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42d0: 3c 62 3e 73 79 3c 2f 62 3e 29 3c 2f 74 64 3e 0d <b>sy</b>)</td>.
42e0: 0a 3c 74 64 3e 2f 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 .<td>/</td><td a
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5230: 3e 58 20 52 6f 6c 6c 28 3c 62 3e 26 74 68 65 74 >X Roll(<b>&thet
5240: 61 3b 3c 2f 62 3e 29 3c 2f 74 64 3e 0d 0a 3c 74 a;</b>)</td>..<t
5250: 64 3e 2f 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 d>/</td><td alig
5260: 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 31 3c 2f 74 64 n="center">1</td
5270: 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 ><td align="cent
5280: 65 72 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c er">0</td><td al
5290: 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 30 3c 2f ign="center">0</
52a0: 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 td><td align="ce
52b0: 6e 74 65 72 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 3e nter">0</td><td>
52c0: 5c 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 \</td></tr>..<tr
52d0: 3e 3c 74 64 3e 7c 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 ><td>|</td><td a
52e0: 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 30 3c lign="center">0<
52f0: 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 /td><td align="c
5300: 65 6e 74 65 72 22 3e 3c 62 3e 63 6f 73 28 26 74 enter"><b>cos(&t
5310: 68 65 74 61 3b 29 3c 2f 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c heta;)</b></td><
5320: 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 td align="center
5330: 22 3e 3c 62 3e 2d 73 69 6e 28 26 74 68 65 74 61 "><b>-sin(&theta
5340: 3b 29 3c 2f 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 ;)</b></td><td a
5350: 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 30 3c lign="center">0<
5360: 2f 74 64 3e 3c 74 64 3e 7c 3c 2f 74 64 3e 3c 2f /td><td>|</td></
5370: 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 3e 7c 3c 2f tr>..<tr><td>|</
5380: 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 td><td align="ce
5390: 6e 74 65 72 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 nter">0</td><td
53a0: 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 3c align="center"><
53b0: 62 3e 73 69 6e 28 26 74 68 65 74 61 3b 29 3c 2f b>sin(θ)</
53c0: 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e b></td><td align
53d0: 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 3c 62 3e 63 6f 73 ="center"><b>cos
53e0: 28 26 74 68 65 74 61 3b 29 3c 2f 62 3e 3c 2f 74 (θ)</b></t
53f0: 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e d><td align="cen
5400: 74 65 72 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 3e 7c ter">0</td><td>|
5410: 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 3e </td></tr>..<tr>
5420: 3c 74 64 3e 5c 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c <td>\</td><td al
5430: 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 30 3c 2f ign="center">0</
5440: 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 td><td align="ce
5450: 6e 74 65 72 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 nter">0</td><td
5460: 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 30 align="center">0
5470: 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 </td><td align="
5480: 63 65 6e 74 65 72 22 3e 31 3c 2f 74 64 3e 3c 74 center">1</td><t
5490: 64 3e 2f 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c d>/</td></tr>..<
54a0: 74 72 3e 3c 74 64 20 63 6f 6c 73 70 61 6e 3d 22 tr><td colspan="
54b0: 35 22 3e 3c 68 72 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 5"><hr></td></tr
54c0: 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 20 72 6f 77 73 70 >..<tr><td rowsp
54d0: 61 6e 3d 22 35 22 20 76 61 6c 69 67 6e 3d 22 6d an="5" valign="m
54e0: 69 64 64 6c 65 22 3e 59 20 52 6f 6c 6c 28 3c 62 iddle">Y Roll(<b
54f0: 3e 26 74 68 65 74 61 3b 3c 2f 62 3e 29 3c 2f 74 >θ</b>)</t
5500: 64 3e 0d 0a 3c 74 64 3e 2f 3c 2f 74 64 3e 3c 74 d>..<td>/</td><t
5510: 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 d align="center"
5520: 3e 3c 62 3e 63 6f 73 28 26 74 68 65 74 61 3b 29 ><b>cos(θ)
5530: 3c 2f 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 </b></td><td ali
5540: 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 30 3c 2f 74 gn="center">0</t
5550: 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e d><td align="cen
5560: 74 65 72 22 3e 3c 62 3e 73 69 6e 28 26 74 68 65 ter"><b>sin(&the
5570: 74 61 3b 29 3c 2f 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 ta;)</b></td><td
5580: 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e align="center">
5590: 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 3e 5c 3c 2f 74 64 3e 0</td><td>\</td>
55a0: 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 3e 7c </tr>..<tr><td>|
55b0: 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 </td><td align="
55c0: 63 65 6e 74 65 72 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 center">0</td><t
55d0: 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 d align="center"
55e0: 3e 31 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e >1</td><td align
55f0: 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e ="center">0</td>
5600: 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 <td align="cente
5610: 72 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 3e 7c 3c 2f r">0</td><td>|</
5620: 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 td></tr>..<tr><t
5630: 64 3e 7c 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 d>|</td><td alig
5640: 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 3c 62 3e 2d 73 n="center"><b>-s
5650: 69 6e 28 26 74 68 65 74 61 3b 29 3c 2f 62 3e 3c in(θ)</b><
5660: 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 /td><td align="c
5670: 65 6e 74 65 72 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 enter">0</td><td
5680: 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e align="center">
5690: 3c 62 3e 63 6f 73 28 26 74 68 65 74 61 3b 29 3c <b>cos(θ)<
56a0: 2f 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 /b></td><td alig
56b0: 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 30 3c 2f 74 64 n="center">0</td
56c0: 3e 3c 74 64 3e 7c 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e ><td>|</td></tr>
