 33 3c 2f 73 75 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 >43</sub></td><t
6670: 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 d align="center"
6680: 3e 62 3c 73 75 62 3e 34 34 3c 2f 73 75 62 3e 3c >b<sub>44</sub><
6690: 2f 74 64 3e 3c 74 64 3e 2f 3c 2f 74 64 3e 3c 2f /td><td>/</td></
66a0: 74 72 3e 0d 0a 3c 2f 74 61 62 6c 65 3e 0d 0a 3c tr>..</table>..<
66b0: 2f 74 64 3e 0d 0a 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 76 /td>..</td><td v
66c0: 61 6c 69 67 6e 3d 22 6d 69 64 64 6c 65 22 3e 3d align="middle">=
66d0: 3c 2f 74 64 3e 0d 0a 3c 74 64 3e 0d 0a 3c 74 61 </td>..<td>..<ta
66e0: 62 6c 65 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 3e 2f 3c ble>..<tr><td>/<
66f0: 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 /td><td align="c
6700: 65 6e 74 65 72 22 3e 0d 0a 28 61 3c 73 75 62 3e enter">..(a<sub>
6710: 31 31 3c 2f 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e 31 11</sub>*b<sub>1
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6730: 62 3e 31 32 3c 2f 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 b>12</sub>*b<sub
6740: 3e 32 31 3c 2f 73 75 62 3e 20 2b 20 0d 0a 61 3c >21</sub> + ..a<
6750: 73 75 62 3e 31 33 3c 2f 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 sub>13</sub>*b<s
6760: 75 62 3e 33 31 3c 2f 73 75 62 3e 20 2b 20 0d 0a ub>31</sub> + ..
6770: 61 3c 73 75 62 3e 31 34 3c 2f 73 75 62 3e 2a 62 a<sub>14</sub>*b
6780: 3c 73 75 62 3e 34 31 3c 2f 73 75 62 3e 29 3c 2f <sub>41</sub>)</
6790: 74 64 3e 0d 0a 3c 74 64 3e 28 61 3c 73 75 62 3e td>..<td>(a<sub>
67a0: 31 31 3c 2f 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e 31 11</sub>*b<sub>1
67b0: 32 3c 2f 73 75 62 3e 20 2b 20 0d 0a 61 3c 73 75 2</sub> + ..a<su
67c0: 62 3e 31 32 3c 2f 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 b>12</sub>*b<sub
67d0: 3e 32 32 3c 2f 73 75 62 3e 20 2b 20 0d 0a 61 3c >22</sub> + ..a<
67e0: 73 75 62 3e 31 33 3c 2f 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 sub>13</sub>*b<s
67f0: 75 62 3e 33 32 3c 2f 73 75 62 3e 20 2b 0d 0a 61 ub>32</sub> +..a
6800: 3c 73 75 62 3e 31 34 3c 2f 73 75 62 3e 2a 62 3c <sub>14</sub>*b<
6810: 73 75 62 3e 34 32 3c 2f 73 75 62 3e 29 3c 2f 74 sub>42</sub>)</t
6820: 64 3e 0d 0a 3c 74 64 3e 28 61 3c 73 75 62 3e 31 d>..<td>(a<sub>1
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6840: 3c 2f 73 75 62 3e 20 2b 20 0d 0a 61 3c 73 75 62 </sub> + ..a<sub
6850: 3e 31 32 3c 2f 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e >12</sub>*b<sub>
6860: 32 33 3c 2f 73 75 62 3e 20 2b 20 0d 0a 61 3c 73 23</sub> + ..a<s
6870: 75 62 3e 31 33 3c 2f 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 ub>13</sub>*b<su
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6890: 73 75 62 3e 31 34 3c 2f 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 sub>14</sub>*b<s
68a0: 75 62 3e 34 33 3c 2f 73 75 62 3e 29 3c 2f 74 64 ub>43</sub>)</td
68b0: 3e 0d 0a 3c 74 64 3e 28 61 3c 73 75 62 3e 31 31 >..<td>(a<sub>11
68c0: 3c 2f 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e 31 34 3c </sub>*b<sub>14<
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68e0: 31 32 3c 2f 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e 32 12</sub>*b<sub>2
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6940: 3c 74 64 3e 5c 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d <td>\</td></tr>.
6950: 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 3e 7c 3c 2f 74 64 3e 3c .<tr><td>|</td><
6960: 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 td align="center
6970: 22 3e 0d 0a 28 61 3c 73 75 62 3e 32 31 3c 2f 73 ">..(a<sub>21</s
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69b0: 73 75 62 3e 20 2b 20 0d 0a 61 3c 73 75 62 3e 32 sub> + ..a<sub>2
69c0: 33 3c 2f 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e 33 31 3</sub>*b<sub>31
69d0: 3c 2f 73 75 62 3e 20 2b 20 0d 0a 61 3c 73 75 62 </sub> + ..a<sub
69e0: 3e 32 34 3c 2f 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e >24</sub>*b<sub>
69f0: 34 31 3c 2f 73 75 62 3e 29 3c 2f 74 64 3e 0d 0a 41</sub>)</td>..
6a00: 3c 74 64 3e 28 61 3c 73 75 62 3e 32 31 3c 2f 73 <td>(a<sub>21</s
6a10: 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e 31 32 3c 2f 73 75 ub>*b<sub>12</su
6a20: 62 3e 20 2b 20 0d 0a 61 3c 73 75 62 3e 32 32 3c b> + ..a<sub>22<
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6a40: 73 75 62 3e 20 2b 20 0d 0a 61 3c 73 75 62 3e 32 sub> + ..a<sub>2
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