56d0: 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 3e 5c 3c 2f 74 64 3e ..<tr><td>\</td>
56e0: 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 <td align="cente
56f0: 72 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 r">0</td><td ali
5700: 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 30 3c 2f 74 gn="center">0</t
5710: 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e d><td align="cen
5720: 74 65 72 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 ter">0</td><td a
5730: 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 31 3c lign="center">1<
5740: 2f 74 64 3e 3c 74 64 3e 2f 3c 2f 74 64 3e 3c 2f /td><td>/</td></
5750: 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 20 63 6f 6c tr>..<tr><td col
5760: 73 70 61 6e 3d 22 35 22 3e 3c 68 72 3e 3c 2f 74 span="5"><hr></t
5770: 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 d></tr>..<tr><td
5780: 20 72 6f 77 73 70 61 6e 3d 22 35 22 20 76 61 6c rowspan="5" val
5790: 69 67 6e 3d 22 6d 69 64 64 6c 65 22 3e 5a 20 52 ign="middle">Z R
57a0: 6f 6c 6c 28 3c 62 3e 26 74 68 65 74 61 3b 3c 2f oll(<b>θ</
57b0: 62 3e 29 3c 2f 74 64 3e 0d 0a 3c 74 64 3e 2f 3c b>)</td>..<td>/<
57c0: 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 /td><td align="c
57d0: 65 6e 74 65 72 22 3e 3c 62 3e 63 6f 73 28 26 74 enter"><b>cos(&t
57e0: 68 65 74 61 3b 29 3c 2f 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c heta;)</b></td><
57f0: 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 td align="center
5800: 22 3e 3c 62 3e 2d 73 69 6e 28 26 74 68 65 74 61 "><b>-sin(&theta
5810: 3b 29 3c 2f 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 ;)</b></td><td a
5820: 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 30 3c lign="center">0<
5830: 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 /td><td align="c
5840: 65 6e 74 65 72 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 enter">0</td><td
5850: 3e 5c 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 >\</td></tr>..<t
5860: 72 3e 3c 74 64 3e 7c 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 r><td>|</td><td
5870: 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 3c align="center"><
5880: 62 3e 73 69 6e 28 26 74 68 65 74 61 3b 29 3c 2f b>sin(θ)</
5890: 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e b></td><td align
58a0: 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 3c 62 3e 63 6f 73 ="center"><b>cos
58b0: 28 26 74 68 65 74 61 3b 29 3c 2f 62 3e 3c 2f 74 (θ)</b></t
58c0: 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e d><td align="cen
58d0: 74 65 72 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 ter">0</td><td a
58e0: 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 30 3c lign="center">0<
58f0: 2f 74 64 3e 3c 74 64 3e 7c 3c 2f 74 64 3e 3c 2f /td><td>|</td></
5900: 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 3e 7c 3c 2f tr>..<tr><td>|</
5910: 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 td><td align="ce
5920: 6e 74 65 72 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 nter">0</td><td
5930: 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 30 align="center">0
5940: 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 </td><td align="
5950: 63 65 6e 74 65 72 22 3e 31 3c 2f 74 64 3e 3c 74 center">1</td><t
5960: 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 d align="center"
5970: 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 3e 7c 3c 2f 74 64 >0</td><td>|</td
5980: 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 3e ></tr>..<tr><td>
5990: 5c 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d \</td><td align=
59a0: 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c "center">0</td><
59b0: 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 td align="center
59c0: 22 3e 30 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 ">0</td><td alig
59d0: 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 30 3c 2f 74 64 n="center">0</td
59e0: 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 ><td align="cent
59f0: 65 72 22 3e 31 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 3e 2f 3c er">1</td><td>/<
5a00: 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c /td></tr>..<tr><
5a10: 74 64 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c td></td></tr>..<
5a20: 2f 74 61 62 6c 65 3e 0d 0a 3c 62 72 3e 3c 68 72 /table>..<br><hr
5a30: 3e 0d 0a 3c 68 33 3e 61 70 70 6c 79 69 6e 67 20 >..<h3>applying
5a40: 61 6e 20 41 66 66 69 6e 65 20 54 72 61 6e 73 66 an Affine Transf
5a50: 6f 72 6d 61 74 69 6f 6e 3c 2f 68 33 3e 0d 0a 49 ormation</h3>..I
5a60: 6e 20 6f 72 64 65 72 20 74 6f 20 6d 61 74 65 72 n order to mater
5a70: 69 61 6c 69 7a 65 20 61 6e 20 61 66 66 69 6e 65 ialize an affine
5a80: 20 74 72 61 6e 73 66 6f 72 6d 61 74 69 6f 6e 20 transformation
5a90: 77 65 20 73 69 6d 70 6c 79 20 68 61 76 65 20 74 we simply have t
5aa0: 6f 20 63 6f 6d 70 75 74 65 20 20 3c 62 3e 28 78 o compute <b>(x
5ab0: 27 2c 20 79 27 2c 20 7a 27 29 3c 2f 62 3e 20 63 ', y', z')</b> c
5ac0: 6f 6f 72 64 69 6e 61 74 65 73 20 73 74 61 72 74 oordinates start
5ad0: 69 6e 67 20 66 72 6f 6d 20 3c 62 3e 28 78 2c 20 ing from <b>(x,
5ae0: 79 2c 20 7a 29 3c 2f 62 3e 20 66 6f 72 20 65 76 y, z)</b> for ev
5af0: 65 72 79 20 70 6f 69 6e 74 20 6f 72 20 76 65 72 ery point or ver
5b00: 74 65 78 20 66 6f 75 6e 64 20 69 6e 20 74 68 65 tex found in the
5b10: 20 69 6e 70 75 74 20 47 65 6f 6d 65 74 72 79 20 input Geometry
5b20: 61 63 63 6f 72 64 69 6e 67 6c 79 20 74 6f 20 74 accordingly to t
5b30: 68 65 20 66 6f 6c 6c 6f 77 69 6e 67 20 66 6f 72 he following for
5b40: 6d 75 6c 61 65 3a 0d 0a 3c 75 6c 3e 0d 0a 3c 6c mulae:..<ul>..<l
5b50: 69 3e 3c 62 3e 78 27 20 3d 20 61 2a 78 20 2b 20 i><b>x' = a*x +
5b60: 62 2a 79 20 2b 20 63 2a 7a 20 2b 20 78 6f 66 66 b*y + c*z + xoff
5b70: 3c 2f 62 3e 3c 2f 6c 69 3e 0d 0a 3c 6c 69 3e 3c </b></li>..<li><
5b80: 62 3e 79 27 20 3d 20 64 2a 78 20 2b 20 65 2a 79 b>y' = d*x + e*y
5b90: 20 2b 20 66 2a 7a 20 2b 20 79 6f 66 66 3c 2f 62 + f*z + yoff</b
5ba0: 3e 3c 2f 6c 69 3e 0d 0a 3c 6c 69 3e 3c 62 3e 7a ></li>..<li><b>z
5bb0: 27 20 3d 20 67 2a 78 20 2b 20 68 2a 79 20 2b 20 ' = g*x + h*y +
5bc0: 69 2a 7a 20 2b 20 7a 6f 66 66 3c 2f 62 3e 3c 2f i*z + zoff</b></
5bd0: 6c 69 3e 0d 0a 3c 2f 75 6c 3e 3c 62 72 3e 0d 0a li>..</ul><br>..
5be0: 69 6e 20 74 68 65 20 73 69 6d 70 6c 65 72 20 3c in the simpler <
5bf0: 62 3e 32 44 3c 2f 62 3e 20 63 61 73 65 20 74 68 b>2D</b> case th
5c00: 69 73 20 77 69 6c 6c 20 61 73 73 75 6d 65 20 74 is will assume t
5c10: 68 65 20 72 65 64 75 63 65 64 20 66 6f 72 6d 3a he reduced form:
5c20: 0d 0a 3c 75 6c 3e 0d 0a 3c 6c 69 3e 3c 62 3e 78 ..<ul>..<li><b>x
5c30: 27 20 3d 20 61 2a 78 20 2b 20 62 2a 79 20 2b 20 ' = a*x + b*y +
5c40: 78 6f 66 66 3c 2f 62 3e 3c 2f 6c 69 3e 0d 0a 3c xoff</b></li>..<
5c50: 6c 69 3e 3c 62 3e 79 27 20 3d 20 64 2a 78 20 2b li><b>y' = d*x +
5c60: 20 65 2a 79 20 2b 20 79 6f 66 66 3c 2f 62 3e 3c e*y + yoff</b><
5c70: 2f 6c 69 3e 0d 0a 3c 2f 75 6c 3e 3c 62 72 3e 0d /li>..</ul><br>.
5c80: 0a 41 73 20 79 6f 75 20 63 61 6e 20 6e 6f 74 69 .As you can noti
5c90: 63 65 2c 20 61 70 70 6c 79 69 6e 67 20 61 6e 20 ce, applying an
5ca0: 41 66 66 69 6e 65 20 54 72 61 6e 73 66 6f 72 6d Affine Transform
5cb0: 61 74 69 6f 6e 20 64 6f 65 73 20 6e 6f 74 20 72 ation does not r
5cc0: 65 71 75 69 72 65 73 20 63 6f 6d 70 75 74 69 6e equires computin
5cd0: 67 20 61 6e 79 20 74 72 69 67 6f 6e 6f 6d 65 74 g any trigonomet
5ce0: 72 69 63 20 66 75 6e 63 74 69 6f 6e 2e 3c 62 72 ric function.<br
5cf0: 3e 0d 0a 54 72 69 67 6f 6e 6f 6d 65 74 72 69 63 >..Trigonometric
5d00: 20 66 75 6e 63 74 69 6f 6e 73 20 61 72 65 20 76 functions are v
5d10: 65 72 79 20 63 6f 73 74 6c 79 20 69 6e 20 63 6f ery costly in co
5d20: 6d 70 75 74 61 74 69 6f 6e 61 6c 20 74 65 72 6d mputational term
5d30: 73 2c 20 73 6f 20 61 70 70 6c 79 69 6e 67 20 61 s, so applying a
5d40: 6e 20 41 66 66 69 6e 65 20 54 72 61 6e 73 66 6f n Affine Transfo
5d50: 72 6d 61 74 69 6f 6e 20 69 73 20 61 6e 20 69 6e rmation is an in
5d60: 74 72 69 6e 73 69 63 61 6c 6c 79 20 65 66 66 69 trinsically effi
5d70: 63 69 65 6e 74 20 6d 65 63 68 61 6e 69 73 6d 20 cient mechanism
5d80: 62 65 63 61 75 73 65 20 73 69 6d 70 6c 79 20 64 because simply d
5d90: 65 70 65 6e 64 73 20 6f 6e 20 6d 75 6c 74 69 70 epends on multip
5da0: 6c 69 63 61 74 69 6f 6e 73 20 61 6e 64 20 61 64 lications and ad
5db0: 64 69 74 69 6f 6e 73 2e 3c 62 72 3e 0d 0a 3c 62 ditions.<br>..<b
5dc0: 72 3e 3c 68 72 3e 0d 0a 3c 68 33 3e 63 68 61 69 r><hr>..<h3>chai
5dd0: 6e 69 6e 67 20 74 77 6f 20 28 6f 72 20 65 76 65 ning two (or eve
5de0: 6e 20 6d 6f 72 65 29 20 41 66 66 69 6e 65 20 54 n more) Affine T
5df0: 72 61 6e 73 66 6f 72 6d 61 74 69 6f 6e 73 20 69 ransformations i
5e00: 6e 20 61 20 73 69 6e 67 6c 65 20 6f 70 65 72 61 n a single opera
5e10: 74 69 6f 6e 3c 2f 68 33 3e 0d 0a 41 66 66 69 6e tion</h3>..Affin
5e20: 65 20 74 72 61 6e 73 66 6f 72 6d 61 74 69 6f 6e e transformation
5e30: 20 6d 61 74 72 69 63 65 73 20 68 61 76 65 20 61 matrices have a
5e40: 6e 6f 74 68 65 72 20 61 73 74 6f 6e 69 73 68 69 nother astonishi
5e50: 6e 67 20 70 72 6f 70 65 72 74 79 2e 3c 62 72 3e ng property.<br>
5e60: 0d 0a 57 65 20 63 61 6e 20 3c 61 20 68 72 65 66 ..We can <a href
5e70: 3d 22 68 74 74 70 3a 2f 2f 65 6e 2e 77 69 6b 69 ="http://en.wiki
5e80: 70 65 64 69 61 2e 6f 72 67 2f 77 69 6b 69 2f 4d pedia.org/wiki/M
5e90: 61 74 72 69 78 5f 6d 75 6c 74 69 70 6c 69 63 61 atrix_multiplica
5ea0: 74 69 6f 6e 22 3e 6d 75 6c 74 69 70 6c 79 3c 2f tion">multiply</
5eb0: 61 3e 20 74 77 6f 20 64 69 66 66 65 72 65 6e 74 a> two different
5ec0: 20 61 66 66 69 6e 65 20 74 72 61 6e 73 66 6f 72 affine transfor
5ed0: 6d 61 74 69 6f 6e 20 6d 61 74 72 69 63 65 73 20 mation matrices
5ee0: 74 68 75 73 20 6f 62 74 61 69 6e 69 6e 67 20 61 thus obtaining a
5ef0: 20 74 68 69 72 64 20 6d 61 74 72 69 78 2c 20 61 third matrix, a
5f00: 6e 64 20 74 68 69 73 20 6c 61 74 65 73 74 20 6f nd this latest o
5f10: 6e 63 65 20 61 70 70 6c 69 65 64 20 77 69 6c 6c nce applied will
5f20: 20 63 6f 6e 74 61 69 6e 20 62 6f 74 68 20 74 72 contain both tr
5f30: 61 6e 73 66 6f 72 6d 61 74 69 6f 6e 73 20 61 6e ansformations an
5f40: 64 20 69 6e 20 74 68 65 20 72 69 67 68 74 20 73 d in the right s
5f50: 65 71 75 65 6e 63 65 2e 3c 62 72 3e 0d 0a 54 68 equence.<br>..Th
5f60: 65 72 65 20 69 73 20 6e 6f 20 6c 69 6d 69 74 3b ere is no limit;
5f70: 20 77 65 20 63 61 6e 20 69 6e 66 69 6e 69 74 69 we can infiniti
5f80: 76 65 6c 79 20 63 68 61 69 6e 20 61 73 20 6d 61 vely chain as ma
5f90: 6e 79 20 74 72 61 6e 73 66 6f 72 6d 61 74 69 6f ny transformatio
5fa0: 6e 73 20 61 73 20 72 65 71 75 69 72 65 64 2c 20 ns as required,
5fb0: 77 65 27 6c 6c 20 73 69 6d 70 6c 79 20 68 61 76 we'll simply hav
5fc0: 65 20 74 6f 20 63 6f 6e 74 69 6e 75 65 20 6d 75 e to continue mu
5fd0: 6c 74 69 70 6c 79 69 6e 67 20 61 6c 6c 20 6d 61 ltiplying all ma
5fe0: 74 72 69 63 65 73 20 6f 6e 65 20 61 66 74 65 72 trices one after
5ff0: 20 74 68 65 20 6f 74 68 65 72 20 63 61 72 65 66 the other caref
6000: 75 6c 6c 79 20 72 65 73 70 65 63 74 69 6e 67 20 ully respecting
6010: 74 68 65 20 61 70 70 72 6f 70 72 69 61 74 65 20 the appropriate
6020: 73 65 71 75 65 6e 63 65 2e 3c 62 72 3e 0d 0a 41 sequence.<br>..A
6030: 74 20 74 68 65 20 65 6e 64 20 6f 66 20 74 68 65 t the end of the
6040: 20 70 72 6f 63 65 73 73 20 77 65 27 6c 6c 20 61 process we'll a
6050: 6c 77 61 79 73 20 67 65 74 20 6a 75 73 74 20 61 lways get just a
6060: 20 73 69 6e 67 6c 65 20 61 66 66 69 6e 65 20 74 single affine t
6070: 72 61 6e 73 66 6f 72 6d 61 74 69 6f 6e 20 6d 61 ransformation ma
6080: 74 72 69 78 20 66 61 69 74 68 66 75 6c 6c 79 20 trix faithfully
6090: 72 65 70 72 65 73 65 6e 74 69 6e 67 20 61 6e 79 representing any
60a0: 20 69 6e 64 69 76 69 64 75 61 6c 20 74 72 61 6e individual tran
60b0: 73 66 6f 72 6d 61 74 69 6f 6e 20 69 6e 20 74 68 sformation in th
60c0: 65 20 63 68 61 69 6e 2e 0d 0a 3c 74 61 62 6c 65 e chain...<table
60d0: 20 62 67 63 6f 6c 6f 72 3d 22 23 66 66 63 30 30 bgcolor="#ffc00
60e0: 30 22 20 63 65 6c 6c 70 61 64 64 69 6e 67 3d 22 0" cellpadding="
60f0: 31 30 22 3e 3c 74 72 3e 3c 74 64 3e 0d 0a 54 68 10"><tr><td>..Th
6100: 65 20 6d 75 6c 74 69 70 6c 69 63 61 74 69 6f 6e e multiplication
6110: 20 62 65 74 77 65 65 6e 20 74 77 6f 20 6d 61 74 between two mat
6120: 72 69 63 65 73 20 3c 75 3e 69 73 20 6e 6f 74 20 rices <u>is not
6130: 61 20 63 6f 6d 6d 75 74 61 74 69 76 65 20 6f 70 a commutative op
6140: 65 72 61 74 69 6f 6e 3c 2f 75 3e 3a 20 74 68 65 eration</u>: the
6150: 20 72 65 6c 61 74 69 76 65 20 6f 72 64 65 72 20 relative order
6160: 6f 66 20 6f 70 65 72 61 6e 64 73 20 69 73 20 61 of operands is a
6170: 62 73 6f 6c 75 74 65 6c 79 20 72 65 6c 65 76 61 bsolutely releva
6180: 6e 74 2e 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 3c 2f 74 nt.</td></tr></t
6190: 61 62 6c 65 3e 0d 0a 3c 68 33 3e 6d 75 6c 74 69 able>..<h3>multi
61a0: 70 6c 79 69 6e 67 20 74 77 6f 20 6d 61 74 72 69 plying two matri
61b0: 63 65 73 3c 2f 68 33 3e 0d 0a 4d 75 6c 74 69 70 ces</h3>..Multip
61c0: 6c 69 63 61 74 69 6f 6e 20 69 73 20 6e 6f 74 20 lication is not
61d0: 72 65 61 6c 6c 79 20 61 20 73 69 6d 70 6c 65 20 really a simple
61e0: 6f 70 65 72 61 74 69 6f 6e 20 77 68 65 6e 20 6d operation when m
61f0: 61 74 72 69 63 65 73 20 61 72 65 20 69 6e 76 6f atrices are invo
6200: 6c 76 65 64 20 61 6e 64 20 72 65 71 75 69 72 65 lved and require
6210: 73 20 61 20 72 61 74 68 65 72 20 63 6f 6d 70 6c s a rather compl
6220: 65 78 20 70 72 6f 63 65 64 75 72 65 3b 20 74 68 ex procedure; th
6230: 65 20 66 6f 6c 6c 6f 77 69 6e 67 20 65 78 61 6d e following exam
6240: 70 6c 65 20 73 68 6f 77 73 20 68 6f 77 20 74 6f ple shows how to
6250: 20 6d 75 6c 74 69 70 6c 79 20 74 77 6f 20 3c 62 multiply two <b
6260: 3e 34 20 78 20 34 3c 2f 62 3e 20 6d 61 74 72 69 >4 x 4</b> matri
6270: 63 65 73 2e 3c 62 72 3e 0d 0a 3c 74 61 62 6c 65 ces.<br>..<table
6280: 20 63 65 6c 6c 73 70 61 63 69 6e 67 3d 22 34 22 cellspacing="4"
6290: 20 63 65 6c 6c 70 61 64 64 69 6e 67 3d 22 34 22 cellpadding="4"
62a0: 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 3e 0d 0a 3c 74 61 >..<tr><td>..<ta
62b0: 62 6c 65 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 3e 2f 3c ble>..<tr><td>/<
62c0: 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 /td><td align="c
62d0: 65 6e 74 65 72 22 3e 61 3c 73 75 62 3e 31 31 3c enter">a<sub>11<
62e0: 2f 73 75 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c /sub></td><td al
62f0: 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 61 3c 73 ign="center">a<s
6300: 75 62 3e 31 32 3c 2f 73 75 62 3e 3c 2f 74 64 3e ub>12</sub></td>
6310: 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 <td align="cente
6320: 72 22 3e 61 3c 73 75 62 3e 31 33 3c 2f 73 75 62 r">a<sub>13</sub
6330: 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d ></td><td align=
6340: 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 61 3c 73 75 62 3e 31 "center">a<sub>1
6350: 34 3c 2f 73 75 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 3e 4</sub></td><td>
6360: 5c 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 \</td></tr>..<tr
6370: 3e 3c 74 64 3e 7c 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 ><td>|</td><td a
6380: 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 61 3c lign="center">a<
6390: 73 75 62 3e 32 31 3c 2f 73 75 62 3e 3c 2f 74 64 sub>21</sub></td
63a0: 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 ><td align="cent
63b0: 65 72 22 3e 61 3c 73 75 62 3e 32 32 3c 2f 73 75 er">a<sub>22</su
63c0: 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e b></td><td align
63d0: 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 61 3c 73 75 62 3e ="center">a<sub>
63e0: 32 33 3c 2f 73 75 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 23</sub></td><td
63f0: 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e align="center">
6400: 61 3c 73 75 62 3e 32 34 3c 2f 73 75 62 3e 3c 2f a<sub>24</sub></
6410: 74 64 3e 3c 74 64 3e 7c 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 td><td>|</td></t
6420: 72 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 3e 7c 3c 2f 74 r>..<tr><td>|</t
6430: 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e d><td align="cen
6440: 74 65 72 22 3e 61 3c 73 75 62 3e 33 31 3c 2f 73 ter">a<sub>31</s
6450: 75 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 ub></td><td alig
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6470: 3e 33 32 3c 2f 73 75 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 >32</sub></td><t
6480: 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 d align="center"
6490: 3e 61 3c 73 75 62 3e 33 33 3c 2f 73 75 62 3e 3c >a<sub>33</sub><
64a0: 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 /td><td align="c
64b0: 65 6e 74 65 72 22 3e 61 3c 73 75 62 3e 33 34 3c enter">a<sub>34<
64c0: 2f 73 75 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 3e 7c 3c /sub></td><td>|<
64d0: 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c /td></tr>..<tr><
64e0: 74 64 3e 5c 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 td>\</td><td ali
64f0: 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 61 3c 73 75 gn="center">a<su
6500: 62 3e 34 31 3c 2f 73 75 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c b>41</sub></td><
6510: 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 td align="center
6520: 22 3e 61 3c 73 75 62 3e 34 32 3c 2f 73 75 62 3e ">a<sub>42</sub>
6530: 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 </td><td align="
6540: 63 65 6e 74 65 72 22 3e 61 3c 73 75 62 3e 34 33 center">a<sub>43
6550: 3c 2f 73 75 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 </sub></td><td a
6560: 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 61 3c lign="center">a<
6570: 73 75 62 3e 34 34 3c 2f 73 75 62 3e 3c 2f 74 64 sub>44</sub></td
6580: 3e 3c 74 64 3e 2f 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e ><td>/</td></tr>
6590: 0d 0a 3c 2f 74 61 62 6c 65 3e 0d 0a 3c 2f 74 64 ..</table>..</td
65a0: 3e 3c 74 64 20 76 61 6c 69 67 6e 3d 22 6d 69 64 ><td valign="mid
65b0: 64 6c 65 22 3e 2a 3c 2f 74 64 3e 0d 0a 3c 74 64 dle">*</td>..<td
65c0: 3e 0d 0a 3c 74 61 62 6c 65 3e 0d 0a 3c 74 72 3e >..<table>..<tr>
65d0: 3c 74 64 3e 2f 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c <td>/</td><td al
65e0: 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 62 3c 73 ign="center">b<s
65f0: 75 62 3e 31 31 3c 2f 73 75 62 3e 3c 2f 74 64 3e ub>11</sub></td>
6600: 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 <td align="cente
6610: 72 22 3e 62 3c 73 75 62 3e 31 32 3c 2f 73 75 62 r">b<sub>12</sub
6620: 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d ></td><td align=
6630: 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 62 3c 73 75 62 3e 31 "center">b<sub>1
6640: 33 3c 2f 73 75 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 3</sub></td><td
6650: 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 62 align="center">b
6660: 3c 73 75 62 3e 31 34 3c 2f 73 75 62 3e 3c 2f 74 <sub>14</sub></t
6670: 64 3e 3c 74 64 3e 5c 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 d><td>\</td></tr
6680: 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 3e 7c 3c 2f 74 64 >..<tr><td>|</td
6690: 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 ><td align="cent
66a0: 65 72 22 3e 62 3c 73 75 62 3e 32 31 3c 2f 73 75 er">b<sub>21</su
66b0: 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e b></td><td align
66c0: 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 62 3c 73 75 62 3e ="center">b<sub>
66d0: 32 32 3c 2f 73 75 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 22</sub></td><td
66e0: 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e align="center">
66f0: 62 3c 73 75 62 3e 32 33 3c 2f 73 75 62 3e 3c 2f b<sub>23</sub></
6700: 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 td><td align="ce
6710: 6e 74 65 72 22 3e 62 3c 73 75 62 3e 32 34 3c 2f nter">b<sub>24</
6720: 73 75 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 3e 7c 3c 2f sub></td><td>|</
6730: 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 td></tr>..<tr><t
6740: 64 3e 7c 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 d>|</td><td alig
6750: 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 62 3c 73 75 62 n="center">b<sub
6760: 3e 33 31 3c 2f 73 75 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 >31</sub></td><t
6770: 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 d align="center"
6780: 3e 62 3c 73 75 62 3e 33 32 3c 2f 73 75 62 3e 3c >b<sub>32</sub><
6790: 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 /td><td align="c
67a0: 65 6e 74 65 72 22 3e 62 3c 73 75 62 3e 33 33 3c enter">b<sub>33<
67b0: 2f 73 75 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c /sub></td><td al
67c0: 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 62 3c 73 ign="center">b<s
67d0: 75 62 3e 33 34 3c 2f 73 75 62 3e 3c 2f 74 64 3e ub>34</sub></td>
67e0: 3c 74 64 3e 7c 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d <td>|</td></tr>.
67f0: 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 3e 5c 3c 2f 74 64 3e 3c .<tr><td>\</td><
6800: 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 td align="center
6810: 22 3e 62 3c 73 75 62 3e 34 31 3c 2f 73 75 62 3e ">b<sub>41</sub>
6820: 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 </td><td align="
6830: 63 65 6e 74 65 72 22 3e 62 3c 73 75 62 3e 34 32 center">b<sub>42
6840: 3c 2f 73 75 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 </sub></td><td a
6850: 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 62 3c lign="center">b<
6860: 73 75 62 3e 34 33 3c 2f 73 75 62 3e 3c 2f 74 64 sub>43</sub></td
6870: 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e 3d 22 63 65 6e 74 ><td align="cent
6880: 65 72 22 3e 62 3c 73 75 62 3e 34 34 3c 2f 73 75 er">b<sub>44</su
6890: 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 3e 2f 3c 2f 74 64 b></td><td>/</td
68a0: 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 2f 74 61 62 6c 65 3e ></tr>..</table>
68b0: 0d 0a 3c 2f 74 64 3e 0d 0a 3c 2f 74 64 3e 3c 74 ..</td>..</td><t
68c0: 64 20 76 61 6c 69 67 6e 3d 22 6d 69 64 64 6c 65 d valign="middle
68d0: 22 3e 3d 3c 2f 74 64 3e 0d 0a 3c 74 64 3e 0d 0a ">=</td>..<td>..
68e0: 3c 74 61 62 6c 65 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 <table>..<tr><td
68f0: 3e 2f 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 20 61 6c 69 67 6e >/</td><td align
6900: 3d 22 63 65 6e 74 65 72 22 3e 0d 0a 28 61 3c 73 ="center">..(a<s
6910: 75 62 3e 31 31 3c 2f 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 ub>11</sub>*b<su
6920: 62 3e 31 31 3c 2f 73 75 62 3e 20 2b 20 0d 0a 61 b>11</sub> + ..a
6930: 3c 73 75 62 3e 31 32 3c 2f 73 75 62 3e 2a 62 3c <sub>12</sub>*b<
6940: 73 75 62 3e 32 31 3c 2f 73 75 62 3e 20 2b 20 0d sub>21</sub> + .
6950: 0a 61 3c 73 75 62 3e 31 33 3c 2f 73 75 62 3e 2a .a<sub>13</sub>*
6960: 62 3c 73 75 62 3e 33 31 3c 2f 73 75 62 3e 20 2b b<sub>31</sub> +
6970: 20 0d 0a 61 3c 73 75 62 3e 31 34 3c 2f 73 75 62 ..a<sub>14</sub
6980: 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e 34 31 3c 2f 73 75 62 3e >*b<sub>41</sub>
6990: 29 3c 2f 74 64 3e 0d 0a 3c 74 64 3e 28 61 3c 73 )</td>..<td>(a<s
69a0: 75 62 3e 31 31 3c 2f 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 ub>11</sub>*b<su
69b0: 62 3e 31 32 3c 2f 73 75 62 3e 20 2b 20 0d 0a 61 b>12</sub> + ..a
69c0: 3c 73 75 62 3e 31 32 3c 2f 73 75 62 3e 2a 62 3c <sub>12</sub>*b<
69d0: 73 75 62 3e 32 32 3c 2f 73 75 62 3e 20 2b 20 0d sub>22</sub> + .
69e0: 0a 61 3c 73 75 62 3e 31 33 3c 2f 73 75 62 3e 2a .a<sub>13</sub>*
69f0: 62 3c 73 75 62 3e 33 32 3c 2f 73 75 62 3e 20 2b b<sub>32</sub> +
6a00: 0d 0a 61 3c 73 75 62 3e 31 34 3c 2f 73 75 62 3e ..a<sub>14</sub>
6a10: 2a 62 3c 73 75 62 3e 34 32 3c 2f 73 75 62 3e 29 *b<sub>42</sub>)
6a20: 3c 2f 74 64 3e 0d 0a 3c 74 64 3e 28 61 3c 73 75 </td>..<td>(a<su
6a30: 62 3e 31 31 3c 2f 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 b>11</sub>*b<sub
6a40: 3e 31 33 3c 2f 73 75 62 3e 20 2b 20 0d 0a 61 3c >13</sub> + ..a<
6a50: 73 75 62 3e 31 32 3c 2f 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 sub>12</sub>*b<s
6a60: 75 62 3e 32 33 3c 2f 73 75 62 3e 20 2b 20 0d 0a ub>23</sub> + ..
6a70: 61 3c 73 75 62 3e 31 33 3c 2f 73 75 62 3e 2a 62 a<sub>13</sub>*b
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6a90: 0a 61 3c 73 75 62 3e 31 34 3c 2f 73 75 62 3e 2a .a<sub>14</sub>*
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6d20: 0a 3c 74 64 3e 28 61 3c 73 75 62 3e 32 31 3c 2f .<td>(a<sub>21</
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6d90: 3e 32 34 3c 2f 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e >24</sub>*b<sub>
6da0: 34 34 3c 2f 73 75 62 3e 29 3c 2f 74 64 3e 3c 74 44</sub>)</td><t
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6e60: 3c 2f 73 75 62 3e 29 3c 2f 74 64 3e 0d 0a 3c 74 </sub>)</td>..<t
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6ed0: 73 75 62 3e 20 2b 0d 0a 61 3c 73 75 62 3e 33 34 sub> +..a<sub>34
6ee0: 3c 2f 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e 34 32 3c </sub>*b<sub>42<
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6f50: 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e 33 33 3c 2f 73 sub>*b<sub>33</s
6f60: 75 62 3e 20 2b 0d 0a 61 3c 73 75 62 3e 33 34 3c ub> +..a<sub>34<
6f70: 2f 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e 34 33 3c 2f /sub>*b<sub>43</
6f80: 73 75 62 3e 29 3c 2f 74 64 3e 0d 0a 3c 74 64 3e sub>)</td>..<td>
6f90: 28 61 3c 73 75 62 3e 33 31 3c 2f 73 75 62 3e 2a (a<sub>31</sub>*
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6fb0: 20 0d 0a 61 3c 73 75 62 3e 33 32 3c 2f 73 75 62 ..a<sub>32</sub
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7000: 73 75 62 3e 2a 62 3c 73 75 62 3e 34 34 3c 2f 73 sub>*b<sub>44</s
7010: 75 62 3e 29 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 3e 7c 3c 2f ub>)</td><td>|</
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71b0: 0a 61 3c 73 75 62 3e 34 33 3c 2f 73 75 62 3e 2a .a<sub>43</sub>*
71c0: 62 3c 73 75 62 3e 33 33 3c 2f 73 75 62 3e 20 2b b<sub>33</sub> +
71d0: 0d 0a 61 3c 73 75 62 3e 34 34 3c 2f 73 75 62 3e ..a<sub>44</sub>
71e0: 2a 62 3c 73 75 62 3e 34 33 3c 2f 73 75 62 3e 29 *b<sub>43</sub>)
71f0: 3c 2f 74 64 3e 0d 0a 3c 74 64 3e 28 61 3c 73 75 </td>..<td>(a<su
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7240: 61 3c 73 75 62 3e 34 33 3c 2f 73 75 62 3e 2a 62 a<sub>43</sub>*b
7250: 3c 73 75 62 3e 33 34 3c 2f 73 75 62 3e 20 2b 0d <sub>34</sub> +.
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7270: 62 3c 73 75 62 3e 34 34 3c 2f 73 75 62 3e 29 3c b<sub>44</sub>)<
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7330: 20 65 6e 64 20 6f 66 20 74 68 65 20 70 72 6f 63 end of the proc
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7370: 20 73 61 6d 65 20 61 73 20 62 65 66 6f 72 65 2e same as before.
7380: 3c 62 72 3e 0d 0a 4d 6f 72 65 6f 76 65 72 20 61 <br>..Moreover a
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8340: 72 6f 72 20 6f 63 63 75 72 73 20 6f 72 20 6f 6e ror occurs or on
8350: 20 69 6e 76 61 6c 69 64 20 61 72 67 75 6d 65 6e invalid argumen
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83d0: 61 6e 73 66 6f 72 6d 61 74 69 6f 6e 20 4d 61 74 ansformation Mat
83e0: 72 69 78 20 69 6e 69 74 69 61 6c 69 7a 65 64 20 rix initialized
83f0: 61 73 20 52 6f 74 61 74 69 6f 6e 20 61 72 6f 75 as Rotation arou
8400: 6e 64 20 74 68 65 20 59 20 61 78 69 73 2e 3c 62 nd the Y axis.<b
8410: 72 3e 0d 0a 4e 55 4c 4c 20 69 66 20 61 6e 79 20 r>..NULL if any
8420: 65 72 72 6f 72 20 6f 63 63 75 72 73 20 6f 72 20 error occurs or
8430: 6f 6e 20 69 6e 76 61 6c 69 64 20 61 72 67 75 6d on invalid argum
8440: 65 6e 74 73 2e 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d ents.</td></tr>.
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8520: 20 41 54 2d 6d 61 74 72 69 78 3c 2f 62 3e 3c 62 AT-matrix</b><b
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85f0: 74 65 20 61 6e 64 20 61 6e 6f 74 68 65 72 20 41 te and another A
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8630: 75 72 73 20 6f 72 20 6f 6e 20 69 6e 76 61 6c 69 urs or on invali
8640: 64 20 61 72 67 75 6d 65 6e 74 73 2e 3c 2f 74 64 d arguments.</td
8650: 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 3e ></tr>..<tr><td>
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8680: 65 20 73 79 20 2c 20 42 4c 4f 42 20 41 54 2d 6d e sy , BLOB AT-m
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86a0: 54 2d 6d 61 74 72 69 78 3c 2f 62 3e 3c 62 72 3e T-matrix</b><br>
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86c0: 20 64 6f 75 62 6c 65 20 73 78 20 2c 20 64 6f 75 double sx , dou
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86e0: 73 7a 20 2c 20 42 4c 4f 42 20 41 54 2d 6d 61 74 sz , BLOB AT-mat
86f0: 72 69 78 20 29 20 3a 20 42 4c 4f 42 20 41 54 2d rix ) : BLOB AT-
8700: 6d 61 74 72 69 78 3c 2f 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c matrix</b></td><
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8770: 74 68 65 72 20 41 66 66 69 6e 65 20 54 72 61 6e ther Affine Tran
8780: 73 66 6f 72 6d 61 74 69 6f 6e 2e 3c 62 72 3e 0d sformation.<br>.
8790: 0a 4e 55 4c 4c 20 69 66 20 61 6e 79 20 65 72 72 .NULL if any err
87a0: 6f 72 20 6f 63 63 75 72 73 20 6f 72 20 6f 6e 20 or occurs or on
87b0: 69 6e 76 61 6c 69 64 20 61 72 67 75 6d 65 6e 74 invalid argument
87c0: 73 2e 2e 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c s..</td></tr>..<
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87f0: 67 6c 65 20 2c 20 42 4c 4f 42 20 41 54 2d 6d 61 gle , BLOB AT-ma
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8810: 2d 6d 61 74 72 69 78 3c 2f 62 3e 3c 62 72 3e 0d -matrix</b><br>.
8820: 0a 3c 62 3e 41 54 4d 5f 5a 52 6f 6c 6c 20 28 20 .<b>ATM_ZRoll (
8830: 64 6f 75 62 6c 65 20 61 6e 67 6c 65 20 2c 20 42 double angle , B
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8850: 3a 20 42 4c 4f 42 20 41 54 2d 6d 61 74 72 69 78 : BLOB AT-matrix
8860: 3c 2f 62 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 3e 57 69 6c </b></td><td>Wil
8870: 6c 20 72 65 74 75 72 6e 20 61 6e 20 41 66 66 69 l return an Affi
8880: 6e 65 20 54 72 61 6e 73 66 6f 72 6d 61 74 69 6f ne Transformatio
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88a0: 6e 69 6e 67 20 61 20 52 6f 74 61 74 69 6f 6e 20 ning a Rotation
88b0: 61 72 6f 75 6e 64 20 74 68 65 20 5a 20 61 78 69 around the Z axi
88c0: 73 20 61 6e 64 20 61 6e 6f 74 68 65 72 20 41 66 s and another Af
88d0: 66 69 6e 65 20 54 72 61 6e 73 66 6f 72 6d 61 74 fine Transformat
88e0: 69 6f 6e 2e 3c 62 72 3e 0d 0a 4e 55 4c 4c 20 69 ion.<br>..NULL i
88f0: 66 20 61 6e 79 20 65 72 72 6f 72 20 6f 63 63 75 f any error occu
8900: 72 73 20 6f 72 20 6f 6e 20 69 6e 76 61 6c 69 64 rs or on invalid
8910: 20 61 72 67 75 6d 65 6e 74 73 2e 3c 2f 74 64 3e arguments.</td>
8920: 3c 2f 74 72 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 3e 3c </tr>..<tr><td><
8930: 62 3e 41 54 4d 5f 58 52 6f 6c 6c 20 28 20 64 6f b>ATM_XRoll ( do
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8960: 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 64 3e 57 69 6c 6c 20 72 ></td><td>Will r
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8990: 61 74 72 69 78 20 62 79 20 63 68 61 69 6e 69 6e atrix by chainin
89a0: 67 20 61 20 52 6f 74 61 74 69 6f 6e 20 61 72 6f g a Rotation aro
89b0: 75 6e 64 20 74 68 65 20 58 20 61 78 69 73 20 61 und the X axis a
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89d0: 65 20 54 72 61 6e 73 66 6f 72 6d 61 74 69 6f 6e e Transformation
89e0: 2e 3c 62 72 3e 0d 0a 4e 55 4c 4c 20 69 66 20 61 .<br>..NULL if a
89f0: 6e 79 20 65 72 72 6f 72 20 6f 63 63 75 72 73 20 ny error occurs
8a00: 6f 72 20 6f 6e 20 69 6e 76 61 6c 69 64 20 61 72 or on invalid ar
8a10: 67 75 6d 65 6e 74 73 2e 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 guments.</td></t
8a20: 72 3e 0d 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 3e 3c 62 3e 41 r>..<tr><td><b>A
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8a40: 65 20 61 6e 67 6c 65 20 29 20 3a 20 42 4c 4f 42 e angle ) : BLOB
8a50: 20 41 54 2d 6d 61 74 72 69 78 3c 2f 62 3e 3c 2f AT-matrix</b></
8a60: 74 64 3e 3c 74 64 3e 57 69 6c 6c 20 72 65 74 75 td><td>Will retu
8a70: 72 6e 20 61 6e 20 41 66 66 69 6e 65 20 54 72 61 rn an Affine Tra
8a80: 6e 73 66 6f 72 6d 61 74 69 6f 6e 20 4d 61 74 72 nsformation Matr
8a90: 69 78 20 62 79 20 63 68 61 69 6e 69 6e 67 20 61 ix by chaining a
8aa0: 20 52 6f 74 61 74 69 6f 6e 20 61 72 6f 75 6e 64 Rotation around
8ab0: 20 74 68 65 20 59 20 61 78 69 73 20 61 6e 64 20 the Y axis and
8ac0: 61 6e 6f 74 68 65 72 20 41 66 66 69 6e 65 20 54 another Affine T
8ad0: 72 61 6e 73 66 6f 72 6d 61 74 69 6f 6e 2e 3c 62 ransformation.<b
8ae0: 72 3e 0d 0a 4e 55 4c 4c 20 69 66 20 61 6e 79 20 r>..NULL if any
8af0: 65 72 72 6f 72 20 6f 63 63 75 72 73 20 6f 72 20 error occurs or
8b00: 6f 6e 20 69 6e 76 61 6c 69 64 20 61 72 67 75 6d on invalid argum
8b10: 65 6e 74 73 2e 3c 2f 74 64 3e 3c 2f 74 72 3e 0d ents.</td></tr>.
8b20: 0a 3c 74 72 3e 3c 74 64 3e 3c 2f 74 64 3e 3c 74 .<tr><td></td><t
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